二阶线性偏微分方程的分类与总结

1二阶线性偏微分方程的分类 第四章二阶线性偏微分方程的分类与总结 3三类方程的比较 在前面的章节中 我们分别讨论了弦振动方程 热传导方程与拉普拉斯方程 这三类方程的形状很特殊 它们是二阶线性偏微分方程的三个典型代表 一般形式的二阶线性偏微分方程之间的共性和差异 往往可以从对这三类方程的研究中得到 本章中 我们将以这三类方程的知识为基础 研究一般形式的二阶线性偏微分方程 并对这三类方程的性质进行比较深入的分类和总结 1 1两个自变量的方程 1二阶线性偏微分方程的分类 1 2两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简 1 3方程的分类 1二阶线性偏微分方程的分类 遵循由简单到复杂的认知规律 我们先研究两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类问题 前面遇到的一维热传导方程 弦振动方程和二维拉普拉斯方程都是两个自变量的二阶线性偏微分方程 不过它们的形式特殊 若用 x y 记自变量 一般的二阶线性方程总可以写成如下的形状 1 1两个自变量的方程 在前面弦振动方程的达朗贝尔解法 行波法 的学习中 我们已看到变量变换的意义 变换是研究微分方程的一个有效手段 通过适当的变换往往可以把复杂的方程转化为简单的 把不易求解的方程转化为容易求解的 方程 4 1 的二阶导数项称为它的主部 现在研究在什么样的自变量变换下 方程的主部可以得到简化 1 1两个自变量的方程 1 2两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简 设 x0 y0 是区域 内一点 在该点的邻域内对方程 1 进行简化 为此我们作下面的自变量变换 在高等数学中 我们已经知道 如果上述变换是二次连续可微的 且雅可比行列式 在 x0 y0 点不为零 那么在点 x0 y0 的邻域内 变换 4 3 是可逆的 也就是存在逆变换 也就是说 方程 4 1 可以采用新的自变量 表示为 运用复合函数的求导法则 1 2两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简 注意到 4 7 的第一个和第三个等式形式完全相同 因此 如果我们能选择到方程 的两个函数无关的解 1 x y 和 2 x y 那么 将变换取为 1 x y 和 2 x y 方程 4 6 的系数 这样就达到了简化方程 4 1 的主部的目的 下面考察这种选取的可能性 1 2两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简 我们知道 方程 4 8 的求解可以转化为下述常微分方程在 x y 平面上的积分曲线问题 设 1 x y c是方程 4 9 的一族积分曲线 则z 1 x y 是方程 4 8 的一个解 称方程 4 9 的积分曲线为方程 4 8 的特征线 方程 4 9 有时也称为方程 4 8 的特征方程 显然方程 4 9 可以分解为两个方程 1 2两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简 这样根据的符号不同 我们可以选取相应的变换代入方程 4 6 从而得到不同的化简形式 这三个方程分别称为二阶线性偏微分方程的标准形式 1 2两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简 由前面的讨论可知 方程 4 1 通过自变量的可逆变换 4 3 化为那一种标准形式 主要决定于它的主部系数 也就是说由l m平面上的二次曲线的性质而定 由于这个曲线可以是椭圆 双曲线或抛物线 因此我们相应地定义方程在一点的类型如下 若方程 4 1 的主部系数在区域 中某一点 x0 y0 满足 则称方程在点 x0 y0 是双曲型的 则称方程在点 x0 y0 是椭圆型的 则称方程在点 x0 y0 是抛物型的 相应地 4 12 4 13 和 4 14 这三个方程分别称为双曲型 抛物型和椭圆型 二阶线性 偏微分方程的标准形式 1 3方程的分类 如果方程在区域 中每一点上均为双曲型 那么我们称方程在区域 中是双曲型的 类似的 对椭圆型和抛物型也有同样的定义 如果一个方程在区域 中的一部分区域表现为双曲型 在另一部分表现为椭圆型 而在分界面上表现为抛物型 那么 这样的方程在在区域 中称为混合型的 举例 容易看出 如果点 x0 y0 上方程 4 1 表现为双曲型或椭圆型 那么一定存在该点的一个领域 使方程在这个领域内是双曲型或椭圆型的 但如果这个点上方程 4 1 表现为抛物型 则不一定存在一个领域 使方程在这个领域内表现为抛物型 按照刚才的分类方法 很容易看出一维弦振动方程是双曲型的 一维热传导方程是抛物型的 二维拉普拉斯方程是椭圆型的 前面我们已经知道 以上三种方程描述的自然现象的本质不同 其解的性质也各异 这也从侧面说明了我们对二阶线性偏微分方程所进行的分类是有其深刻的原因的 例如 空气动力学中 对于定常Euler方程而言 它在亚音速流动中表现为椭圆型方程 在超音速流动中表现为双曲型 在跨音速流动中表现为混合型 而对于非定常Euler方程而言 它始终表现为双曲型 1 3方程的分类 例题 把方程 分类并化为标准形式 解 该方程的 故该方程是抛物型的 显然 该方程的特征方程为 从而得到方程的一族特征线为 作自变量代换 由于 和 必须函数无关 所以 宜取最简单的函数形式 即 x或 y 于是 原方程化简后的标准形式为 1 3方程的分类 练习题 例1 2 P100 101 习题2 3 P102 103 1 1线性方程的叠加原理 3三类方程的比较 1 2解的性质的比较 1 3定解问题的提法比较 现在我们以前面各章对三类典型方程的研究为基础 就双曲型方程 抛物型方程和椭圆型方程这三种不同类型的方程的解的性质 定解问题的提法等方面进行分析和总结 我们将看到 这三类方程在其系数的代数性质上的差别实际上反映着许多本质的差异 3三类方程的比较 3三类方程的比较 3 1线性方程的叠加原理 共性 线性方程的共性是满足叠加原理 前面的学习中 我们多次利用叠加原理把一个复杂的问题转化为若干个简单的问题进行求解 分离变量法和齐次化原理实际上都是叠加原理的具体应用 以热传导方程为例 叠加原理I 叠加原理II 叠加原理III 叠加原理IV 三类典型方程在数学性质上的差异往往是相应的物理现象的本质差异在数学上的表现 下面我们以三类典型方程 波动方程 热传导方程和拉普拉斯方程 为例来叙述其差别 对于一般的变系数方程 情况更复杂一些 但类似结论仍然成立 3三类方程的比较 3 2解的性质的比较 差异 1 解的光滑性对于不同类型的方程来说 解的光滑性可以很不相同 对于弦振动方程来说 如果初始条件中高阶的导数不存在 那么解的高阶导数也就不存在 对于热传导方程 只要初始条件是有界的 那么其解是无穷可微的 对于拉普拉斯方程 它的解的光滑性更好 其解在定义域内都是解析函数 课本上从物理角度对上述解的光滑性差异进行了解释 下面的图形形象地反映了不同类型方程的解的光滑性 2 解的极值性质热传导方程和拉普拉斯方程都存在极值原理 但它们所采取的形式是有区别的 拉普拉斯方程解的极值只可能存在于边界 至于热传导方程 区域内部的最大值不能超过区域初始时刻和边界面上的最大值 双曲型方程通常不存在极值原理 这是因为波在叠加时可以出现扰动增大的情况 3 影响区和依赖区从影响区和依赖区来看 三类方程也有很大区别 波动方程的扰动是以有限速度传播的 因而其影响区和依赖区是锥体状的 对热传导方程而言 其扰动传播进行的十分迅速 某个点的其影响区是该点以上的整个上半平面 依赖区是整个初始值区间 拉普拉斯方程表示定常状态或平衡状态 因此不存在扰动传播的问题 4 关于时间的反演一物理状态的变化是否可逆 在数学上反映为所归结出来的方程关于时间变量是否是对称的 即以 t代替t后方程是否不变化 拉普拉斯方程不存在此问题 双曲型方程是可逆的 热传导方程是不可逆的 椭圆型方程 定解问题中只有边界条件而没有初始条件 故一般不提初边值问题和柯西问题 抛物型方程 可以提初边值问题和柯西问题 其初始条件只需给出一个 双曲型方程 可以提初边值问题和柯西问题 其初始条件需要给出两个 定解问题适定性 存在性 唯一性 稳定性课本给出了不稳定的定解问题的例子 对于弦振动方程和热传导方程 一般我们是不能提出狄利克雷问题 同时指定t 0和t t0时刻的未知函数取值 因为这样的定解问题一般是无解的 3 3定解问题的提法比较 差异 复习要点 1 达朗贝尔公式及其物理意义 2 齐次化原理 方程自由项 边界条件齐次化的方法 3 分离变量法求解弦振动方程和一维热传导