江苏省各地市高三历次模拟数学试题分类汇编：第4章导数

- 1 - 目录 （基础复习部分） 第四章 导数 . 2 第 22 课 导数的概念与运算 . 2 第 23 课 利用导数研究函数的性质 . 2 第 24 课 导数在实际生活中的应用 . 16 第 25 课 综合应用 . 25 - 2 - 第四章 导数 第 22课 导数的概念与运算 曲线 x x 在点22，处的切线方程 为 202 若直线 是曲线 的一条切线，则实数 b 已知直线 30ax 与 ( ) x x 在点 (1,e)P 处的切线互相垂直 ，则 12 线 321 : 6 1 2C y a x x x 与曲线2: 1x 处 的 两 条 切 线 互 相 垂 直 ， 则 实数 a 的值为 13e(南通调研一 ) 在平面直角坐标系 ，记曲线 2(my x R， 2)m 在 1x 处的切线为直线l 若直线 l 在两坐标轴上的截距之和为 12，则 m 的值为 . 3 或 4 （镇江期末） 曲线 )0(1 公切线（相同 的 切线）的条数为 . 1 （盐城期中） 已知点 P 是函数 ( ) c o s ( 0 )3f x x x 图象上 一点，则曲线 ()y f x 在 点 P 处 的切线斜率的最小值 为 . 32（南通调研二） 在平面直角坐标系 ， 若 曲线 在 (e 为自然对数的底数 )处的切线与直线30ax y 垂直，则实数 a 的值为 【答案】 e （金海南三校联考） 在平面直角坐标系 ， P 是曲线 C： y=一点，直线 l： x 2y c=0 经 过点P，且与曲线 C 在点 P 处的切线垂直，则实数 c 的值为 . 4 23课 利用导数研究函数的性质 函数 3211 2 2 132f x a x a x a x a 的图象经过四个象限的充要条件是 已知函数 ,0,3)( 2 ，其中 ,当函数 )(值域为 2,0 时，则实数 m 的取值范围 . 1,2 (栟茶中学学测一 )设函数 )( R 上存在导数 )( 对任意的 有 2)()( ,且在),0( 上 ()x .若 2)()2( ,则实数 a 的取值范围 ( ,1 （泰州二模） 若函数 2( ) ( 2 )f x x x a 在区间 2,4 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 ( , 2 5 , ) 635 16a - 3 - （南通调研二） 设 32( ) 4 ( 3 )f x x m x m x n (， )是 R 上的单调增函数，则 m 的值为 【答案】 6 （苏北三市调研三） 函数 2() xf x a x ( 1a ) 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围 是 2e(1, e ) (栟茶中学学测一 )设 ,函数 ( ) x x a x. （ 1） 若 3a ，求曲线 ()y f x 在 1, 3P 处的切线方程； （ 2） 若 () 零点 ,求实数 a 的取值范围； （ 3） 若 ()两个相异零点 12,证 : 212x x e . 解： 在区间 0, 上 , 11() x . （ 1） 当 3a 时， 1 3 2 ， 则切线方程为 3 2 1 ，即 2 1 0 4 分 （ 2） 若 0a , ( ) x x 有唯一零点 1x . 6 分 若 0a ,则 ( ) 0 , () 0, 上的增函数 , (1) 0 Q , ( ) (1 ) 0a a af e a a e a e , (1 ) ( ) 0af f e ,函数 () 0, 有唯一零点 . 8 分 若 0a ,令 ( ) 0 得 : 1 在区间 1(0, ) ( ) 0 ,函数 () 在区间 1( , )a 上 , ( ) 0 ,函数 () 故在区间 0, 上 , ()1( ) l n 1 l n 1 . 由 1 0即 0a ,解得 : 1 故所求实数 a 的取值范围是 1,e . 10 分 (3) 设120, 12( ) 0 , ( ) 0 ,f x f xQ 1 1 2 2l n 0 , l n 0x a x x a x 1 2 1 2l n l n ( )x x a x x ,1 2 1 2l n l n ( )x a x x 原不等式 21 2 1 2l n l n 2x x e x x 12( ) 2a x x 121 2 1 2l n l n 2x x x1 1 22 1 22 ( )ln x x xx x x - 4 - 令12x ,则 1t ,于是 1 1 22 1 22 ( ) 2 ( 1 )l n l n 1x x x x x t . 设函数 2 ( 1 )( ) l t t t ( 1)t, 求导得 : 2221 4 ( 1 )( ) 0( 1 ) ( 1 )t t t 故函数 () 1, 上的增函数 , ( ) (1) 0g t g ， 即不等式 2( 1)tt t 成立 , 故所证不等式 212x x e成立 . 16 分 已知函数 32( ) ( )f x a x b x b a x (是不同时为零的常数 )， 导函数 为 () （ 1） 当 13a时，若存在 3, 1x ， 使得 ( ) 0 成立， 求 b 的取值范围； （ 2） 求证：函数 ()y f x 在 ( 1,0) 内至少有一个零点 ； （ 3） 若 函数 ()在 1x 处的切线垂直于直线 2 3 0 ，关于 x 的方程 1()4f x t，在 1, ( 1) 上有且只有一个实数根，求实数 t 的取值范围 解： (1) 当 13a时， 2 2 211( ) 2 ( ) ( )33f x x b x b x b b b ， 其 对 称 轴 为 直 线 2 分 当 2( 3) 0 ，解得 2615b， 当 2( 1) 0 ，无解，所以 b 的取值范围为 26( , )15 4 分 因为 2( ) 3 2 ( )f x a x b x b a 解法 1 当 0a 时， 12x，适合题意 当 0a 时， 23 2 1 0 ，令 23 2 1 0x t x t 令 2( ) 3 2 1h x x t x t ，则 11( ) 024h 6 分 当 1t 时， (0 ) 1 0，所以 ()y h x 在 1( ,0)2内有零点； 当 1t 时， ( 1 ) 2 1 0 ， 所以 ()y h x 在 1( 1, )2内有零点 因此，当 0a 时， ()y h x 在 ( 1,0) 内至少有一个零点 - 5 - 综上可知，函数 ()y f x 在 ( 1,0) 内至少有一个零点 9 分 解法 2 (0)f b a ， ( 1) 2f a b ， 12()33 . 由 于不同时为零，所以 1( ) ( 1 ) 03 ， 7 分 或 1( ) ( 1 ) 03 故结论成立 9 分 (3)因为 32( ) ( )f x a x b x b a x 为奇函数，所以 0b ，所以 3()f x a x a x， 又 ()x 处的切线垂直于直线 2 3 0 ，所以 1a ， 即 3()f x x x. 10 分 因为 33( ) 3 ( ) ( )f x x x ,所以 ()3( , ) ( , ) 、 上 是增函数，在 33 , 33上是减函数由 ( ) 0解得 1, 0 11 分 当 313t 时， 1( ) 04f t t，即 3 1 04t t t ，解得 3323t ； 当 3 03 t 时， 1( ) 04f t t ，解得 3 03 t ； 当 0t 时，显然不成立； 当 303t 时， 1( ) 04f t t即 3 1 04t t t ，解得 303t ； 当 33t时， 1( ) 04f t t 或 1 3 2 3()4 3 9 ，故 3332t或 839t 所以，所求 t 的取值范围是 3 02 t，或 302t或 839t 16 分 (各题如有其他解法，请相应给分 ) 已 知 二 次 函 数 2)( （ 其 中 ),3c 其 中 导 函 数 )( 的 图 象 如 图 ， 设)( （ 1） 求函数 )( 2x 处的切线斜率； （ 2） 若函数 )(区间 )21,1( 实数 m 的取值范围； )( )0,4( )8,0( x y O - 6 - （ 3） 若函数 )6,0(, 图象总在函数 )( 图象的上方，求 c 的取值范围 . 解： ( ) 2 8f x x 分 8 2 826)( (2) 1f ，所以函数 )3(,3()( 点 处的切线斜率为 分 x 3)(1(2826)( 0x x （ 0， 1） 1 （ 1， 3） 3 ),3( )( + 0 0 + )( )(的单调递增区间为（ 0， 1）和 ),3( )(的单调递减区间为（ 1， 3） 分 要使函数 )(区间 1(1, )2m上是单调函数， 则1121 32 ，解得 1522m 分 由题意， 恒成立， 得 恒成立， 即 2 7 6 l nc x x x 恒成立， 设 2m i n( ) 6 l n 7 , 0 , 6 , ( )g x x x x x c g x 则3 分 x 2)(32(672762)(2 因为 为增函数时当 )(,0)(,)2,23(,0 当 3( 0 , ) ( 2 , ) , ( ) 0 , ( )2x g x g x 和 时 为 减 函 数 - 7 - )(的最小值为 )6()23( 的较小者 3 9 3 3 3 3 3( ) 6 l n 7 6 l n ,2 4 2 2 4 2( 6 ) 3 6 6 l n 6 4 2 6 6 l n 6 ,3 9 3 9( ) ( 6 ) 6 l n 6 l n 6 1 2 l n 2 0 ,2 4 2 4 ()( m 5 分 又已知 3c ， 6 6 c 6 分 设函数 32( ) ( , )2bf x x x c x b c R （ 1） 2b ， 1c ，求 ()y f x 的单调增区间； （ 2） 6b ， ( ) ( )g x f x ， 若 () 一切 0,2x 恒成立，求 k 的最小值 ()表达式； 解： （ 1） 3 2 2( ) ( 1 )f x x x x x x x 1 5 1 5( ) ( ) 022x x x 15 02 x 或 152x 2( ) 3 2 1 ( 1 ) ( 3 1 ) 0f x x x x x 1x 或 13x 所以 15( , 1)2 与 15( , )2 为 ()y f x 单调增区间； 同理 15( ) 02f x x 或 1502x ( ) 0 113x 所以 1(0, )3为 ()y f x 单调增区间 综上 ()y f x 的单调增区间为 15( , 1)2 ， 1(0, )3， 15( , )2 （ 2） ()g x 即 32| 3 |x x c x k x 当 0x 时，上式对一切 0,2x 恒成立； 当 (0,2x 时，即 2| 3 |x x c k 对一切 (0,2x 恒成立 2 m a x( ) | 3 |h c x x c ， (0,2x I）当 94c时， 2 m 3 |x x c 在 0x 时取得， ()h c c 94c时， （ ）若 0c - 8 - 则 9 204 c c m a x 9| 3 | 4 x x c （ ） 90424 2c 不会是最大值； 所以 2m a ) ,9 84| 3 | m a x , 994 ( ) x c c 由 I）， 得9( ) ,8()99( ) 设函数 ( ) 22l n +f x x x a x b=, ( )x f y x b . （ 1）求实数 a 及0 （ 2）求证：对任意实数 (0, )2函数 () 解：（ 1） ( ) 2 l n 2f x x x x a x . 0 0 0 02 2 20 0 0 02 l n 2 1 ,l n .x x x a xx x a x x b b 由（ 2）得 0，代入（ 1）得 0 1x ，于是 1a . - 9 - （淮安宿迁摸底） 已知函数 ( ) （其中 e 是自然对数的底数） ， 2( ) 1g x x a x ， aR （ 1） 记函数 ( ) ( ) ( )F x f x g x，且 0a ，求 () （ 2） 若对任意 12, 0,2 ， 12，均有1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x 成立， 求实数 a 的取值范围 （ 1） 因为 2( ) ( ) e 1xF x f x g x x a x ， 所以 e 1 1xF x x a x ， 2 分 令 0 ，因为 0a ，得 1x 或 1 ， 5 分 所以 ,1a 和 1, ； 6 分 （ 2） 因为对任意 12, 0,2 且 12，均有1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x 成立， 不妨设 12，根据 ( ) 在 0,2 上单调递增， 所以有1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x 对 12恒成立， 8 分 所以2 1 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x f x f x 对 12, 0,2 ， 12恒成立， 即1 1 2 21 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g xf x g x f x g x 对 12, 0,2 ， 12恒成立， 所以 ( ) ( )f x g x 和 ( ) ( )f x g x 在 0,2 都是单调递增函数， 11 分 当 ( ) ( ) 0f x g x 在 0,2 上恒成立， 得 e 2 0x 在 0,2 恒成立，得 在 0,2 恒成立， - 10 - 因为 x 在 0,2 上单调减函数，所以 x 在 0,2 上取得最大值 1 ， 解得 1a 13 分 当 ( ) ( ) 0f x g x 在 0,2 上恒成立， 得 e 2 0x 在 0,2 上恒成立，即 在 0,2 上恒成立， 因为 2在 0,递减，在 上单调递增， 所以 2在 0,2 上取得最小值 2 2， 所以 2 2a ， 15 分 所以 实数 a 的取值范围为 1, 2 2 16 分 （南通调研一） 若函数 ()y f x 在0取得极大值或极小值，则称0)y f x 的极值点 已知函数 3( ) 3 l n (f x a x x x a a R) （ 1） 当 0a 时，求 () （ 2） 若 ()( , )实数 a 的取值范围 （注： e 是自然对数的底数） - 11 - - 12 - （南京盐城模拟一） 已知函数 () xf x e ， ()g x m x n. （ 1）设 ( ) ( ) ( )h x f x g x. 若函数 () 0x 处的切线过点 (1,0) ，求 的值； 当 0n 时，若函数 () ( 1, ) 上没有零点，求 m 的取值范围； （ 2）设函数 1()( ) ( )f x g x，且 4 ( 0 )n m m，求证：当 0x 时， ( ) 1. 解：（ 1）由题意，得 ( ) ( ( ) ( ) ) ( )x f x g x e m x n e m ， 所以函数 () 0x 处的切线斜率 1 ， 2 分 又 (0) 1 ，所以函数 () 0x 处的切线方程 (1 ) (1 )y n m x ， 将点 (1,0) 代入，得 2 . 4 分 （ 2）方法一：当 0n 时，可得 ( ) ( )x e m x e m ，因为 1x ，所以 1 当 1， ( ) 0xh x e m ，函数 () ( 1, ) 上单调递增，而 (0) 1h ， 所以只需 1( 1 ) 0 ，解得 1，从 而 11 . 6 分 当 1，由 ( ) 0xh x e m ，解得 1 , ) ， 当 ( 1, 时， ( ) 0 ， ()调递减； 当 ( ) 时， ( ) 0 ， ()调递增 . 所以函数 () ( 1, ) 上有最小值为 ( l n ) l nh m m m m ， 令 m m m，解得 ，所以 1 综上所述， 1 , ) 10 分 方法二：当 0n 时， xe 当 0x 时，显然不成立； - 13 - 当 1x 且 0x 时， 令 则 221x 当 10x 时， 0y ，函数 调递减 ； 当 01x时， 0y ，函数 调递减 ； 当 1x 时， 0y ，函数 调递增又11x ，1，由题意知 1 , ) （ 3）由题意， 1 1 1 4()( ) ( ) 4xn x x g x e e 而 14( ) 14x 等价于 ( 3 4 ) 4 0xe x x ， 令 ( ) ( 3 4 ) 4xF x e x x ， 12 分 则 (0) 0F ，且 ( ) ( 3 1 ) 1xF x e x ， 令 ( ) ( )G x F x ，则 ( ) ( 3 2 )xG x e x ， 因 0x ，所以 ( ) 0 ， 14 分 所以导数 ()在 0, ) 上单调递增，于是 ( ) ( 0 ) 0F x F， 从而函数 ()0, ) 上单调递增，即 ( ) ( 0 ) 0F x F 16 分 （盐城期中） 已知函数 xf x e ， g x x m ， . （ 1）若曲线 y f x 与 直线 y g x 相切，求实数 m 的值； （ 2）记 h x f x g x，求 01， 上的 最大值； （ 3）当 0m 时， 试 比较 2 与 解：（ 1）设曲线 xf x e 与 g x x m 相切于点 00,P x y，由 xf x e ，知 0=1 解 得0 0x ， 2 分 又可求得 点 P 为 01， ， 所以 代入 g x x m ，得 1m . 4 分 （ 2） 因为 xh x x m e ， 所以 ( 1 ) , 0 , 1 x x xh x e x m e x m e x . 当 10m ， 即 1m 时， 0 ，此时 01， 上单调递增， 所以 m a x 11h x h m e ； 6 分 当 0 1 1m 即 12m时， 当 01， 时， 0 ， 当 1,1 时， 0 ， 0 ， 11h m e . (i)当 1m m e ， 即 21e 时， m a x 0h x h m ； (当 1m m e ， 即 11em e时， m a x 11h x h m e ； 8 分 - 14 - 当 11m ， 即 2m 时 ， 0 ，此时 01， 上单调递减，所以 m i n 0h x h m . 综上， 当1em e 时， m a x 1h x m e； 当1em e 时， x m. 10 分 (3)当 0m 时， 22 = ， g x x ， 当 0x 时，显然 2g x ； 当 0x 时， 22 2l n = l n e e ， ln x x ， 记函数 221= l n l e x e ， 12 分 则 221 1 1= e e ， 可知 x 在 0,+ 上单调递增，又由 10 ， 20 知， x 在 0,+ 上有唯一实根 0x ， 且 012x，则 0 2001=0x ，即 0 201xe x （ ）， 当 00,， 0x ， x 单调递减 ； 当 0 +，时， 0x ， x 单调递增， 所以 0 200= l x e x ， 14 分 结合（ ）式0 201xe x ， 知 002 ， 所以 22 000000 0 01211= 2 = 0x xx x x ，则 2= l n 0xx e x ， 即 2 ， 所以 2 . 综上， 2g x . 16 分 （ 说明 ：若学生找出两个函数 2 与 y g x 图象的一条分隔线，如 1，然后去证 2 1与 1x g x ，且取等号的条件不一致，同样给分 ） （南京盐城二模） 已知函数 f(x) 1 k(x 2)x ，其中 k 为常数 （ 1）若 k 0，求曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程； （ 2）若 k 5，求证： f(x)有且仅有两个零点； （ 3）若 k 为整数，且当 x 2 时， f(x) 0 恒成立，求 k 的最大值 （参考数据 解 ： （ 1）当 k 0 时， f(x) 1 因为 f (x) 1x，从而 f (1) 1 - 15 - 又 f (1) 1， 所以 曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程 y 1 x 1， 即 x y 0 3 分 （ 2）当 k 5 时， f(x) 10x 4 因为 f (x) x 10从而 当 x (0， 10)， f (x) 0， f(x)单调递减；当 x (10， )时， f (x) 0， f(x)单调递增 所以当 x 10 时， f(x)有极小值 5 分 因 f(10) 3 0， f(1) 6 0，所以 f(x)在 (1， 10)之间有一个零点 因为 f( 4 104 0，所以 f(x)在 (10， 间有一个零点 从而 f(x)有两个不同的零点 8 分 （ 3） 方法一 ：由题意知， 1+k(x 2)x 0 对 x (2， )恒成立， 即 k x 2 对 x (2， )恒成立 令 h(x) x 2 ，则 h(x) x 24(x 2)2 设 v(x) x 24，则 v(x) x 2x 当 x (2， )时， v(x) 0，所以 v(x)在 (2， )为增函数 因为 v(8) 8 24 4 20， v(9) 5 20， 所以存在 (8， 9)， v( 0，即 24 0 当 x (2， ， h(x) 0， h(x)单调递减，当 x ( )时， h(x) 0， h(x)单调递增 所以当 x ， h(x)的最小值 h( 2 因为 42 ，所以 h( (4， 故所求的整数 k 的最大值为 4 16 分 方法二 ：由题意知， 1+k(x 2)x 0 对 x (2， )恒成立 f(x) 1+k(x 2)x ， f (x) x 2 当 2k2，即 k1时， f(x) 0 对 x (2， )恒成立， 所以 f(x)在 (2， )上单调递增 而 f(2) 1 0 成立，所以满足要求 当 2k 2，即 k 1 时， - 16 - 当 x (2， 2k)时， f (x) 0， f(x)单调递减，当 x (2k， )， f (x) 0， f(x)单调递增 所以当 x 2k 时， f(x)有最小值 f(2k) 2 k 从而 f(x) 0 在 x (2， )恒成立， 等价于 2 k 0 令 g(k) 2 k，则 g(k) 1 0，从而 g(k) 在 (1， )为减函数 因为 g(4) 2 0， g(5) 3 0 ， 所以使 2 k 0 成立的最大正整数 k 4 综合 ，知所求的整数 k 的最大值为 4 16 分 第 24课 导数在实际生活中的应用 （苏北四市期末） 如图，有一个长方形地块 边 2 4 地块的一角是湿地（图中阴影部分），其边缘线 以直线 对称轴，以 A 为顶点的抛物线的一部分 现要铺设一条过边缘线 一点 P 的直线型隔离带 E ， F 分别在边 （隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计） 设点 P 到边 距离为 t （单位： ， 面积为 S （单位：2 (1)求 S 关于 t 的函数解析式，并指出该函数的定义域； (2)是否存在点 P ，使隔离出的 积 S 超过 3 2并说明理由 （ 1） 如图，以 A 为坐标原点 O ， 在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则 C 点坐标为(2,4) 1 分 设边缘线 在抛物线的方程为 2y ， 把 (2,4) 代入，得 242a=? ，解得 1a= ， 所以抛物线的方程为 2 3 分 因为 2 ， 4 分 所以过 2( , )Pt t 的切线 程为 22y tx t=- 5 分 令 0y= ，得 ( ,0)2 2x= ，得 2(2, 4 )F t 7 分 E F （第 18 题） P A B C D - 17 - 所以 21 ( 2 ) ( 4 )22tS t t ， 8 分 所以 321 ( 8 1 6 )4S t t t ，定义域为 (0,2 9 分 （ 2） 21 3 4( 3 1 6 1 6 ) ( 4 ) ( )4 4 3S t t t t ， 12 分 由 ( ) 0 ，得 403t， 所以 ()在 4(0, )3上是增函数，在 4( ,23上是减函数， 14 分 所以 S 在 (0,2 上有最大值 4 64()3 27S 又因为 6 4 1 7332 7 2 7 ， 所以不存在点 P ，使隔离出的 积 S 超过 3 2 16 分 （淮安宿迁摸底） 如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图已知 直径，且 2 为圆心， C 为圆周上靠近 A 的一点， D 为圆周上靠近 B 的一点，且 现在准备从 A 经过 C 到D 建造一条观光路线，其中 A 到 C 是圆弧 C 到 D 是线段 设 ( ra d )A O C x ，观光路线总长为 (km)y . （ 1） 求 y 关于 x 的函数解析式，并指出该函数的定义域； （ 2） 求观光路线总长 的最大值 . (1)由题意知， 1AC x x ， 2 分 2 x ， 5 分 因为 C 为圆周上靠近 A 的一点， D 为圆周上靠近 B 的一点，且 /B ， 所以 02x 所以 2 co sy x x ， 0,2x 7 分 (2)记 2 c o sf x x x ,则 ( ) 1 2 s i nf x x ， 9 分 令 ( ) 0 ，得6x ， 11 分 列表 x (0，6) 6(6，2) () 0 f (x) 递增 极大值 递减