三元一次方程组典型例题讲解

中小学中小学 1 1 对对 1 1 课外辅导专家课外辅导专家 龙文教育龙文教育 教育是一项良心工程教育是一项良心工程 武汉龙文教育学科辅导讲义 授课对象郭家铭授课教师杨琴梅 授课时间授课题目三元一次方程组典型例题 课 型新课使用教具教案 白板 笔 教学目标 会解三元一次方程组 教学重点和难点 能熟练的选择适当的方法解三元一次方程组 参考教材 教材 教学流程及授课详案 时间分配及备注 一 三元一次方程组之特殊型 例 1 解方程组 yx zyx zyx 4 2252 12 分析 方程 是关于 x 的表达式 通过代入消元法可直接转化为二元 一次方程组 因此确定 消 x 的目标 解法 1 代入法 消 x 把 分别代入 得 2256 125 zy zy 解得 2 2 y z 把 y 2 代入 得 x 8 是原方程组的解 8 2 2 x y z 根据方程组的特点 由学生归纳出此类方程组为 类型一 有表达式 用代入法型 针对上例进而分析 方程组中的方程 里缺 z 因此利用 消 z 也 能达到消元构成二元一次方程组的目的 解法 2 消 z 5 得 5x 5y 5z 60 得 4x 3y 38 中小学中小学 1 1 对对 1 1 课外辅导专家课外辅导专家 2 由 得 解得 3834 4 yx yx8 2 x y 把 x 8 y 2 代入 得 z 2 是原方程组的解 8 2 2 x y z 根据方程组的特点 由学生归纳出此类方程组为 类型二 缺某元 消某元型 例 2 解方程组 172 162 152 zyx zyx zyx 分析 通过观察发现每个方程未知项的系数和相等 每一个未知数的 系数之和也相等 即系数和相等 具备这种特征的方程组 我们给它定义 为 轮换方程组 可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解 解 由 得 4x 4y 4z 48 即 x y z 12 得 x 3 得 y 4 得 z 5 是原方程组的解 3 4 5 x y z 典型例题举例 解方程组 20 19 21 xy yz xz 解 由 得 2 x y z 60 即 x y z 30 得 z 10 得 y 11 得 x 9 中小学中小学 1 1 对对 1 1 课外辅导专家课外辅导专家 3 是原方程组的解 9 11 10 x y z 根据方程组的特点 由学生归纳出此类方程组为 类型三 轮换方程组 求和作差型 例 3 解方程组 2132 7 2 1 zyx zyx 分析 1 观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系 根据以往的 经验 学生看见比例式就会想把比例式化成关系式求解 即由 x y 1 2 得 y 2x 由 x z 1 7 得 z 7x 从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形 式 即 根据方程组的特点 学生可选用 有表达 2 7 2321 yx zx xyz 式 用代入法 求解 解法 1 由 得 y 2x z 7x 并代入 得 x 1 把 x 1 代入 y 2x 得 y 2 把 x 1 代入 z 7x 得 z 7 是原方程组的解 1 2 7 x y z 分析 2 由以往知识可知遇比例式时 可设一份为参数 k 因此由方程 x y z 1 2 7 可设为 x k y 2k z 7k 从而也达到了消元的目的 并把 三元通过设参数的形式转化为一元 可谓一举多得 解法 2 由 设 x k y 2k z 7k 并代入 得 k 1 把 k 1 代入 x k 得 x 1 把 k 1 代入 y 2k 得 y 2 把 k 1 代入 z 7k 得 z 7 是原方程组的解 1 2 7 x y z 中小学中小学 1 1 对对 1 1 课外辅导专家课外辅导专家 4 典型例题举例 解方程组 4 5 2 3 111 zy xy zyx 分析 1 观察此方程组的特点是方程 中未知项间存在着比例关系 由例 3 的解题经验 学生易选择将比例式化成关系式求解 即由 得 x 2 3 y 由 得 z 从而利用代入法求解 4 5 y 解法 1 略 分析 2 受例 3 解法 2 的启发 有的学生想使用设参数的方法求解 但 如何将 转化为 x y z 的形式呢 通过观察发现 中都有 y 项 所以把它作为桥梁 先确定未知项 y 比值的最小公倍数为 15 由 5 得 y x 15 10 由 3 得 y z 15 12 于是得到 x y z 10 15 12 解法 2 由 得 x y z 10 15 12 设 x 10k y 15k z 12k 并代入 得 k 3 把 k 3 代入 x 10k 得 x 30 把 k 3 代入 y 15k 得 y 45 把 k 3 代入 z 12k 得 z 36 是原方程组的解 30 45 36 x y z 根据方程组的特点 由学生归纳出此类方程组为 类型四 遇比例式找关系式 遇比设元型 二 三元一次方程组之一般型 例 4 解方程组 34 6 2312 xyz xyz xyz 分析 对于一般形式的三元一次方程组的求解 应该认清两点 一是 确立消元目标 消哪个未知项 二是在消元的过程中三个方程式如何正 确的使用 怎么才能做到 目标明确 消元不乱 为此归纳出 一 消元的选择 1 选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元 中小学中小学 1 1 对对 1 1 课外辅导专家课外辅导专家 5 2 选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元 二 方程式的选择 采取用不同符号标明所用方程 体现出两次消元的过程选择 解 1232 6 43 zyx zyx zyx 明确消 z 并在方程组中体现出来 画线 得 5x 2y 16 体现第一次使用在 后做记号 得 3x 4y 18 体现第二次使用在 后做不同记号 由 得 5216 3418 xy xy 解得 2 3 x y 把 x 2 y 3 代人 得 z 1 是原方程组的解 2 3 1 x y z 典型例题举例 解方程组 2439 32511 56713 xyz xyz xyz 分析 通过比较发现未知项 y 的系数的最小公倍数最小 因此确定消 y 以方程 作为桥梁使用 达到消元求解的目的 解 2 得 6x 4y 10z 22 2x 4y 3z 9 得 8x 13z 31 3 得 9x 6y 15z 33 5x 6y 7z 13 得 4x 8z 20 x 2z 5 中小学中小学 1 1 对对 1 1 课外辅导专家课外辅导专家 6 由 得 81331 25 xz xz 解得 1 3 x z 把 x 1 z 3 代人 得 2 1 y 是原方程组的解 1 1 2 3 x y z 三 三元一次方程组的相关变式题型 例五 解方程组 1 3 423 10 32 9 2 zyxzyxzyx 解 原方程组可化为 3 3423 2 1032 1 92 zyx zyx zyx 由 1 3 得 634 zx 4 由 1 2 2 得 2975 zx 5 由 4 和 5 组成方程组 得 5 2975 4 634 zx zx 解这个方程组 得 2 3 z x 把 2 3 zx 代入 1 得 9223 y 2 y 2 2 3 z y x 是原方程组的解 例六 已知 0432 zyx 0543 zyx 求 zyx zyx 的值 解 由题意 得 2 0543 1 0432 zyx zyx 解这个方程组 得 zy zx 22 31 当 zx31 zy22 时 13 2 52 8 2231 2231 zzz zzz zyx zyx 所求代数式的值为13 2 中小学中小学 1 1 对对 1 1 课外辅导专家课外辅导专家 7 例 6 已知方程组 3 4 2 5 1 3 axz azy ayx 的解使代数式 zyx32 的值等于 10 求a的值 解 2 1 得 axz2 4 3 4 得 azaz3 62 把 az3 代入 2 和 3 得 axay 2 az ay ax 3 2 把 azayax3 2 代入 zyx32 得 103322 aaa 3 5 a 所求a的值为3 5 例 7 甲 乙两同学解方程组 102 2 ycx byax 已知甲的正确解答是 4 2 y x 乙由于看错了c 求出的解是 5 6 3 y x 则求 cba 的值 解 把 4 2 y x 代入原方程组 得 10422 242 c ba 1 c 由 5 6 3 y x 满足 2 byax 得 25 63 ba 和 1 组成方程组 得 2 25 63 1 242 ba ba 解得 2 5 b a 1 2 5 c b a 所求 cba 的值分别为 1 2 5 中小学中小学 1 1 对对 1 1 课外辅导专家课外辅导专家 8 在此需要说明的是 每一个三元一次方程组的求解方法都不是唯一的 需要进一步的观察 但是学生只要掌握了最基本的解方程组思想和策略 就可以以不变应万变 就可以很容易的学会三元一次方程组的解法 四 三元一次方程组的实际应用 例一 某车间有 60 人 生产甲乙丙三种零件 每人每小时能生产甲 24 个 或乙 20 个 或丙 16 个 现用零件甲 9 个 乙 15 个 丙 12 个 装配 成某机件 如何安排劳动力 才能使每小时生产的零件恰好成套 共有多 少套 解 设生产甲 乙 丙三种零件各有 x 人 y 人 z 人 根据题意得 x y z 60 24x 9 20y 15 16z 12 解得 x 12 y 24 z 24 24 12 9 32 答 安排生产甲 乙 丙三种零件各有 12 人 24 人 24 人 共有 32 套 例二 甲 乙 丙三个数的和是 35 甲数的 2 倍比乙数大 5 乙数的 1 3 三分之一 等于丙数的 1 2 二分之