吉安市第一中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学（理）试题 Word版含解析

江西省吉安市第一中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题）1. 若A，B表示点，a表示直线，表示平面，则下列叙述中正确的是（）A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则2. 已知正三角形ABC的边长为2，那么ABC的直观图ABC的面积为（）A. B. C. D. 3. 已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）A. B. C. 10D. 124. 化简方程=10为不含根式的形式是（ ）A. B. C. D. 5. 若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（ ）A. B. C. 或D. 以上答案都不对6. 若x，y满足，则的最大值为（）A. 0B. 2C. D. 17. 与直线xy40和圆x2+y2+2x2y0都相切的半径最小的圆的方程是（）A. B. C. D. 8. 设F1、F2是椭圆E：+=1（ab0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（）A. B. C. D. 9. 设椭圆的离心率为,右焦点为,方程的两个实根分别为和,则点()A. 必在圆外B. 必在圆上C. 必在圆内D. 以上三种情形都有可能10. 已知P（-4，-4），Q是椭圆x2+2y2=16上的动点，M是线段PQ上的点，且满足PM=MQ，则动点M的轨迹方程是（）A. B. C. D. 11. 直线ykx+1，当k变化时，直线被椭圆截得的最大弦长是（）A. 4B. 2C. D. 不能确定12. 若对圆（x-1）2+（y-1）2=1上任意一点P（x，y），|3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是（）A. B. C. 或D. 二、填空题（本大题共4小题）13. 椭圆短轴的长为8,则实数_14. 已知直线l:与圆交于A,B两点，过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点，则_.15. 已知点P是椭圆+1上一点，其左、右焦点分别为F1、F2，若F1PF2的外接圆半径为4，则F1PF2的面积是 16. 已知从圆C：（x+1）2+（y2）22外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|PO|，则当|PM|取最小值时点P的坐标为 三、解答题（本大题共6小题）17. 已知两直线l1：ax-by+4=0，l2：（a-1）x+y+b=0求分别满足下列条件的a，b的值（1）直线l1过点（-3，-1），并且直线l1与l2垂直；（2）直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等18. 求以原点O为圆心,被直线所得的弦长为的圆的方程求与圆外切于点且半径为的圆的方程19. 已知圆的方程为（）求过点且与圆相切的直线的方程；（）圆有一动点，若向量，求动点的轨迹方程20. 已知椭圆C：（ab0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为（）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值21. 过点M（4，3）的动直线l交x轴的正半轴于A点，交y轴正半轴于B点（）求OAB（O为坐标原点）的面积S最小值，并求取得最小值时直线l的方程（）设P是OAB的面积S取得最小值时OAB的内切圆上的动点，求u=|PO|2+|PA|2+|PB|2的取值范围22. 已知椭圆C中心在坐标原点，焦点在x轴上，且过点P，直线l与椭圆交于A，B两点（A，B两点不是左右顶点），若直线l的斜率为时，弦AB的中点D在直线上（）求椭圆C的方程（）若以A，B两点为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线l是否经过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由答案和解析1.【答案】D【解析】解：点与面的关系用符号，而不是，所以答案A错误；直线与平面的关系用表示，则AB表示错误；点A不在直线a上，但只要A，B都在平面内，也存在AB，答案C错误；而Aa，a，则A，所以答案D正确故选：D本题要正确应用点，线，面之间的关系和符号表示，利用公理一判断即可立体几何图形语言、符号语言、文字语言之间三者之间相互转化，对公理一要准确理解到位2.【答案】D【解析】解：如图所示，直观图ABC的高为h=CDsin45=CDsin45=2sin60sin45=，底边长为AB=AB=2；所以ABC的面积为：S=ABh=2=故选：D作出原图三角形与直观图形，再求直观图形的面积本题考查了平面直观图形的三角形面积计算问题，是基础题3.【答案】B【解析】解：an是公差为1的等差数列，S8=4S4，8a1+1=4（4a1+），解得a1=则a10=+91=故选：B利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆锥曲线的定义，考查方程的几何意义，考查椭圆的标准方程，是个简单题方程=10，它的几何意义是动点P（x，y）到定点（0，-3）与到定点（0，3）的距离之和为10，从而轨迹为椭圆，故可求【解答】解：方程=10，它的几何意义是动点P（x，y）到定点（0，-3）与到定点（0，3）的距离之和为106，从而轨迹为椭圆，焦点在y轴上，且a =5，c=3，b=4，其标准方程为：故选：C5.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,属于基础题.分类讨论椭圆的焦点在x轴和y轴上求解即可.【解答】解: 直线与坐标轴的交点为(0，1)，(2，0)，由题意知当焦点在x轴上时，c2，b1，所以a25，所以所求椭圆的标准方程为y21,当焦点在y轴上时，b2，c1，所以a25，所以所求椭圆的标准方程为1.综上可得，椭圆方程为y21或1.故选C.6.【答案】B【解析】解：作出不等式式表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部其中C（1，1），设P（x，y）为区域内点，定点D（0，-1）z=2，z的最大值为：2故选：B作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部设P（x，y）为区域内一点，定点D（0，-1），可得目标函数的表示P、O两点连线的斜率，运动点P并观察直线PD斜率的变化，即可得到z的最大值本题给出二元一次不等式组，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和直线的斜率等知识，是中档题7.【答案】C【解析】【分析】由题意先确定圆心的位置，再结合选项进行排除，并得到圆心坐标，再求出所求圆的半径本题主要考查了由题意求圆的标准方程，作为选择题可结合选项做题，这样可提高做题的速度【解答】解：由题意圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为（-1，1），半径为，过圆心（-1，1）与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，圆心（-1，1）到直线x-y-4=0的距离为=3，则所求的圆的半径为，故选：C8.【答案】C【解析】解：F2PF1是底角为30的等腰三角形，|PF2|=|F2F1|P为直线x=上一点故选：C利用F2PF1是底角为30的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题9.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的基本性质，考查点与圆的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题通过e=可得=，利用韦达定理可得x1+x2=-、x1x2=-，根据完全平方公式、点与圆的位置关系计算即得结论【解答】解：e=，=，x1，x2是方程ax2+bx-c=0的两个实根，由韦达定理：x1+x2=-=-，x1x2=-，x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=+1=2，点P（x1，x2）必在圆x2+y2=2内故选：C10.【答案】B【解析】解：椭圆x2+2y2=16 即=1，设动点M（x，y），Q（m，n），则有=1 =，m=4（x+3），n=4（y+3），代入化简可得（x+3）2+2（y+3）2=1，故选：B设动点M（x，y），Q（m，n），则有=1，由=，得到m=4（x+3），n=4（y+3），代入化简可得结果本题考查用代入法求点的轨迹方程，得到，是解题的关键11.【答案】C【解析】解：直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cos，sin）,|PQ|2=（2cos）2+（sin-1）2=-3sin2-2sin+5当sin=-时，故选C.直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cos，sin），利用三角函数即可得到结论本题考查直线与椭圆的位置关系，考查三角函数知识，解题的关键是将问题转化为点P与椭圆上任意一点Q的距离的最大值12.【答案】D【解析】【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于中档题.由题意可得|3x-4y+a|+|3x-4y-9|可以看作点P到直线m：3x-4y+a=0与直线l：3x-4y-9=0距离之和的5倍，根据点到直线的距离公式解得即可【解答】解：设z=|3x-4y+a|+|3x-4y-9|=5（+），故|3x-4y+a|+|3x-4y-9|可以看作点P到直线m：3x-4y+a=0与直线l：3x-4y-9=0距离之和的5倍，取值与x，y无关，这个距离之和与P无关，如图所示：当圆在两直线之间时，P点与直线m，l的距离之和均为m，l的距离，此时与x，y的值无关，当直线m与圆相切时，=1，化简得|a-1|=5，解得a=6或a=-4（舍去），a6 .故选：D13.【答案】16【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查,为基础题利用椭圆方程，直接求解m即可【解答】解：椭圆短轴的长为8，因为a=6，2a=12，所以椭圆的焦点坐标在x轴，可得=4，解得m=16故答案为：1614.【答案】4【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础先求出|AB|，再利用三角函数求出|CD|即可【解答】解：如图所示：由题意，圆心到直线的距离d=，|AB|=，设直线：x-y+6=0的倾斜角为，则,，故答案为415.【答案】或4【解析】解：由题意，得a=4，b=2，得c=2，F1（-2，0）F2（2，0），圆心A在F1F2垂直平分线上，设圆心为M（0，m），则有AF2=4，可求得m=2，外接圆方程为x2+（y-2）2=16，与椭圆联立可求得P点的纵坐标y=或-2，其绝对值即为三角形的高，F1PF2的面积S=F1F2*|y（A）|=或4故答案为：或4首先，得到该椭圆的焦点坐标，然后，求解外接圆的圆心，从而得到其方程，然后，联立方程组，求解点P的纵坐标，从而得到该三角形的高，即得其面积本题重点考查了椭圆的简单几何性质、三角形的面积公式等知识，属于中档题16.【答案】（-，）【解析】【分析】设P（x，y）由切线的性质可得：CMPM，利用|PM|=|PO|，可得2x1-4y1+3=0要使|PM|最小，只要|PO|最小即可本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题【解答】解：如图所示，圆C：（x+1）2+（y-2）2=2，圆心C（-1，2），半径r=因为|PM|=|PO|，所以|PO|2+r2=|PC|2（C为圆心，r为圆的半径）,所以x12+y12+2=（x1+1）2+（y1-2）2，即2x1-4y1+3=0要使|PM|最小，只要|PO|最小即可当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,P点坐标（-，）.故答案为（-，）17.【答案】解：（1）l1l2，a（a-1）+（-b）1=0，即a2-a-b=0又点（-3，-1）在l1上，-3a+b+4=0由得a=2，b=2（2）l1l2，=1-a，b=，故l1和l2的方程可分别表示为：（a-1）x+y+=0，（a-1）x+y+=0，又原点到l1与l2的距离相等4|=|，a=2或a=，a=2，b=-2或a=，b=2【解析】（1）利用直线l1过点（-3，-1），直线l1与l2垂直，斜率之积为-1，得到两个关系式，求出a，b的值（2）类似（1）直线l1与直线l2平行，斜率相等，坐标原点到l1，l2的距离相等，利用点到直线的距离相等得到关系，求出a，b的值本题考查两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，考查计算能力，是基础题18.【答案】解：（）因为O点到直线x-y+1=0的距离为，所以圆O的半径为，故圆O的方程为x2+y2=2（）连心线斜率，设所求圆心（a，b），则，解得b=2a因为两圆相外切，所以由解得，或，经检验，当时，不符合题意，故舍去所以，所求圆的方程为（x-4）2+（y-8）2=20【解析】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，切线方程的应用，考查转化思想以及计算能力（）利用垂径定理，求出以原点O为圆心，被直线x-y+1=0所得的弦长为的圆的半径，然后求解圆的方程（）求出连心线的斜率，设出圆的圆心坐标，利用两圆外切，列出方程，转化求解圆的方程19.【答案】解：（）圆C的方程为x2+y2=4，圆心为坐标原点，半径为2，当斜率不存在时，x=2，过点P（2，1）且与圆C相切的直线的方程x=2满足题意；当斜率存在时，设切线方程为y-1=k（x-2），由得，此时切线方程为：3x+4y-10=0，则所求的切线方程为x=2或3x+4y-10=0；（）设Q点的坐标为（x，y），（x，y）=（x0，2y0），x=x0，y=2y0，即所以动点的轨迹方程为.【解析】本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查（）求出圆心与半径，利用直线的斜率是否存在，结合过点P（2，1）且与圆C相切的关系判断求解切线的方程；（）设出Q的坐标，通过，列出方程即可求动点Q的轨迹方程20.【答案】解：（）设椭圆的半焦距为c，依题意b=1，所求椭圆方程为（）设A（x1，y1），B（x2，y2）（1）当ABx轴时，（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m由已知，得把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，|AB|2=（1+k2）（x2-x1）2=当且仅当，即时等号成立当k=0时，综上所述|AB|max=2当|AB|最大时，AOB面积取最大值【解析】（）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程（）设A（x1，y1），B（x2，y2）（1）当ABx轴时，（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m由已知，得把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，然后由根与系数的关系进行求解本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，认真审题，仔细解答21.【答案】（1）解：设l斜率为K，则l：y-3=k（x-4）得A（4-，0），B（0，3-4k）（k0），由，故Smin=24，l：3x+4y-24=0（）OAB面积S最小时，A（8，0），B（0，6），|AB|=10，直角OAB内切圆半径，圆心为Q（2，2），内切圆方程为（x-2）2+（y-2）2=4设P（x，y），则x2+y2-4x-4y+4=0，其中0x4U=|PO|2+|PA|2+|PB|2=x2+y2+（x-8）2+y2+x2+（y-6）2=3x2+3y2-16x-12y+100=88-4x（0x4），当x=0时，Umax=88，当x=4时，Umin=72U的范围是72，88【解析】（）设出斜率，求出AB坐标，推出OAB（O为坐标原点）的面积S最小值，即可