吉林省长春市2012-2013学年高二数学下学期期初考试试题（A） 理 新人教A版

1 2012 2013 学年高二下学期期初考试数学 理 试题 学年高二下学期期初考试数学 理 试题 A 一一 选择题 本大题共选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 合题目要求的 1 命题 存在一个无理数 它的平方是有理数 的否定是 A 任意一个有理数 它的平方是有理数 B 任意一个无理数 它的平方不是有理数 C 存在一个有理数 它的平方是有理数 D 存在一个无理数 它的平方不是有理数 2 设函数 则 x x xf ln A 为 f x的极大值点 B 为 f x的极小值点ex ex C 为 f x的极大值点 D 为 f x的极小值点 1 ex 1 ex 3 已知命题 命题 则下列结论正确的pxR 5 cos 4 x q 2 10 xR xx 是 A 命题是真命题 B 命题是真命题 pq pq C 命题是真命题 D 命题是假命题pq pq 4 如图 在空间直角坐标系中有直三棱柱 111 ABCABC 1 2CACCCB 则直线 1 BC与直线 1 AB夹角的余弦值为 A 5 5 B 5 3 C 2 5 5 D 3 5 5 设平面 与平面 相交于直线m 直线a在平面 内 直线b在平面 内 且bm 则 是 ab 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件D 即不充分不必要条件 6 已知 F1 F2为双曲线 C 的左 右焦点 点 P 在 C 上 PF1 2PF2 则2 22 yx cos F1PF2 A B C D 1 4 3 4 3 5 4 5 7 设 an 是等比数列 则 a1 a2 a3 是 数列 an 是递增数列 的 2 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 8 已知双曲线 的离心率 2 若抛物线的 1 C1 2 2 2 2 b y a x 0 0 ba 2 2 2 0 Cxpy p 焦点到双曲线的渐近线的距离为 2 则抛物线的方程为 1 C 2 C A B 2 16 3 3 xy C D 2 8 3 3 xy 2 8xy 2 16xy 9 已知命题 p1 函数 y 2x 2 x在 R 上为增函数 p2 函数 y 2x 2 x在 R 上为减函 数 则在命题 q1 p1 p2 q2 p1 p2 q3 p1 p2和 q4 p1 p2 中 真命题是 A q1 q3 B q1 q4 C q2 q3 D q2 q4 10 已知cbaabcxxxxf 96 23 且0 cfbfaf 现给出如 下结论 0 1 0 ff 0 1 0 ff 0 3 0 ff 0 3 0 ff 其中正确结论的序号是 A B C D 11 已知椭圆的离心学率为 双曲线渐近线与椭 22 22 1 0 xy Cab ab 3 2 22 1xy 圆有四个交点 以这四个焦点为顶点的四边形面积为 16 则椭圆的方程为 CC A B C D 22 1 82 xy 22 1 126 xy 22 1 164 xy 22 1 205 xy 12 若 0 x 则下列不等式恒成立的是 A 2 1 x ex x B 2 111 1 241 xx x C 2 1 cos1 2 xx D 2 1 ln 1 8 xxx 二二 填空题 本大题共填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 分 13 设 p 方程 x2 2mx 1 0 有两个不相等的正根 q 方程 x2 2 m 2 x 3m 10 0 无实根 则使 p q 为真 p q 为假的实数 m 的取值范围是 14 椭圆的左焦点为 直线与椭圆相交于点 当的周 22 1 43 xy Fxm ABFAB 长最大时 的面积是 FAB 15 已知是曲线上的任一点 若曲线在点处的切线的倾Mxaxxy 1 2 1 ln 2 M 斜角均不小于的锐角 则实数的取值范围是 4 a 16 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点 点是原点 若 2 4yx F A BO3AF 3 则的面积为 AOB 三三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 PD 底面 ABCD AD PD E F 分别为 CD PB 的中 点 1 求证 平面 PAB 2 设 求与平面所成的角的正弦值 EFBCAB2 ACAEF A B C D P E F 17 题图 18 题图 18 本小题满分 12 分 如图 在长方体 1111 DCBAABCD 中 1 1 ADAA E为CD中点 1 求证 11 ADEB 2 在棱 1 AA上是否存在一点P 使得 DP平面AEB1 若 存在 求AP的长 若不存在 说明理由 3 若二面角 11 AEBA 的大小为 0 30 求AB的长 19 本小题满分 12 分 如图 等边三角形OAB的边长为8 3 且其三个顶点均在抛物线 0 2 2 ppyxE上 1 求抛物线E的方程 2 设动直线l与抛物线E相切于点P 与直线1 y相交于点Q 证明 以PQ为直 径的圆恒过y轴上某定点 19 题图 20 题图 4 20 本小题满分 12 分 如图 椭圆的离心率为 1 2 其左焦点到点 P 2 1 的距离为 22 22 1 0 xy Cab ab 10 不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A B 两点 且线段 AB 被直线 OP 平分 1 求椭圆 C 的方程 2 求 ABP 的面积取最大值时直线 l 的方程 21 本小题满分 12 分 设 ln1f xxx 证明 1 当x 1 时 f x 3 1 2 x 2 当13x 时 9 1 5 x f x x 22 本小题满分 12 分 设函数 f x ex ax 2 1 求 f x 的单调区间 2 若 a 1 k 为整数 且当 x 0 时 x k f x x 1 0 求 k 的最大值 5 长春市实验中学长春市实验中学 2012 2013 学年第二学期高二开学初考试学年第二学期高二开学初考试 理科数学理科数学 A 卷参考答案卷参考答案 一 一 选择题选择题 二二 填空题填空题 13 2 1 3 14 3 15 2 16 3 2 2 三三 解答题解答题 17 本小题满分 10 分 1 略 2 AC 与平面 AEF 所成的角的正弦值为 6 3 设 11 ADADO 连接AO 过点O作 1 OHB E 于点H 连接AH 1 AO 面面 11 ABCD 1 OHB E 1 AHB E 得 AHO 是二面角 11 AEBA 的平面角 30AHO 在Rt AOH 中 26 30 90 22 AHOAOHAHOH 在矩形 11 ABCD中 1 2CDx AD 1 112123 2 22 22222228 B OE xxx Sxx 2 16 22 242 x x 得 2AB 6 2 设 2 0 0 4 x P x 则 2 11 42 yxyx 过点P的切线方程为 2 000 11 42 yxx xx 即 2 00 11 24 yx xx 令 2 0 0 4 1 1 2 x yQ x 设 0 Mt满足 0MP MQ A及 2 0 00 0 4 1 2 x MPxyt MQt x 得 22 0 4 2 1 0ttt x 对 0 0 x 均成立 2 20 101tttt 以PQ为直径的圆恒过y轴上定点 0 1 M 20 本小题满分 12 分 解 1 由题 1 2 c e a 1 左焦点 c 0 到点 P 2 1 的距离为 22 2 1dc 10 2 由 1 2 可解得 222 431abc 所求椭圆 C 的方程为 22 1 43 xy 2 易得直线 OP 的方程 y 1 2 x 设 A xA yA B xB yB R x0 y0 其中 y0 1 2 x0 A B 在椭圆上 7 22 0 22 0 1 2333 43 44 22 1 43 AA ABAB AB ABAB BB xy xyyxx k xxyyy xy 设直线 AB 的方程为 l y 3 2 xm m 0 代入椭圆 22 22 1 43 3330 3 2 xy xmxm yxm 显然 222 3 4 3 3 3 12 0mmm 32 m 32且 m 0 由上又有 AB xx m AB yy 2 3 3 m AB 2 1k AB xx 1 AB k 2 4 ABAB xxx x 2 1k 2 4 3 m 点 P 2 1 到直线 l 的距离为 4 9 1 4 m d S ABP 1 2 d AB 1 2 m 4 2 4 3 m 2 12 4 6 3 mm 12 4 6 3 22 mm 其中 令 32 0 0 32 m 32 32 4 12 22 mmmmu 当取到最大值 此时 S 取到 71 71 4 4 mmmu 71mum 最大值 综上 所求直线 l 的方程为 027223 yx 21 解解 1 记 g x 3 ln1 1 2 xxx 则当x 1 时 g x 113 0 22xx 又 1 0g g x 0 即 f x 3 1 2 x 4 分 法 2 由均值不等式 当x 1 时 21xx 1 22 x x 令 ln1k xxx 则 1 0k 1 10k x x 0k x 即ln1xx 由 得 当x 1 时 f x 3 1 2 x 4 分 2 法 1 记 9 1 5 x h xf x x 由 得 h x 2 1154 5 2xxx 2 254 2 5 x xx 2 554 4 5 x xx 3 2 5 216 4 5 xx x x 8 令 g x 3 5 216xx 则当13x 时 g x 2 3 5 2160 x 10 分 h x在 1 3 内单调递减 又 1 0h h x 0 当 1 x 3 时 9 1 5 x f x x 12 分 证法 2 记 h x 5 9 1 x