初中数学：实际问题与二次函数-详解与练习(含答案)

1 11 初中数学专项训练 实际问题与二次函数初中数学专项训练 实际问题与二次函数 一 一 利用函数求图形面积的最值问题利用函数求图形面积的最值问题 一 围成图形面积的最值 1 只围二边的矩形的面积最值问题 例 1 如图 1 用长为 18 米的篱笆 虚线部分 和两面墙围成矩形苗 圃 1 设矩形的一边长为 x 米 面积为 y 平方米 求 y 关于 x 的函数关系式 2 当 x 为何值时 所围成的苗圃面积最大 最大面积是多少 分析 关键是用含分析 关键是用含 x x 的代数式表示出矩形的长与宽 的代数式表示出矩形的长与宽 解 1 设矩形的长为 x 米 则宽为 18 x 米 根据题意 得 xxxxy18 18 2 又 180 018 0 x x x 2 中 a 1 0 y 有最大值 xxxxy18 18 2 即当时 9 1 2 18 2 a b x81 1 4 180 4 4 22 max a bac y 故当 x 9 米时 苗圃的面积最大 最大面积为 81 平方米 点评 在回扣问题实际时 一定注意不要遗漏了单位 2 只围三边的矩形的面积最值 例 2 如图 2 用长为 50 米的篱笆围成一个养鸡场 养鸡场的一面靠墙 问如何围 才能使养鸡场的面积最大 分析 关键是明确问题中的变量是哪两个 并能准确布列出函数关系分析 关键是明确问题中的变量是哪两个 并能准确布列出函数关系式式 解 设养鸡场的长为 x 米 面积为 y 平方米 则宽为 2 50 x 米 根据题意 得 xx x xy25 2 1 2 50 2 又 500 0 2 50 0 x x x 中 a 0 y 有最大值 xx x xy25 2 1 2 50 2 2 1 即当时 25 2 1 2 25 2 a b x 2 625 2 1 4 250 4 4 22 max a bac y 故当 x 25 米时 养鸡场的面积最大 养鸡场最大面积为平方米 2 625 点评 如果设养鸡场的宽为 x 上述函数关系式如何变化 请读者自己完成 3 围成正方形的面积最值 例 3 将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段 并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形 1 要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2 那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少 2 两个正方形的面积之和可能等于 12cm2吗 若能 求出两段铁丝的长度 若不能 请说明理由 1 解 设剪成两段后其中一段为 xcm 则另一段为 20 x cm 由题意得 17 4 20 4 22 xx 解得 4 16 21 xx 当时 20 x 4 当时 20 x 1616 1 x4 2 x 答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是 16 厘米 4 厘米 2 不能 理由是 设第一个正方形的边长为 xcm 则第二个正方形的边长为cm 围成两个正方形 5 4 420 x x 的面积为 ycm2 根据题意 得 25102 5 222 xxxxy 中 a 2 0 y 有最小值 25102 5 222 xxxxy 即当时 12 5 12 故两个正 2 5 22 10 2 a b x 2 25 24 102524 4 4 22 min a bac y 方形面积的和不可能是12cm2 练习 1 如图 正方形 EFGH 的顶点在边长为 a 的正方形 ABCD 的边上 若 AE x 正方形 EFGH 的面积为 y 1 求出 y 与 x 之间的函数关系式 2 正方形 EFGH 有没有最大面积 若有 试确定 E 点位置 若没有 说明理由 二 利用二次函数解决抛物线形建筑物问题二 利用二次函数解决抛物线形建筑物问题 例题 1 如图 1 是一个横断面为抛物线形状的拱桥 当水面在 l 时 拱顶 拱桥洞的最高点 离水面 2m 水面宽 4m 如图 2 建立平面直角坐标系 则抛物线的关系式是 3 11 图 1 图 2 2 1 2 yx 解析 试题分析 由图中可以看出 所求抛物线的顶点在原点 对称轴为 y 轴 可设此函数解析式为 y ax2 利 用待定系数法求解 试题解析 设此函数解析式为 2 yax 0a 那么 2 2 应在此函数解析式上 则24a 即得 1 2 a 那么 2 1 2 yx 考点 根据实际问题列二次函数关系式 练习 1 某地要建造一个圆形喷水池 在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 OA O 恰在水面中心 安置在柱子 顶端 A 处的喷头向外喷水 水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下 且在过 OA 的任一平面上 抛物线形状如图 1 所示 图 2 建立直角坐标系 水流喷出的高度 y 米 与水平距离 x 米 之间的 关系是 请回答下列问题 4 5 2 2 xxy 1 柱子 OA 的高度是多少米 2 喷出的水流距水平面的最大高度是多少米 3 若不计其他因素 水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外 2 一座桥如图 桥下水面宽度 AB 是 20 米 高 CD 是 4 米 要使高为 3 米的船通过 则其宽度须不超过多 少米 1 如图 1 若把桥看做是抛物线的一部分 建立如图坐标系 求抛物线的解析式 要使高为 3 米的船通过 则其宽度须不超过多少米 2 如图 2 若把桥看做是圆的一部分 求圆的半径 要使高为 3 米的船通过 则其宽度须不超过多少米 三 利用抛物线解决最大利润问题三 利用抛物线解决最大利润问题 例题 1 某市政府大力扶持大学生创业 李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件 20 元的护眼台 灯 销售过程中发现 每月销售量 y 件 与销售单价 x 元 之间的关系可近似的看做一次函数 y 10 x 500 1 设李明每月获得利润为 w 元 当销售单价定为多少元时 每月可获得最大利润 6 分 2 如果李明想要每月获得 2 000 元的利润 那么销售单价应定为多少元 3 分 3 物价部门规定 这种护眼台灯的销售单价不得高于 32 元 如果李明想要每月获得的利润不低于 2 000 元 那么他每月的成本最少需要多少元 成本 进价 销售量 3 分 答案 1 35 2 30 或 40 3 3600 解析 试题分析 1 由题意得 每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数 根据利润 定价 进价 销售量 从而列出关系式 2 令 w 2000 然后解一元二次方程 从而求出销售单价 3 根 据函数解析式 利用一次函数的性质求出最低成本即可 试题解析 1 由题意得出 2 Wx20 yx2010 x50010 x700 x10000 b a10035 2a 当销售单价定为 35 元时 每月可获得最大利润 2 由题意 得 2 10 x700 x100002000 解这个方程得 x1 30 x2 40 李明想要每月获得 2000 元的利润 销售单价应定为 30 元或 40 元 3 抛物线开口向下 当 30 x 40 时 W 2000 a100 x 32 当 30 x 32 时 W 2000 设成本为 P 元 由题意 得 P2010 x500200 x10000 k 200 0 P 随 x 的增大而减小 当 x 32 时 P 最小 3600 5 11 答 想要每月获得的利润不低于 2000 元 每月的成本最少为 3600 元 考点 二次函数的应用 练习 1 某玩具批发商销售每只进价为 40 元的玩具 市场调查发现 若以每只 50 元的价格销售 平均每 天销售 90 只 单价每提高 1 元 平均每天就少销售 3 只 1 平均每天的销售量 y 只 与销售价 x 元 只 之间的函数关系式为 2 求该批发商平均每天的销售利润 W 元 与销售只 x 元 只 之间的函数关系式 3 物价部门规定每只售价不得高于 55 元 当每只玩具的销售价为多少元时 可以获得最大利润 最大 利润是多少元 一系列 三农 优惠政策 使农民收入大幅度增加 某农户生产经销一种农产品 已知这种产品的成本价 为每千克 20 元 市场调查发现 该产品每天的销售量 y 千克 与销售价 x 元 千克 有如下关系 设这种产品每天的销售利润为 w 元 y2x80 1 求 w 与 x 之间的函数关系式 2 该产品销售价定为每千克多少元时 每天的销售利润最大 最大利润是多少元 2 为了落实国务院的指示精神 地方政府出台了 3 某公司营销两种产品 根据市场调研 发现如下信息 A B 信息 1 销售种产品所获利润 万元 与所售产品 吨 之间存在二次函数关系Ayx 当时 当时 2 yaxbx 1x 1 4y 3x 3 6y 信息 2 销售种产品所获利润 万元 与所售产品 吨 之间存在正比例函数关系 Byx0 3yx 根据以上信息 解答下列问题 1 求二次函数解析式 2 该公司准备购进两种产品共 10 吨 请设计一个营销方案 使销售两种产品获得的利润之和 A B A B 最大 最大利润是多少 4 为鼓励大学毕业生自主创业 某市政府出台了相关政策 由政府协调 本市企业按成本价提供产品给 大学毕业生自主销售 成本价与出厂价之间的差价由政府承担 李明按照相关政策投资销售本市生产的一 种新型节能灯 已知这种节能灯的成本价为每件 10 元 出厂价为每件 12 元 每月销售量 件 与销售y 单价 元 之间的关系近似满足一次函数 x10500yx 1 李明在开始创业的第一个月将销售单价定为 20 元 那么政府这个月为他承担的总差价为多少元 2 设李明获得的利润为 元 当销售单价定为多少元时 每月可获得最大利润 w 3 物价部门规定 这种节能灯的销售单价不得高于 25 元 如果李明想要每月获得的利润不低于 3000 元 那么政府为他承担的总差价最少为多少元 5 某文具店销售一种进价为 10 元 个的签字笔 物价部门规定这种签字笔的售价不得高于 14 元 个 根 据以往经验 以 12 元 个的价格销售 平均每周销售签字笔 100 个 若每个签字笔的销售价格每提高 1 元 则平均每周少销售签字笔 10 个 设销售价为 x 元 个 1 该文具店这种签字笔平均每周的销售量为 个 用含 x 的式子表示 2 求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润 w 元 与销售价 x 元 个 之间的函数关系式 3 当 x 取何值时 该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大 最大利润是多少元 6 一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车 100 辆 公司在经营中发现每辆车的月租金 x 元 与每月租出的车 辆数 y 有如下关系 x3000320035004000 y100969080 1 观察表格 用所学过的一次函数 反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数 y 辆 与每辆车的月租金 x 元 之间的关系式 2 已知租出的车每辆每月需要维护费 150 元 未租出的车每辆每月需要维护费 50 元 用含 x x 3000 的代数式填表 租出的车辆数 未租出的车辆数 租出每辆车的月收 益 所有未租出的车辆每月的维护 费 3 若你是该公司的经理 你会将每辆车的月租金定为多少元 才能使公司获得最大月收益 请求出公 司的最大月收益是多少元 初中数学专项训练 实际问题与二次函数初中数学专项训练 实际问题与二次函数 参考答案参考答案 一 1 1 y 2x2 2ax a2 2 有 当点 E 是 AB 的中点时 面积最大 解析 本题考查了二次函数的应用 1 先由 AAS 证明 AEF DHE 得出 AE DH x 米 AF DE a x 米 再根据勾股定理 求出 EF2 即 可得到 S 与 x 之间的函数关系式 2 先将 1 中求得的函数关系式运用配方法写成顶点式 再根据二次函数的性质即可求解 解 四边形 ABCD 是边长为 a 米的正方形 A D 90 AD a 米 四边形 EFGH 为正方形 FEH 90 EF EH 在 AEF 与 DHE 中 A D AEF DHE 90 DEH EF EH AEF DHE AAS AE DH x 米 AF DE a x 米 y EF2 AE2 AF2 x2 a x 2 2x2 2ax a2 即 y 2x2 2ax a2 2 y 2x2 2ax a2 2 x 2 2 a 2 4 a 当 x 时 S 有最大值 2 a 故当点 E 是 AB 的中点时 面积最大 2 练习 1 1 2 3 4 5 4 9 2 5 解析 本题考查了二次函数的应用 1 本题需先根据已知条件把 x 0 代入抛物线的解析式 从而得出 y 的值 即可求出答案 2 通过抛物线的顶点坐标求得 3 本题需先根据已知条件把 y 0 代入抛物线求出所要求的式子 再得出 x 的值 即可求出答案 解 1 把 x 0 代入抛物线的解析式 7 11 得 y 即柱子 OA 的高度是 4 5 4 5 2 由题意得 当 x 时 y 即水流距水平面的最大高度 2 1 21 4 9 3 把 y 0 代入抛物线 得 0 解得 x1 舍去 不合题意 x2 4 5 2 2 xx 1 2 5 2 故水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外 5 2 2 1 10 2 14 5 2 1 4 25 yx 4 7 解析 试题分析 1 利用待定系数法求函数解析式即可 根据题意得出 y 3 时 求出 x 的值即可 2 构造直角三角形利用 BW2 BC2 CW2 求出即可 在 RT WGF 中 由题可知 WF 14 5 WG 14 5 1 13 5 根据勾股定理知 GF2 WF2 WG2 求出即可 试题解析 1 设抛物线解析式为 桥下水面宽度 AB 是 20 米 高 CD 是 4 米 2 yaxc A 10 0 B 10 0 D 0 4 解得 抛物线解析式为 1000 4 ac c 1 25 4 a c 2 1 4 25 yx 要使高为 3 米的船通过 则 解得 EF 10 米 3y 2 1 34 25 x 5x 2 设圆半径 r 米 圆心为 W BW2 BC2 CW2 解得 222 4 10rr 14 5r 在 RT WGF 中 由题可知 WF 14 5 WG 14 5 1 13 5 根据勾股定理知 GF2 WF2 WG2 即 GF2 14 52 13 52 28 所以 GF 此时宽度 EF 米 2 74 7 考点 1 二次函数的应用 2 垂径定理的应用 三 1 1 y 3x 240 2 w 3x2 360 x 9600 3 定价为 55 元时 可以获得最大利润是 1125 元 解析 试题分析 1 根据题意知销售量 y 只 与销售价 x 元 只 之间的函数关系式为 y 90 3 x 50 3x 240 2 根据 总利润 每件商品的利润 销售量 可知 w x 40 y x 40 3x 240 3x2 360 x 9600 3 求获得最大利润 也就是求函数 w 3x2 360 x 9600 的最大值 试题解析 1 y 90 3 x 50 即 y 3x 240 2 w x 40 y x 40 3x 240 3x2 360 x 9600 3 当 x 60 y 随 x 的增大而减小 当 x 55 时 w最大 1125 所以定价为 55 元时 可以获得最大利润是 1125 元 考点 1 一次函数 2 二次函数 2 1 2 该产品销售价定为每千克 30 元时 每天销售利润最大 最大销售 2 w2x120 x1600 利润 200 元 解析 试题分析 1 根据销售额 销售量 销售价单 x 列出函数关系式 2 用配方法将 2 的函数关系 式变形 利用二次函数的性质求最大值 试题解析 1 由题意得 2 wx20yx202x802x120 x1600 w 与 x 的函数关系式为 2 w2x120 x1600 2 2 2 w2x120 x16002 x30200 2 0 当 x 30 时 w 有最大值 w 最大值为 200 答 该产品销售价定为每千克 30 元时 每天销售利润最大 最大销售利润 200 元 考点 1 二次函数的应用 2 由实际问题列函数关系式 3 二次函数的最值 3 见解析 解析 试题分析 1 因为当 x 1 时 y 1 4 当 x 3 时 y 3 6 代入 2 yaxbx 得 解得 所以 二次函数解析式为 y 0 1x2 1 5x 1 4 933 6 ab ab 0 1 1 5 a b 2 设购进 A 产品 m 吨 购进 B 产品 10 m 吨 销售 A B 两种产品获得的利润之和为 W 元 根据题意 可列函数关系式为 W 0 1m2 1 5m 0 3 10 m 0 1m2 1 2m 3 0 1 m 6 2 6 6 因为 0 1 0 根据 二次函数的性质知当 m 6 时 W 有最大值 6 6 试题解析 1 当 x 1 时 y 1 4 当 x 3 时 y 3 6 1 4 933 6 ab ab 解得 0 1 1 5 a b 所以 二次函数解析式为 y 0 1x2 1 5x 3 分 2 设购进 A 产品 m 吨 购进 B 产品 10 m 吨 销售 A B 两种产品获得的利润之和为 W 元 则 W 0 1m2 1 5m 0 3 10 m 0 1m2 1 2m 3 0 1 m 6 2 6 6 0 1 0 当 m 6 时 W 有最大值 6 6 9 11 购进 A 产品 6 吨 购进 B 产品 4 吨 销售 A B 两种产品获得的利润之和最大 最大利润是 6 6 万元 考点 1 待定系数法求解析式 2 二次函数性质 4 1 政府这个月为他承担的总差价为 600 元 2 当销售单价定为 30 元时 每月可获得最大利润 4000 3 销售单价定为 25 元时 政府每个月为他承担的总差价最少为 500 元 解析 试题分析 1 根据每月销售量 件 与销售单价 元 之间的关系可求得每月销售量 又由单价yx 和成本间关系得到每件节能灯的差价 则可得到总差价 2 求每月可获得最大利润 即为求该二次函数 的最大值 将二次函数配方法 可得该函数的最大值 3 同时满足 根据函数图象的性3000w 25x 质知道 随的增大而减小 当时 该函数有最大值时 有最小值 500 0k x25x p 试题解析 1 当时 20 x 1050010 20500300yx 300 1210 3002600 政府这个月为他承担的总差价为 600 元 2 依题意得 101050010600500010304000 2 2 w x x x x x 100a 当时 有最大值 4000 30 x w 当销售单价定为 30 元时 每月可获得最大利润 4000 3 由题意得 1060050003000 2 x x 解得 1 20 x 2 40 x 抛物线开口向下 100a 结合图象可知 当时 2040 x 3000w 又 当时 w 3000 25x 2025x 设政府每个月为他承担的总差价为元 p 121010500px 201000 x 随的增大而减小 200k px 当时 有最小值 500 25x p 销售单价定为 25 元时 政府每个月为他承担的总差价最少为 500 元 考点 1 二次函数的性质 2 二次函数的图象 3 二次函数的综合应用 5 1 220 10 x 2 当 x 14 时 该文具店这种签字笔平均每周的 2 10320