高二数学上期全部知识点

1 单元知识总结 一 坐标法一 坐标法 1 点和坐标 建立了平面直角坐标系后 坐标平面上的点和一对有序实数 x y 建立了一一对应 的关系 2 两点间的距离公式 设两点的坐标为 P1 x1 y1 P2 x2 y2 则两点间的距离 P P 12 xxyy 21 2 21 2 特殊位置的两点间的距离 可用坐标差的绝对值表示 1 当 x1 x2时 两点在 y 轴上或两点连线平行于 y 轴 则 P1P2 y2 y1 2 当 y1 y2时 两点在 x 轴上或两点连线平行于 x 轴 则 P1P2 x2 x1 3 线段的定比分点 1 PP PP PPP P PPPPP P P PP P 1212 1212 1 12 定义 设 点把有向线段分成和两部分 那么有向 线段和的数量的比 就是 点分所成的比 通常用 表示 即 点 叫做分线段为定比 的定比分点 P PP2 当 点内分时 当 点外分时 PP P0PP P0 1212 2 公式 分 P1 x1 y2 和 P2 x2 y2 连线所成的比为 的分点坐标是 x xx y yy 12 12 1 1 1 特殊情况 当 是的中点时 得线段的中点坐标PP P 1P P 1212 公式 2 x xx y yy 12 12 2 2 二 直线二 直线 1 直线的倾斜角和斜率 1 当直线和 x 轴相交时 把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转 的最小正角 叫做这条直线的倾斜角 当直线和 x 轴平行线重合时 规定直线的倾斜角为 0 所以直线的倾斜角 0 2 倾斜角不是 90 的直线 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜 率 直线的斜率常用 表示 即 kk tan 2 当 k 0 时 arctank 锐角 当 k 0 时 arctank 钝角 3 斜率公式 经过两点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 的直线的斜率为 k y xx 2 12 y xx 1 21 2 直线的方程 1 点斜式 已知直线过点 x0 y0 斜率为 k 则其方程为 y y0 k x x0 2 斜截式 已知直线在 y 轴上的截距为 b 斜率为 k 则其方程为 y kx b 3 两点式 已知直线过两点 x1 y1 和 x2 y2 则其方程为 yy yy x xx 1 21 1 21 x xx 12 4 截距式 已知直线在 x y 轴上截距分别为 a b 则其方程为 x a y b 1 5 参数式 已知直线过点 P x0 y0 它的一个方向向量是 a b 则其参数式方程为为参数 特别地 当方向向量为 xxat yybt 0 0 t 3 v cos sin 为倾斜角 时 则其参数式方程为 xxt yyt 0 0 cos sin 为参数 t 这时 的几何意义是 ttv p p t p p p p 000 6 一般式 Ax By C 0 A B 不同时为 0 7 特殊的直线方程 垂直于 x 轴且截距为 a 的直线方程是 x a y 轴的方程是 x 0 垂直于 y 轴且截距为 b 的直线方程是 y b x 轴的方程是 y 0 3 两条直线的位置关系 1 平行 当直线 l1和 l2有斜截式方程时 k1 k2且 b1 b2 当 和 是一般式方程时 ll 12 A A B B C C 1 2 1 2 1 2 2 重合 当 l1和 l2有斜截式方程时 k1 k2且 b1 b2 当 l1和 l2是 一般方程时 A A B B C C 1 2 1 2 1 2 3 相交 当 l1 l2是斜截式方程时 k1 k2 当 是一般式方程时 ll 12 A A B B 2 2 1 2 斜 交 交点 的解 到角 到 的角 夹角公式 和 夹角 A xB yC A xB yC kk k k k k kk k k k k 111 222 2 21 12 12 12 21 12 12 0 0 1 10 1 10 ll ll 1 tan tan 垂直 当 和 有斜截式方程时 当 和 是一般式方程时 ll ll 1212 121212 k k 1 A AB B 0 4 点 P x0 y0 与直线 l Ax By C 0 的位置关系 AxByC 0P AxByC0P 00 00 在直线 上 点的坐标满足直线方程 在直线 外 l l 4 点 到直线 的距离为 P xy d Ax By C 00 00 l AB 22 5 两条平行直线 l1 Ax By C1 0 l2 Ax By C2 0 间 的距离为 d CC 12 AB 22 6 直线系方程 具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系 它的方程的特点是除含坐标变 量 x y 以外 还含有特定的系数 也称参变量 确定一条直线需要两个独立的条件 在求直线方程的过程中往往先根据一个条件 写出所求直线所在的直线系方程 然后再根据另一个条件来确定其中的参变量 1 共点直线系方程 经过两直线 l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 的交点的直线系方程为 A1x B1y C1 A2x B2y C2 0 其中 是待定的系数 在这个方程中 无论 取什么实数 都得不到 A2x B2y C2 0 因此它不表示 l2 当 0 时 即得 A1x B1y C1 0 此时表示 l1 2 平行直线系方程 直线 y kx b 中当斜率 k 一定而 b 变动时 表示平行直线系 方程 与直线 Ax By C 0 平行的直线系方程是 Ax By 0 C 是参变 量 3 垂直直线系方程 与直线 Ax By C 0 A 0 B 0 垂直的直线系方程是 Bx Ay 0 如果在求直线方程的问题中 有一个已知条件 另一个条件待定时 可选用直线 系方程来求解 7 简单的线性规划 1 二元一次不等式 Ax By C 0 或 0 表示直线 Ax By C 0 某一侧所有点组 成的平面区域 二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集 即 各个不等式所表示的平面区域的公共部分 2 线性规划 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 称为 线性规划问题 5 例如 z ax by 其中 x y 满足下列条件 A xB yC0 0 A xB yC0 0 A xB xC0 0 111 222 nnn 或 或 或 求 z 的最大值和最小值 这就是线性规划问题 不等式组 是一组对变量 x y 的 线性约束条件 z ax by 叫做线性目标函数 满足线性约束条件的解 x y 叫做可行解 由所有可行解组成的集合叫做可行域 使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫 做最优解 三 曲线和方程三 曲线和方程 1 定义 在选定的直角坐标系下 如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f x y 0 的实数解 建立了如下关系 1 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f x y 0 的解 一点不杂 2 以方程 f x y 0 的解为坐标的点都是曲线 C 上的点 一点不漏 这时称方程 f x y 0 为曲线 C 的方程 曲线 C 为方程 f x y 0 的曲线 图形 设 P 具有某种性质 或适合某种条件 的点 Q x y f x y 0 若设点 M 的 坐标为 x0 y0 则用集合的观点 上述定义中的两条可以表述为 1 MP xy QPQ 2 xy QMPQP 00 00 即 即 以上两条还可以转化为它们的等价命题 逆否命题 1 xy QMP 2 MP xy Q 00 00 显然 当且仅当且 即时 才能称方程 PQQPP Qf xy 0 为曲线 C 的方程 曲线 C 为方程 f x y 0 的曲线 图形 2 曲线方程的两个基本问题 1 由曲线 图形 求方程的步骤 建系 设点 建立适当的坐标系 用变数对 x y 表示曲线上任意一点 M 的坐 标 6 立式 写出适合条件 p 的点 M 的集合 p M p M 代换 用坐标表示条件 p M 列出方程 f x y 0 化简 化方程 f x y 0 为最简形式 证明 以方程的解为坐标的点都是曲线上的点 上述方法简称 五步法 在步骤 中若化简过程是同解变形过程 或最简方程的 解集与原始方程的解集相同 则步骤 可省略不写 因为此时所求得的最简方程就是所 求曲线的方程 2 由方程画曲线 图形 的步骤 讨论曲线的对称性 关于 x 轴 y 轴和原点 求截距 方程组 的解是曲线与 轴交点的坐标 f xy y 0 0 x 方程组 的解是曲线与 轴交点的坐标 f xy x 0 0 y 讨论曲线的范围 列表 描点 画线 3 交点 求两曲线的交点 就是解这两条曲线方程组成的方程组 4 曲线系方程 过两曲线 f1 x y 0 和 f2 x y 0 的交点的曲线系方程是 f1 x y f2 x y 0 R 四 圆四 圆 1 圆的定义 平面内与定点距离等于定长的点的集合 轨迹 叫圆 2 圆的方程 1 标准方程 x a 2 y b 2 r2 a b 为圆心 r 为半径 特别地 当圆心为 0 0 时 方程为 x2 y2 r2 2 一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0 7 配方 x D y EDEF 22 4 4 22 22 当 时 方程表示以 为圆心 以 为半径的圆 DE4F0 22 DE DEF 22 1 2 4 22 当 时 方程表示点 DE4F 0 22 DE 22 当 D2 E2 4F 0 时 方程无实数解 无轨迹 3 参数方程 以 a b 为圆心 以 r 为半径的圆的参数方程为 xar ybr cos sin 为参数 特别地 以 0 0 为圆心 以 r 为半径的圆的参数方程为 xr yr cos sin 为参数 3 点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为 d 圆的半径为 r 1 dr 2 d r 3 dr 点在圆外 点在圆上 点在圆内 4 直线与圆的位置关系 设直线 l Ax By C 0 和圆 C x a 2 y b 2 r2 则 d AaBbC AB 22 1 0dr 2 0d r 3 0dr 相交直线与圆的方程组成的方程组有两解 或 相切直线与圆的方程组成的方程组有一组解 或 相离直线与圆的方程组成的方程组无解 或 5 求圆的切线方法 1 已知圆 x2 y2 Dx Ey F 0 若已知切点 x0 y0 在圆上 则切线只有一条 其方程是 8 x xy y D xxE yy F 00 00 22 0 当 在圆外时 表示 xy x xy yD x E y F 0 0000 00 xy 22 过两个切点的切点弦方程 若已知切线过圆外一点 x0 y0 则设切线方程为 y y0 k x x0 再利用相切 条件求 k 这时必有两条切线 注意不要漏掉平行于 y 轴的切线 若已知切线斜率为 k 则设切线方程为 y kx b 再利用相切条件求 b 这时必 有两条切线 2 已知圆 x2 y2 r2 若已知切点 P0 x0 y0 在圆上 则该圆过 P0点的切线方程为 x0 x y0y r2 已知圆的切线的斜率为 圆的切线方程为 ky kxr k 2 1 6 圆与圆的位置关系 已知两圆圆心分别为 O1 O2 半径分别为 r1 r2 则 1 O O rr 2 O O rr 3 rr O O rr 1212 1212 121212 两圆外切 两圆内切 两圆相交 单元知识总结 一 圆锥曲线一 圆锥曲线 1 椭圆 1 定义 定义 1 平面内一个动点到两个定点 F1 F2的距离之和等于常数 大于 F1F2 这个 动点的轨迹叫椭圆 这两个定点叫焦点 定义 2 点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常 数 时 这个点的轨迹是椭圆 e 0e1 c a 2 图形和标准方程 9 图 的标准方程为 图 的标准方程为 811 ab0 821 ab0 x a y b x b y a 2 2 2 2 2 2 2 2 3 几何性质 条件 M MF1 MF2 2a 2a F1F2 M MF Ml MF Ml e0e1 1 1 2 2 点到 的距离点到 的距离 标准方程x a y b ab 2 2 2 2 10 x b y a ab 2 2 2 2 10 顶点 A1 a 0 A2 a 0 B1 0 b B2 0 b A1 0 a A2 0 a B1 b 0 B2 b 0 轴 对称轴 x 轴 y 轴 长轴长 A1A2 2a 短轴长 B1B2 2b 焦点 F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c 焦距 F1F2 2c c 0 c2 a2 b2 10 离心率 e 0e1 c a 准线方程ll 12 xx a c a c 22 ll 12 yy a c a c 22 焦点半径 MF1 a ex0 MF2 a ex0 MF1 a ey0 MF2 a ey0 点和椭圆 的关系 外 在椭圆上 内 x a y b xy 0 2 2 0 2 2 00 1 k 为切线斜率 ykx a kb 222 k 为切线斜率 ykx b ka 222 切线方程 x x a y y b 0 2 0 2 1 x0 y0 为切点 x x b y y a 0 2 0 2 1 x0 y0 为切点 切点弦 方 程 x0 y0 在椭圆外 x x a y y b 0 2 0 2 1 x0 y0 在椭圆外 x x b y y a 0 2 0 2 1 弦长公式 xx 1 k yy 1 1 k 21 2 12 2 或 其中 x1 y1 x2 y2 为割弦端点坐标 k 为割弦所在直 线的斜率 2 双曲线 1 定义 定义 1 平面内与两个定点 F1 F2的距离的差的绝对值等于常数 小于 F1F2 的点的 轨迹叫做双曲线 这两个定点叫双曲线的焦点 定义 2 动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数 e e 1 时 这 个动点的轨迹是双曲线 这定点叫做双曲线的焦点 2 图形和标准方程 11 图 8 3 的标准方程为 x a y b 2 2 2 2 1 a0b0 图 8 4 的标准方程为 y a x b 2 2 2 2 1 a0b0 3 几何性质 12 条件 P M MF1 MF2 2a a 0 2a F1F2 P M MF Ml MF Ml ee1 1 1 2 2 点到 的距离 点到 的距离 标准方程 x a y b 2 2 2 2 1 a0b0 y a x b 2 2 2 2 1 a0b0 顶点 A1 a 0 A2 a 0 A1 0 a A2 0 a 轴 对称轴 x 轴 y 轴 实轴长 A1A2 2a 虚轴长 B1B2 2b 焦点 F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c 焦距 F1F2 2c c 0 c2 a2 b2 离心率 e e1 c a 准线方程ll 12 xx a c a c 22 ll 12 yy a c a c 22 渐近线 方 程 yx 0 或 b a x a y b 2 2 2 2 yx 0 或 a b y a x b 2 2 2 2 共渐近线 的双曲线 系方程 x a y b 2 2 2 2 k k0 y a x b 2 2 2 2 k k0 焦点半径 MF1 ex0 a MF2 ex0 a MF1 ey0 a MF2 ey0 a ykx a kb 222 k 为切线斜率 kk 或 b a b a ykx b ka 222 k 为切线斜率 kk 或 a b a b x x a y y b 0 2 0 2 1 x0 y0 为切点 y y a x x b 0 2 0 2 1 x0 y0 为切点 切线方程 xyaa xy 22 00 的切线方程 为切点 x yy x 00 2 切点弦 方 程 x0 y0 在双曲线外 x x a y y b 0 2 0 2 1 x0 y0 在双曲线外 y y a x x b 0 2 0 2 1 弦长公式 xx 1 k yy 1 1 k 21 2 12 2 或 其中 x1 y1 x2 y2 为割弦端点坐标 k 为 割弦所在直线的斜率 3 抛物线 1 定义 13 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 F 叫做抛物线的焦点 定直线 l 叫做抛物线的准线 2 抛物线的标准方程 类型及几何性质 见下表 抛物线的标准方程有以下特点 都以原点为顶点 以一条坐标轴为对称轴 方 程不同 开口方向不同 焦点在对称轴上 顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离 p 的几何意义 焦点 F 到准线 l 的距离 弦长公式 设直线为 抛物线为 ykxby2px AB 2 1 2 k x