中考几何最值问题(含答案)

文档鉴赏 几何最值问题几何最值问题 一 选择题 共一 选择题 共 6 小题 小题 1 2015 孝感一模 如图 已知等边 ABC 的边长为 6 点 D 为 AC 的中点 点 E 为 BC 的中点 点 P 为 BD 上一点 则 PE PC 的最小值为 A 3B 3C 2D 3 考点 轴对称 最短路线问题 菁优网版权所有 分析 由题意可知点 A 点 C 关于 BD 对称 连接 AE 交 BD 于点 P 由对称的性质可得 PA PC 故 PE PC AE 由两点之间线段最短可知 AE 即为 PE PC 的最小值 解答 解 ABC 是等边三角形 点 D 为 AC 的中点 点 E 为 BC 的中点 BD AC EC 3 连接 AE 线段 AE 的长即为 PE PC 最小值 点 E 是边 BC 的中点 AE BC AE 3 PE PC 的最小值是 3 故选 D 点评 本题考查的是轴对称 最短路线问题 熟知等边三角形的性质是解答此题的关键 2 2014 鄂城区校级模拟 如图 在直角坐标系中有线段 AB AB 50cm A B 到 x 轴 的距离分别为 10cm 和 40cm B 点到 y 轴的距离为 30cm 现在在 x 轴 y 轴上分别有动点 P Q 当四边形 PABQ 的周长最短时 则这个值为 文档鉴赏 A 50B 50C 50 50 D 50 50 考点 轴对称 最短路线问题 坐标与图形性质 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 过 B 点作 BM y 轴交 y 轴于 E 点 截取 EM BE 过 A 点作 AN x 轴交 x 轴于 F 点 截取 NF AF 连接 MN 交 X Y 轴分别为 P Q 点 此时四边形 PABQ 的周长最短 根据题目所给的条件可求出周长 解答 解 过 B 点作 BM y 轴交 y 轴于 E 点 截取 EM BE 过 A 点作 AN x 轴交 x 轴于 F 点 截取 NF AF 连接 MN 交 x y 轴分别为 P Q 点 过 M 点作 MK x 轴 过 N 点作 NK y 轴 两线交于 K 点 MK 40 10 50 作 BL x 轴交 KN 于 L 点 过 A 点作 AS BP 交 BP 于 S 点 LN AS 40 KN 60 40 100 MN 50 MN MQ QP PN BQ QP AP 50 四边形 PABQ 的周长 50 50 故选 D 点评 本题考查轴对称 最短路线问题以及坐标和图形的性质 本题关键是找到何时四边形 的周长最短 以及构造直角三角形 求出周长 3 2014 秋 贵港期末 如图 AB BC AD DC BAD 110 在 BC CD 上分别找一 点 M N 当 AMN 周长最小时 MAN 的度数为 文档鉴赏 A 30 B 40 C 50 D 60 考点 轴对称 最短路线问题 菁优网版权所有 分析 根据要使 AMN 的周长最小 即利用点的对称 使三角形的三边在同一直线上 作 出 A 关于 BC 和 CD 的对称点 A A 即可得出 AA M A HAA 70 进而得 出 MAB NAD 70 即可得出答案 解答 解 作 A 关于 BC 和 CD 的对称点 A A 连接 A A 交 BC 于 M 交 CD 于 N 则 A A 即为 AMN 的周长最小值 作 DA 延长线 AH DAB 110 HAA 70 AA M A HAA 70 MA A MAB NAD A MAB NAD 70 MAN 110 70 40 故选 B 点评 本题考查的是轴对称 最短路线问题 涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的 外角的性质和垂直平分线的性质等知识 根据已知得出 M N 的位置是解题关键 4 2014 无锡模拟 如图 MON 90 矩形 ABCD 的顶点 A B 分别在 OM ON 上 当 B 在边 ON 上运动时 A 随之在边 OM 上运动 矩形 ABCD 的形状保持不变 其中 AB 2 BC 运动过程中 当点 D 到点 O 的距离最大时 OA 长度为 A B C 2D 考点 勾股定理 三角形三边关系 直角三角形斜边上的中线 菁优网版权所有 分析 取 AB 的中点 连接 OE DE 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 OE 利用勾股定理列式求出 DE 然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断 出 O E D 三点共线时点 D 到点 O 的距离最大 过点 A 作 AF OD 于 F 利用 ADE 的余弦列式求出 DF 从而得到点 F 是 OD 的中点 判断出 AF 垂直平分 OD 再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得 OA AD 解答 解 如图 取 AB 的中点 连接 OE DE MON 90 文档鉴赏 OE AE AB 2 1 三边形 ABCD 是矩形 AD BC 在 Rt ADE 中 由勾股定理得 DE 2 由三角形的三边关系得 O E D 三点共线时点 D 到点 O 的距离最大 此时 OD OE DE 1 2 3 过点 A 作 AF OD 于 F 则 cos ADE 即 解得 DF OD 3 点 F 是 OD 的中点 AF 垂直平分 OD OA AD 故选 B 点评 本题考查了勾股定理 三角形的任意两边之和大于第三边 直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半的性质 线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质 作 辅助线并判断出 OD 最大时的情况是解题的关键 作出图形更形象直观 5 2015 鞍山一模 如图 正方形 ABCD 的边长为 4 点 E 在边 BC 上且 CE 1 长为 的线段 MN 在 AC 上运动 当四边形 BMNE 的周长最小时 则 tan MBC 的值是 A B C D 1 考点 轴对称 最短路线问题 正方形的性质 菁优网版权所有 文档鉴赏 分析 根据题意得出作 EF AC 且 EF 连结 DF 交 AC 于 M 在 AC 上截取 MN 此时四边形 BMNE 的周长最小 进而利用相似三角形的判定与性质得出答案 解答 解 作 EF AC 且 EF 连结 DF 交 AC 于 M 在 AC 上截取 MN 延长 DF 交 BC 于 P 作 FQ BC 于 Q 则四边形 BMNE 的周长最小 由 FEQ ACB 45 可求得 FQ EQ 1 DPC FPQ DCP FQP PFQ PDC 解得 PQ PC 由对称性可求得 tan MBC tan PDC 故选 A 点评 此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质 得出 M N 的位置是 解题关键 6 2015 江干区一模 如图 ABC 中 CA CB AB 6 CD 4 E 是高线 CD 的中点 以 CE 为半径 C G 是 C 上一动点 P 是 AG 中点 则 DP 的最大值为 A B C 2D 考点 圆的综合题 菁优网版权所有 文档鉴赏 分析 根据等腰三角形的性质可得点 D 是 AB 的中点 然后根据三角形中位线定理可得 DP BG 然后利用两点之间线段最短就可解决问题 解答 解 连接 BG 如图 CA CB CD AB AB 6 AD BD AB 3 又 CD 4 BC 5 E 是高线 CD 的中点 CE CD 2 CG CE 2 根据两点之间线段最短可得 BG CG CB 2 5 7 当 B C G 三点共线时 BG 取最大值为 7 P 是 AG 中点 D 是 AB 的中点 PD BG DP 最大值为 故选 A 点评 本题主要考查了圆的综合题 涉及了等腰三角形的性质 三角形中位线定理 勾股 定理 两点之间线段最短等知识 利用三角形中位线定理将 DP 转化为 BG 是解决本 题的关键 二 填空题 共二 填空题 共 3 小题 小题 7 2014 江阴市校级模拟 如图 线段 AB 的长为 4 C 为 AB 上一动点 分别以 AC BC 为斜边在 AB 的同侧作等腰直角 ACD 和等腰直角 BCE 那么 DE 长的最小值是 2 文档鉴赏 考点 等腰直角三角形 菁优网版权所有 分析 设 AC x BC 4 x 根据等腰直角三角形性质 得出 CD x CD 4 x 根 据勾股定理然后用配方法即可求解 解答 解 设 AC x BC 4 x ABC BCD 均为等腰直角三角形 CD x CD 4 x ACD 45 BCD 45 DCE 90 DE2 CD2 CE2 x2 4 x 2 x2 4x 8 x 2 2 4 当 x 取 2 时 DE 取最小值 最小值为 4 故答案为 2 点评 本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形 难度不大 关键是掌握用配方法求二 次函数最值 8 2012 河南校级模拟 如图 矩形 ABCD 中 AB 4 BC 8 E 为 CD 边的中点 点 P Q 为 BC 边上两个动点 且 PQ 2 当 BP 4 时 四边形 APQE 的周长最小 考点 轴对称 最短路线问题 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 要使四边形 APQE 的周长最小 由于 AE 与 PQ 都是定值 只需 AP EQ 的值最小即 可 为此 先在 BC 边上确定点 P Q 的位置 可在 AD 上截取线段 AF DE 2 作 F 点关于 BC 的对称点 G 连接 EG 与 BC 交于一点即为 Q 点 过 A 点作 FQ 的平行 线交 BC 于一点 即为 P 点 则此时 AP EQ EG 最小 然后过 G 点作 BC 的平行线 交 DC 的延长线于 H 点 那么先证明 GEH 45 再由 CQ EC 即可求出 BP 的长 度 解答 解 如图 在 AD 上截取线段 AF DE 2 作 F 点关于 BC 的对称点 G 连接 EG 与 BC 交于一点即为 Q 点 过 A 点作 FQ 的平行线交 BC 于一点 即为 P 点 过 G 点 作 BC 的平行线交 DC 的延长线于 H 点 GH DF 6 EH 2 4 6 H 90 GEH 45 文档鉴赏 设 BP x 则 CQ BC BP PQ 8 x 2 6 x 在 CQE 中 QCE 90 CEQ 45 CQ EC 6 x 2 解得 x 4 故答案为 4 点评 本题考查了矩形的性质 轴对称 最短路线问题的应用 题目具有一定的代表性 是 一道难度较大的题目 对学生提出了较高的要求 9 2013 武汉 如图 E F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点 满足 AE DF 连接 CF 交 BD 于点 G 连接 BE 交 AG 于点 H 若正方形的边长为 2 则线段 DH 长度的最小 值是 1 考点 正方形的性质 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 根据正方形的性质可得 AB AD CD BAD CDA ADG CDG 然后利用 边 角边 证明 ABE 和 DCF 全等 根据全等三角形对应角相等可得 1 2 利用 SAS 证明 ADG 和 CDG 全等 根据全等三角形对应角相等可得 2 3 从而得到 1 3 然后求出 AHB 90 取 AB 的中点 O 连接 OH OD 根据直角三角形斜 边上的中线等于斜边的一半可得 OH AB 1 利用勾股定理列式求出 OD 然后根 据三角形的三边关系可知当 O D H 三点共线时 DH 的长度最小 文档鉴赏 解答 解 在正方形 ABCD 中 AB AD CD BAD CDA ADG CDG 在 ABE 和 DCF 中 ABE DCF SAS 1 2 在 ADG 和 CDG 中 ADG CDG SAS 2 3 1 3 BAH 3 BAD 90 1 BAH 90 AHB 180 90 90 取 AB 的中点 O 连接 OH OD 则 OH AO AB 1 在 Rt AOD 中 OD 根据三角形的三边关系 OH DH OD 当 O D H 三点共线时 DH 的长度最小 最小值 OD OH 1 解法二 可以理解为点 H 是在 Rt AHB AB 直径的半圆上运动当 O H D 三点共线时 DH 长度最小 故答案为 1 点评 本题考查了正方形的性质 全等三角形的判定与性质 直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半的性质 三角形的三边关系 确定出 DH 最小时点 H 的位置是解题关 键 也是本题的难点 三 解答题 共三 解答题 共 1 小题 小题 10 2015 黄冈中学自主招生 阅读下面材料 文档鉴赏 小伟遇到这样一个问题 如图 1 在 ABC 其中 BAC 是一个可以变化的角 中 AB 2 AC 4 以 BC 为边在 BC 的下方作等边 PBC 求 AP 的最大值 小伟是这样思考的 利用变换和等边三角形将边的位置重新组合 他的方法是以点 B 为旋 转中心将 ABP 逆时针旋转 60 得到 A BC 连接 A A 当点 A 落在 A C 上时 此题可解 如图 2 请你回答 AP 的最大值是 6 参考小伟同学思考问题的方法 解决下列问题 如图 3 等腰 Rt ABC 边 AB 4 P 为 ABC 内部一点 则 AP BP CP 的最小值是 或不化简为 结果可以不化简 考点 旋转的性质 全等三角形的判定与性质 等边三角形的性质 勾股定理 等腰直角 三角形 菁优网版权所有 专题 几何综合题 分析 1 根据旋转的性质知 A A AB BA 2 AP A C 所以在 AA C 中 利用三角形 三边关系来求 A C 即 AP 的长度 2 以 B 为中心 将 APB 逆时针旋转 60 得到 A P B 根据旋转的性质推知 PA PB PC P