理科数学2010-2019高考真题分类训练22专题八立体几何 第二十二讲 空间几何体的三视图、表面积和体积—附解析答案

专题八 立体几何初步 第二十二讲 空间几何体的三视图 表面积和体积 2019 年 1 2019 全国 理 16 学生到工厂劳动实践 利用 3D 打印技术制作模型 如图 该模型为 长方体 1111 ABCDABC D 挖去四棱锥 O EFGH 后所得几何体 其中 O 为长方体的中心 E F G H 分别为所在棱的中点 1 6cm4cmAB BC AA 3D 打印所用原料密度 为 0 9 g cm3 不考虑打印损耗 制作该模型所需原料的质量为 2 2019 江苏 9 如图 长方体 1111 ABCDABC D 的体积是 120 E 为 1 CC的中点 则三棱 锥 E BCD 的体积是 3 2019 天津理 11 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形 侧棱长均为5 若圆柱的 一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点 另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心 则该 圆柱的体积为 4 2019 全国 理 12 已知三棱锥 P ABC 的四个顶点在球 O 的球面上 PA PB PC ABC 是边长为 2 的正三角形 E F 分别是 PA AB 的中点 CEF 90 则球 O 的体积为 A 68 B 64 C 62 D 6 5 2019 浙江 4 祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家 他提出的 幂势既同 则积不容异 称为祖暅原理 利用该原理可以得到柱体体积公式 V柱体 Sh 其中 S 是柱体的底面积 h 是柱体的高 若某柱体的三视图如图所示 则该柱体的体积是 A 158 B 162 C 182 D 32 6 2019 北京 11 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得 其三视图如图所示 如果 网格纸上小正方形的边长为 1 那么该几何体的体积为 2010 2018 年 一 选择题 1 2018 北京 某四棱锥的三视图如图所示 在此四棱锥的侧面中 直角三角形的个数为 俯视图 侧 左 视图正 主 视图 12 2 1 A 1 B 2 C 3 D 4 2 2018 全国卷 某圆柱的高为 2 底面周长为 16 其三视图如图 圆柱表面上的点M在 正视图上的对应点为A 圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B 则在此圆柱侧面 上 从M到N的路径中 最短路径的长度为 B A A 172 B 52 C 3 D 2 3 2018 全国卷 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来 构件的凸出部分叫榫头 凹进 部分叫卯眼 图中木构件右边的小长方体是榫头 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的 木构件咬合成长方体 则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 4 2018 全国卷 设A B C D是同一个半径为 4 的球的球面上四点 ABC 为等 边三角形且其面积为9 3 则三棱锥DABC 体积的最大值为 A 12 3 B 18 3 C 24 3 D 54 3 5 2018 上海 九章算术 中 称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马 设 1 AA 是正六棱柱的一条侧棱 如图 若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点 以 1 AA为底面矩形 的一边 则这样的阳马的个数是 A1 A A 4 B 8 C 12 D 16 6 2018 浙江 某几何体的三视图如图所示 单位 cm 则该几何体的体积 单位 3 cm 是 侧视图 俯视图 正视图 2 211 A 2 B 4 C 6 D 8 7 2017 新课标 某多面体的三视图如图所示 其中正视图和左视图都由正方形和等腰 直角三角形组成 正方形的边长为 2 俯视图为等腰直角三角形 该多面体的各个面中 有若干个是梯形 这些梯形的面积之和为 A 10 B 12 C 14 D 16 8 2017 新课标 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗实线画出的是某几何体的三视 图 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得 则该几何体的体积为 A 90 B 63 C 42 D 36 9 2017 新课标 已知圆柱的高为 1 它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面 上 则该圆柱的体积为 A B 3 4 C 2 D 4 10 2017 浙江 某几何体的三视图如图所示 单位 cm 则该几何体的体积 单位 3 cm 是 俯视图 侧视图正视图 11 3 11 A 1 2 B 3 2 C 3 1 2 D 3 3 2 11 2017 北京 某四棱锥的三视图如图所示 则该四棱锥的最长棱的长度为 A 3 2 B 23 C 22 D 2 12 2016 山东 一个由半球和四棱锥组成的几何体 其三视图如图所示 则该几何体的体 积为 A 12 33 B 12 33 C 12 36 D 2 1 6 13 2016 全国 I 如图 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直 的半径 若该几何体的体积是28 3 则它的表面积是 A 17 B 18 C 20 D 28 14 2016 全国 II 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图 则该几何体的表面积 为 A 20 B 24 C 28 D 32 15 2016 年全国 III 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗实线画出的是某多面体的三 视图 则该多面体的表面积为 A 1836 5 B 54 18 5 C 90 D 81 16 2015 浙江 某几何体的三视图如图所示 单位 cm 则该几何体的体积是 A 3 8cm B 3 12cm C 3 32 3 cm D 3 40 3 cm 17 2015 陕西 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 A 3 B 4 C 24 D 34 18 2015 重庆 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 1 3 B 2 3 C 1 2 3 D 2 2 3 19 2015 新课标 一个正方体被一个平面截去一部分后 剩余部分的三视图如图 则截去 部分体积与剩余部分体积的比值为 A 8 1 B 7 1 C 6 1 D 5 1 20 2015 安徽 一个四面体的三视图如图所示 则该四面体的表面积是 A 13 B 23 C 1 2 2 D 2 2 21 2015 湖南 某工件的三视图如图 3 所示 现将该工件通过切割 加工成一个体积尽可 能大的长方体新工件 并使新工件的一个面落在原工件的一个面内 则原工件材料的利 用率为 材料利用率 新工件的体积 原工件的体积 A 8 9 B 16 9 C 3 4 21 D 3 12 21 22 2015 新课标 圆柱被一个平面截去一部分后与半球 半径为r 组成一个几何体 该 几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示 若该几何体的表面积为 16 20 则r A 1 B 2 C 4 D 8 23 2014 新课标 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗实线画出的是某多面体的三 视图 则该多面体的个条棱中 最长的棱的长度为 A 6 2 B 6 C 4 2 D 4 24 2014 新课标 如图 网格纸上正方形小格的边长 为 1 表示 1cm 图中粗线画出 的是某零件的三视图 该零件由一个底面半径为 3cm 高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得 到 则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 A 17 27 B 5 9 C 10 27 D 1 3 25 2014 安徽 一个多面体的三视图如图所示 则该多面体的表面积为 A 213 B 183 C 21 D 18 26 2014 福建 某空间几何体的正视图是三角形 则该几何体不可能是 A 圆柱 B 圆锥 C 四面体 D 三棱柱 27 2014 浙江 某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的表面积是 俯视图 侧视图 正视图 3 3 3 3 3 44 A 90 2 cm B 129 2 cm C 132 2 cm D 138 2 cm 28 2014 新课标 正三棱柱 1 11 ABCA BC 的底面边长为 2 侧棱长为3 D 为 BC 中 点 则三棱锥 11 AB DC 的体积为 A 3 B 3 2 C 1 D 3 2 29 2014 福建 以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴 将该正方形旋转一周所得 圆柱的侧面积等于 A 2 B C 2 D 1 30 2014 辽宁 某几何体三视图如图所示 则该几何体的体积为 俯视图 左视图主视图 1 22 1 2 2 2 1 1 A 82 B 8 C 8 2 D 8 4 31 2014 陕西 将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周 所得几何体的 侧面积为 A 4 B 3 C 2 D 32 2014 江西 一几何体的直观图如右图 下列给出的四个俯视图中正确的是 主 正 视左 侧 视 俯视 A B C D 33 2013 新课标 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 168 B 8 8 C 16 16 D 8 16 34 2013 江西 一几何体的三视图如右所示 则该几何体的体积为 俯视图 侧视图 正视图 5 3 121 262 A 200 9 B 200 18 C 140 9 D 140 18 35 2012 广东 某几何体的三视图如图所示 它的体积为 A 12 B 45 C 57 D 81 36 2012 湖北 已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 俯视图 侧视图 正视图 4 2 2 2 A 8 3 B 3 C 10 3 D 6 37 2011 新课标 在一个几何体的三视图中 正视图与俯视图如右图所示 则相应的侧视 图可以为 俯视图 正视图 D CB A 38 2011 安徽 一个空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 俯视图 侧视图正视图 1 1 2 4 4 A 48 B 32 8 C 48 8 D 80 39 2011 辽宁 如图 四棱锥 S ABCD 的底面为正方形 SD 底面 ABCD 则下列结论 中不正确 的是 B C A S D A AC SB B AB 平面 SCD C SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 40 2010 安徽 一个几何体的三视图如图 该几何体的表面积为 俯视图 侧视图 正视图 2 2 2 26 2 8 6 1 A 280 B 292 C 360 D 372 41 2010 浙江 若某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的体积是 侧视图 俯视图 正视图 2 4 2 2 2 242 A 352 3 cm3 B 320 3 cm3 C 224 3 cm3 D 160 3 cm3 二 填空题 42 2018 天津 已知正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为 1 除面ABCD外 该正方体其余 各面的中心分别为点 E F G H M 如图 则四棱锥MEFGH 的体积为 D1C1 B1 A1 M H G F E DC B A 43 2018 江苏 如图所示 正方体的棱长为 2 以其所有面的中心为顶点的多面体的体积 为 44 2017 新课标 如图 圆形纸片的圆心为O 半径为 5 cm 该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O D E F为圆O上的点 DBC ECA FAB 分别是以BC CA AB为底边的等腰三角形 沿虚线剪开后 分别以BC CA AB为折痕折起 DBC ECA FAB 使得D E F重合 得到三棱锥 当ABC 的边长变 化时 所得三棱锥体积 单位 3 cm 的最大值为 O D F E C B A 45 2017 天津 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上 若这个正方体的表面积为 18 则这个球的体积为 46 2017 山东 由一个长方体和两个 1 4 圆柱体构成的几何体的三视图如图 则该几何体的 体积为 俯视图 侧视图 左视图 正视图 主视图 21 1 1 11 1 47 2017 江苏 如图 在圆柱 12 OO内有一个球O 该球与圆柱的上 下底面及母线均相 切 记圆柱 12 OO的体积为 1 V 球O的体积为 2 V 则 1 2 V V 的值是 48 2016 天津 已知一个四棱锥的底面是平行四边形 该四棱锥的三视图如图所示 单位 m 则该四棱锥的体积为 3 m 俯视图 侧视图正视图 1111 3 49 2015 天津 一个几何体的三视图如图所示 单位 m 则该几何体的体积为 3 m 50 2014 山东 一个六棱锥的体积为2 3 其底面是边长为 2 的正六边形 侧棱长都相等 则该六棱锥的侧面积为 51 2014 北京 某三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥最长棱的棱长为 俯视图 侧 左 视图 正 主 视图 1 1 1 2 2 52 2014 江苏 设甲 乙两个圆柱的底面分别为 1 S 2 S 体积分别为 1 V 2 V 若它们的 侧面积相等 且 4 9 2 1 S S 则 2 1 V V 的值是 53 2013 天津 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上 若球的体积为 9 2 则正方体 的棱长为 54 2013 江苏 如图 在三棱柱ABCCBA 111 中 FED 分别是 1 AAACAB的中点 设三棱锥ADEF 的体积为 1 V 三棱柱ABCCBA 111 的体积为 2 V 则 21 V V 55 2012 辽宁 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 A B C 1 A D E F 1 B 1 C 56 2012 安徽 某几何体的三视图如图所示 该几何体的表面积是 4 4 5 2 俯视图 侧 左 视图 正 主 视图 57 2011 福建 三棱锥PABC 中 PA 底面ABC PA 3 底面ABC是边长为 2 的正三角形 则三棱锥PABC 的体积等于 58 2011 新课标 已知两个圆锥有公共底面 且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个 球面上 若圆锥底面面积是这个球面面积的 3 16 则这两个圆锥中 体积较小者的高与 体积较大者的高的比值为 三 解答题 59 2014 广东 如图 2 四边形ABCD为矩形 PD 平面ABCD 1AB 2BCPC 作如图 3 折叠 折痕EF DC 其中点E F分别在线段PD PC上 沿EF折 叠后点P在线段AD上的点记为M 并且MF CF 证明 CF 平面MDF 求三棱锥M CDE的体积 图3图2 A D P C B B C P D A E F M 60 2014 辽宁 如图 ABC 和BCD 所在平面互相垂直 且2ABBCBD 0 120ABCDBC E F G分别为AC DC AD的中点 求证 EF 平面BCG 求三棱锥DBCG 的体积 附 锥体的体积公式 1 3 VSh 其中S为底面面积 h为高 G B C D A F E 61 2013 新课标 如图 直三棱柱 111 ABCABC 中 D E分别是AB 1 BB的中点 E D B1 C1 A C B A1 证明 1 BC 平面 1 ACD 设 1 2AAACCB 2 2AB 求三棱锥 1 CADE 的体积 62 2013 安徽 如 图 四 棱 锥PABCD 的 底 面ABCD是 边 长 为 2 的 菱 形 60BAD 已知2 6PBPDPA 证明 PCBD 若E为PA的中点 求三棱锥PBCE 的体积 63 2012 江西 如图 在梯形ABCD中 AB CD E F是线段AB上的两点 且 DE AB CF AB AB 12 AD 5 BC 42 DE 4 现将 ADE CFB分别沿DE CF折起 使A B两点重合与点G 得到多面体CDEFG D AB C D EF C F G E 1 求证 平面DEG 平面CFG 2 求多面体CDEFG的体积 64 2011 辽宁 如图 四边形 ABCD 为正方形 QA 平面 ABCD PD QA QA AB 1 2 PD B A Q C PD I 证明 PQ 平面 DCQ II 求棱锥 Q ABCD 的的体积与棱锥 P DCQ 的体积的比值 专题八 立体几何初步 第二十二讲 空间几何体的三视图 表面积和体积 答案部分 2019 年 1 解析解析 该模型为长方体1111 ABCDABC D 挖去四棱锥OEFGH 后所得的几何体 其 中 O 为长方体的中心 E F G H 分别为所在棱的中点 6cmABBC 1 4cmAA 所以该模型体积为 1 1 11 3 11 6 6 4 4 643 2 3144 12132 cm 32 ABCD A BC DO EFGH VV 3D打印所用原料密度因为为 3 0 9g cm 不考虑打印损耗 所以制作该模型所需原料的质量为 132 0 9 118 8 g 2 解析解析 因为长方体 1111 ABCDABC D 的体积是 120 E 为 1 CC的中点 所 以 1111 1 120 ABCD ABC D VAB BCDD 所 以 三 棱 锥EB C D 的 体 积 111 332 E BCDBCD VSCEBCDC CE 1 1 10 12 ABBCDD 3 解析解析 由题可知 四棱锥底面正方形的对角线长为2 且垂直相交平分 由勾股定理得 正 四棱锥的高为2 因为圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点 则圆柱的上底面直径为底面正方形 对角线的一半等于1 即半径等于 1 2 由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半 为1 所以该圆柱的体积为 2 1 1 24 VSh 4 解析 由PAPBPC 及ABC 是边长为 2 的正三角形可知 三棱锥P ABC 为正 三棱锥 则顶点 P 在底面的射影 O 为底面三角形的中心 连接 BO 并延长 交 AC 于 G 则ACBG 又 POAC POBGO I 可得 AC 平面 PBG 则 PB AC 因为 E F 分别是 PA AB 的中点 所以EFPBP 又90CEF 即 EF CE 所以 PB CE 得 PB 平面 PAC 所以 PB PA PB PC 又因为PAPBPC ABC 是正三角形 所以PACPBCPAB 故PAPC 所以正三棱锥PABC 的三条侧棱两两互相垂直 把三棱锥补形为正方体 则正方体外接球即为三棱锥的外接球 其直径为正方体的体对角线的长度 即 222 6dPAPBPC 半径为 6 2 则球 O 的体积为 3 46 6 32 故选 D 5 解析解析 由三视图还原原几何体如图 该几何体为直五棱柱 底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解 即 11 46 3 26 327 22 ABCDE S 五边形 高为6 则该柱体的体积是27 6162V 故选B 6 解析解析 由三视图还原原几何体如图所示 该几何体是把棱长为 4 的正方体去掉一个四棱柱 则该几何体的体积 1 4 4 4 2 42 4 40 2 VVV 正方体四棱柱 2010 2018 年 1 C 解析 解法一 将三视图还原为直观图 几何体是底面为直角梯形 且一条侧棱和底 面垂直的四棱锥 如图所示 D C B A P 易知 BCAD 1BC 2ADABPA ABAD PA 平面ABCD 故PAD PAB 为直角三角形 PA 平面ABCD BC 平面ABCD PABC 又BCAB 且PAABA BC 平面PAB 又PB 平面 PAB BCPB PBC 为直角三角形 容易求得3PC 5CD 2 2PD 故PCD 不是直角三角形 故选 C 解法二 在正方体中作出该几何体的直观图 记为四棱锥PABCD 如图 由图可 知在此四棱锥的侧面中 直角三角形的个数为 3 故选 C P D C B A 2 B 解析 由三视图可知 该几何体为如图 所示的圆柱 该圆柱的高为 2 底面周长 16 画出该圆柱的侧面展开图 如图 所示 连接MN 则2 MS 4 SN 则从M 到N的路径中 最短路径的长度为 2222 242 5 MSSN 故选 B S N M N M 图 图 3 A 解析 由题意知 在咬合时带卯眼的木构件中 从俯视方向看 榫头看不见 所以 是虚线 结合榫头的位置知选 A 4 B 解析 设等边三角形ABC的边长为x 则 2 1 sin609 3 2 x 得6x 设ABC 的外接圆半径为r 则 6 2 sin60 r 解得2 3r 所以球心到ABC 所 在平面的距离 22 4 2 3 2d 则点D到平面ABC的最大距离 1 46dd 所以三棱锥DABC 体积的最大值 max 11 69 3 618 3 33 ABC VS 故选 B 5 D 解析 如图以 1 AA为底面矩形一边的四边形有 11 AACC 11 AAB B 11 AAD D 11 AAE E4 个 每一个面都有 4 个顶点 所以阳马的个数为 16 个 故选 D E1 E A A1 D C D1 C1 B1 B 6 C 解析 由三视图可知 该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱 所以该几何体 的体积 1 1 2 2 26 2 V 故选 C 7 B 解析 由题意可知 该几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成 则表面所有梯形 之和为 1 2 24 212 2 选 B 8 B 解析 解法一 由题意 该几何体是一个组合体 下半部分是一个底面半径为 3 高 为 4 的圆柱 其体积 2 1 3436V 上半部分是一个底面半径为 3 高为 6 的圆 柱的一半 其体积 2 2 1 36 27 2 V 故该组合体的体积 12 362763VVV 故选 B 解法二 该几何体可以看作是高为 14 底面半径为 3 的圆柱的一半 所以体积为 2 1 3 1463 2 选 B 9 B 解析 圆柱的轴截面如图 1AC 1 2 AB 所以圆柱底面半径 3 2 rBC 那么圆柱的体积是 22 33 1 24 Vr h 故选 B 10 A 解析 该几何体是由一个高为 3 的圆锥的一半 和高为 3 的三棱锥组成 如图 其体积为 2 1 11 1 13 2 1 3 1 3 23 22 选 A 11 B 解析 借助正方体可知粗线部分为该几何体是四棱锥 2 2 2 最长的棱长是体对角线 所以 222 2222 3 选 B 12 C 解析 由三视图可知 四棱锥的底面是边长为 1 的正方形 高为 1 其体积 2 1 11 11 33 V 设半球的半径为R 则22R 即 2 2 R 所以半球的体积 3 2 1422 2326 V 故该几何体的体积 12 12 36 VVV 故选 C 13 A 解析 由三视图可得此几何体为一个球切割掉 1 8 后剩下的几何体 设球的半径为r 故 3 7428 833 r 所以2r 表面积 22 73 417 84 Srr 选 A 14 C 解析 该几何体是圆锥与圆柱的组合体 设圆柱底面圆半径为r 周长为c 圆锥母线长为l 圆柱高为h 由图得2r 2 4 cr 由勾股定理得 2 2 22 34l 2 1 2 Srchcl 表 4 16 8 28 故选 C 15 B 解析 由三视图可得该几何体是平行六面体 上下底面是边长为 3 的正方形 故面 积都是 9 前后两个侧面是平行四边形 一边长为 3 该边上的高为 6 故面积都为 18 左右两个侧面是矩形 边长为3 5和 3 故面积都为9 5 则该几何体的表面积为 2 9 18 9 5 54 18 5 16 C 解析 由题意得 该几何体为一立方体与四棱锥的组合 体积 3 32 22 3 1 2 23 V 故选 C 17 D 解析 由三视图知 该几何体是半个圆柱 其中底面圆的半径为1 母线长为2 所以该几何体的表面积是 1 211 22 234 2 故选 D 18 A 解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体 2 1111 12 1 2 1 2323 V 选 A 19 D 解析 如图 设正方形的棱长为 1 则截取部分为三棱锥 111 AAB D 其体积为 1 6 又正方体的体积为 1 则剩余部分的体积为 5 6 故所求比值为 1 5 D1 A1 B1 C1 A B D C 20 B 解析 在长 宽 高分别为 2 1 1 的长方体中 该四面体是如图所示的三棱锥 PABC 表面积为 2 13 1 2 2 2 223 24 1 1 1 1 A P B C 21 A 解析 由圆锥的对称性可知 要使其内接长方体最大 则底面为正方形 令此长方 体底面对角线长为2x 高为h 则由三角形相似可得 2 12 xh 所以22hx 0 1 x 长方体体积 223 2216 2 2 22 2 327 xxx Vx hxx 长方体 当且仅当22xx 即 2 3 x 时取等号 2 12 12 33 V 圆锥 故材料利用率为 16 8 27 2 9 3 选 A 22 B 解析 由三视图可知 此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成 其表面积为 2222 2422016rrrr 所以2r 23 B 解析 如图 B DC A 设辅助正方体的棱长为 4 三视图对应的多面体为三棱锥 A BCD 最长的棱为 22 4 2 26AD 选 B 24 C 解析 原毛坯的体积 2 3 654V 由三视图可知该零件为两个圆柱的组 合 体 其 体 积 22 12 2 4 3 234VVV 故 所 求 比 值 为 10 1 27 V V 25 A 解析 如图 将边长为 2 的正方体截去两个角 2 13 2 2 61 1 2 2 213 24 S 表 26 A 解析 圆柱的正视图是矩形 选 A 27 D 解析 由三视图画出几何体的直观图 如图所示 则此几何体的表面积 123 2SSSSSS 正方形斜面 其中1 S是长方体的表面积 2 S是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积 3 S是三棱柱的一个底面的面积 可求得 2 138 Scm 选 D 28 C 解析 由题意可知ADBC 由面面垂直的性质定理可得AD 平面 11 DBC 又2 sin603AD 所以 1111 111 3231 332 A B DCB DC VAD S 故选 C 29 A 解析 圆柱的底面半径为 1 母线长为 1 21 12S 侧 30 B 解析 直观图为棱长为 2 的正方体割去两个底面半径为 l 的 1 4 圆柱 所以该几何体 的体积为 32 1 22128 4 31 C 解析 由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱 底面半径为 1 高为 1 其侧面 积22Srh 32 B 解析 由直观图可知 该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成 从上往下看 外层轮廓线是一个矩形 矩形内部有一条线段连接的两个三角形 33 A 解析 由三视图知 该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2 高为 4 上边放一个 长为 4 宽为 2 高为 2 长方体 故其体积为 2 1 244 2 2 2 168 故选 A 34 A 解析 还原后的直观图是一个长宽高依次为 10 6 5 的长方体上面是半径为 3 高 为 2 的半个圆柱 35 C 解析 几何体是圆柱与圆锥叠加而成它的体积为 22 22 1 3535357 3 V 36 B 解析 由三视图可知该几何体的体积 22 1 12123 2 V 37 D 解析 通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体 故 侧视图可以为 D 38 C 解析 由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的放倒的一个直四棱柱 如图 所 以该四棱柱的表面积 1 2 24 44 42 4 2 S 21 164 48 8 17 39 D 解析 选项 A 正确 SD 平面ABCD 而AC在平面ABCD内 所以 ACSD 因为ABCD为正方形 所以ACBD 而BD与SD相交 所以AC 平面SBD 所以ACSB 选项 B 正确 因为ABCD 而CD在平面SCD内 AB 不在平面SCD内 所以AB平面SCD 选项 C 正确 设AC与BD的交点为O 连结SO 则SA与平面SBD所成的角ASO SC与平面SBD所成的角CSO 易 知这两个角相等 选项 D 错误 AB与SC所成的角等于SCD 而DC与SA所成 的角等于SAB 易知这两个角不相等 40 C 解析 该几何体由两个长方体组合而成 其表面积等于下面长方体的全面积加上面 长方体的 4 个侧面积之和 2 10 8 10 2 8 2 2 6 8 8 2 360S 41 B 解析 该几何体上半部是底面边长为 4cm 高为 2cm 的正四棱柱 其体积为 3 4 4 232 cm 下半部分是上 下底面边长分别为 4cm 8cm 高为 2cm 的正四 棱台 其体积为 1224 164 864 2 33 故其总体积为 224320 32 33 42 1 12 解析 连接 1 AD 1 CD 1 B A 1 BC AC 因为E H分别为 1 AD 1 CD的 中点 所以EH AC 1 2 EHAC 因为F G分别为 1 B A 1 BC的中点 所以FG AC 1 2 FGAC 所以EHFG EHFG 所以四边形EHGF为 平行四边形 又EGHF EHHG 所以四边形EHGF为正方形 又点M到平 面EHGF的距离为 1 2 所以四棱锥MEFGH 的体积为 2 1211 32212 43 4 3 解析 正方体的棱长为 2 以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体 其中正 八面体的所有棱长都是2 则该正八面体的体积为 2 14 2 2 33 44 4 15 解析 如图连接OE交AC于G 由题意OEAC 设等边三角形ABC的 边长为x 05x 则 3 6 OGx 3 5 6 GEx G O D F E C B A 由题意可知三棱锥的高 2222 335 3 5 25 663 hGEOGxxx 底面 2 3 4 ABC Sx 三棱锥的体积为 245 135 3153 255 343123 Vxxxx 设 45 3 5 3 h xxx 则 34 5 3 20 3 h xxx 05x 令 0h x 解得4 3x 当 0 4 3 x 时 0h x h x单调递增 当 4 3 5 x 时 0h x h x单调递减 所以4 3x 是 h x取得最大值 4 4 3 4 3 h 所以 2 max 1515 4 3 4 3 4 15 1212 Vh 45 9 2 解析 设正方体边长为a 由 2 618a 得 2 3a 外接球直径为233Ra 3 44279 3382 VR 46 2 2 解析 由三视图可知 长方体的长 宽 高分别为 2 1 1 圆柱的高为 1 底面圆半 径为 1 所以 2 1 2 1 1 212 42 V 47 3 2 解析 设球的半径为r 则 2 1 3 2 23 4 2 3 Vrr V r 48 2 解析 根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为 2m 高为 1m 的平行四边形 四 棱锥的高为 3m 故其体积为 1 2 1 32 3 3 m 49 8 3 解析 由三视图可知 该几何体是中间为一个底面半径为1 高为2的圆柱 两 端是底面半径为1 高为1的圆锥 所以该几何体的体积 22 18 12211 33 V 50 12 解析 由题意知 该六棱锥是正六棱锥 设该六棱锥的高为h 则 2 13 622 3 34 h 解得1h 底面正六边形的中心到其边的距离为3 故侧面等腰三角形底边上的高为3 12 该六棱锥的侧面积为 1 12 212 2 51 2 2 解析 由题意可知直观图如图所示 结合三视图有PA 平面ABC 2PA 2ABBC 2CA 所以 22 6PBPAAB 22 2 2PCPAAC 三棱锥最长棱的棱长为2 2 P A B C 52 3 2 解析 设甲 乙两个圆柱的底面半径分别是 12 r r 母线长分别是 12 l l 则由 1 2 9 4 S S 可得 1 2 3 2 r r 又两个圆柱的侧面积相等 即 1 12 2 22rlrl 则 11 22 2 3 lr lr 所以 11 1 22 2 923 432 VS l VS l 53 3 解析 设正方体的棱长为a 则正方体的体对角线为直径 即32ar 即球 半径 3 2 ra 若球的体积为 9 2 即 3 439 322 a 解得3a 54 1 24 解析 三棱锥ADEF 与三棱锥ABCA 1 的 相似比为 1 2 故体积之比为 1 8 又因三棱锥ABCA 1 与三棱柱ABCCBA 111 的体积之比 为 1 3 所以 三棱锥ADEF 与三棱柱ABCCBA 111 的体积之比为 1 24 另 1122 11111 334224 ADEABC VShShV 所以 12 1 24 V V 55 38 解析 由三视图知 此几何体为一个长为 4 宽为 3 高为 1 的长方体中心 去除 一个半径为 1 的圆柱 所以表面积为 24 3 4 1 3 1 2 2 38 56 92 解析 该几何体是底面是直角梯形 高为4的直四棱柱几何体的表面积是 22 1 2 25 4 2544 52 492 2 S 57 3 解析 111 32 2 sin603 332 ABC VPA S 答案应填3 58 1 3 解析 由圆锥底面面积是这个球面面积的 3 16 得 2 2 3 416 r R 所以 3 2 r R 则 小圆锥的高为 2 R 大圆