浙江省一级重点中学2013届高三数学第一次联考试卷 文（含解析）新人教A版

1 2012 20132012 2013 学年浙江省一级重点中学 六校 高三第一次联考学年浙江省一级重点中学 六校 高三第一次联考 数学试卷 文科 数学试卷 文科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 5 分 2013 浙江模拟 设全集 U R 集合 A x x 3 B x 0 x 5 则集合 UA B A x 0 x 3 B x 0 x 3 C x 0 x 3 D x 0 x 3 考点 交 并 补集的混合运算 专题 规律型 分析 先根据补集的定义求出集合 A 的补集 UA 然后和集合 B 进行交集运算 可求 UA B 解答 解 因为 A x x 3 所以 UA x x 3 所以 UA B x 0 x 3 故选 B 点评 本题的考点是集合的补集和交集运算 比较基础 2 5 分 2013 浙江模拟 已知 a b R 若 a bi 1 i i3 其中为虚数单位 则 A a 1 b 1 B a 1 b 1 C a 1 b 1 D a 1 b 1 考点 复数代数形式的乘除运算 复数相等的充要条件 专题 计算题 分析 先对 1 i i3进行化简 再由复数相等求出 a 和 b 的值 解答 解 由题意得 a bi 1 i i3 i 1 i i i2 1 i 则 a 1 b 1 故选 A 点评 本题考查了复数的乘法运算 以及复数相等的充要条件应用 属于基础题 3 5 分 2013 浙江模拟 a 3 是 直线 ax 2y 3a 0 与直线 3x a 1 y a2 a 3 0 互相平行 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 2 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 专题 直线与圆 分析 两条直线平行 A1B2 A2B1 0 且 A1C2 A2C1 0 求出充要条件 再判断即可 解答 解 由两直线平行的充要条件可得 A1B2 A2B1 0 1 且 A1C2 A2C1 0 2 代入 1 解得 a 3 或一 2 但 a 3 不适合 2 从而 a 3 是 直线 ax 2y 3a 0 与直线 3x a 1 y a2 a 3 0 互相平行 的既 不充分也不必要条件 故选 D 点评 本题考查两条直线平行的判定 是基础题 4 5 分 2010 浙江 若实数 x y 满足不等式组合则 x y 的最大值为 A 9B C 1D 考点 简单线性规划 分析 先根据条件画出可行域 设 z x y 再利用几何意义求最值 将最大值转化为 y 轴上 的截距 只需求出直线 z x y 过可行域内的点 A 4 5 时的最大值 从而得到 z 最大值即可 解答 解 先根据约束条件画出可行域 设 z x y 直线 z x y 过可行域内点 A 4 5 时 z 最大 最大值为 9 故选 A 3 点评 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组 以及简单的转化思想和数形结合的 思想 属中档题 5 5 分 2013 浙江模拟 学校高中部共有学生 2000 名 高中部各年级男 女生人数如 下表 已知在高中部学生中随机抽取 1 名学生 抽到高三年级女生的概率是 0 18 现用分 层抽样的方法在高中部抽取 50 名学生 则应在高二年级抽取的学生人数为 高一级高二级高三级 女生 373yx 男生 327z340 A 14B 15C 16D 17 考点 分层抽样方法 专题 概率与统计 分析 先利用抽到高三年级学生的概率求出 x y z 然后利用分层抽样的定义确定高二年 级应抽取的学生人数 解答 解 因为高中部学生中随机抽取 1 名学生 抽到高三年级女生的概率是 0 18 所以 解得 x 360 所以高一人数为 373 327 700 高三人数为 360 340 700 所以高二人数为 2000 700 700 600 所以高一 高二 高三的人数比为 700 600 700 7 6 7 所以利用分层抽样从高中部抽取 50 人 则应在高二抽取的人数为 人 故选 B 点评 本题的考点是分层抽样的应用 比较基础 6 5 分 2010 浙江 设 l m 是两条不同的直线 是一个平面 则下列命题正确的是 A 若 l m m 则 l B 若 l l m 则 m C 若 l m 则 l m D 若 l m 则 l m 考点 直线与平面平行的判定 分析 根据题意 依次分析选项 A 根据线面垂直的判定定理判断 C 根据线面平行的 判定定理判断 D 由线线的位置关系判断 B 由线面垂直的性质定理判断 综合 可得答案 解答 解 A 根据线面垂直的判定定理 要垂直平面内两条相交直线才行 不正确 C l m 则 l m 或两线异面 故不正确 4 D 平行于同一平面的两直线可能平行 异面 相交 不正确 B 由线面垂直的性质可知 平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平 面 故正确 故选 B 点评 本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理 也蕴含 了对定理公理综合运用能力的考查 属中档题 7 5 分 2013 浙江模拟 将函数 y sin 2x 的图象向左平移个单位后得到的 图象对应的解析式为 y sin 2x 则 的值可以是 A B C D 考点 函数 y Asin x 的图象变换 专题 计算题 三角函数的图像与性质 分析 依题意 将函数 y sin 2x 的图象向左平移个单位后得到的图象对应的解 析式为 y sin 2x 由 sin 2x sin 2x 即可求 的值得 解答 解 令 y f x sin 2x 则 f x sin 2 x sin 2x 依题意得 sin 2x sin 2x sin 2x 2k 或 2k 2k 或 2k k Z 当 k 0 时 或 故选 C 点评 本题考查函数 y Asin x 的图象变换 考查三角函数间的诱导公式 属于中 档题 5 8 5 分 2013 浙江模拟 设 2 3 在 方向上的投影为 3 在 x 轴上的投影为 1 则 A 1 B 1 C 1 D 1 考点 平面向量数量积的运算 向量的线性运算性质及几何意义 专题 平面向量及应用 分析 由 在 x 轴上的投影为 1 设出 的坐标为 1 y 再由另外一个条件列出方程 求 出 y 的值即可 解答 解 由 在 x 轴上的投影为 1 则设 1 y 在 方向上的投影为 3 解得 y 则 1 故选 A 点评 本题主要考查向量投影的定义及其应用 考查灵活 巧妙既有知识的运用 也有少 量的运算 是一道好题 9 5 分 2013 浙江模拟 已知椭圆 1 0 b 3 左右焦点分别为 F1 F2 过 F1的直线交椭圆于 A B 两点 若 的最大值为 8 则 b 的值是 A B C D 考点 椭圆的简单性质 专题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 AF2B 为焦点三角形 周长等于两个长轴长 再根据椭圆方程 即可求出 AF2B 的 周长 欲使 的最大 只须 AB 最小 利用椭圆的性质即可得出答案 解答 解 F1 F2为椭圆 1 的两个焦点 AF1 AF2 6 BF1 BF2 6 AF2B 的周长为 AB AF2 BF2 AF1 AF2 BF1 BF2 12 若 AB 最小时 的最大 6 又当 AB x 轴时 AB 最小 此时 AB 故 12 8 b 故选 D 点评 本题主要考查了椭圆的定义的应用 做题时要善于发现规律 进行转化 10 5 分 2013 浙江模拟 定义域为 a b 的函数 y f x 图象的两个端点为 A B M x y 是 f x 图象上任意一点 其中 x a 1 b a b 已知向量 若不等式恒成立 则称函数 f x 在 a b 上 k 阶线性近似 若函数在 1 2 上 k 阶线性近似 则实数 k 的取值范围为 A 0 B C D 考点 函数与方程的综合运用 专题 压轴题 新定义 分析 本题求解的关键是得出 M N 横坐标相等 将恒成立问题转化为求函数的最值问题 解答 解 由题意 M N 横坐标相等 恒成立即 k 恒大于等于 则 k 的最大值 所以本题即求的最大值 由 N 在 AB 线段上 得 A 1 0 B 2 AB 方程 y x 1 由图象可知 MN y1 y2 x x 1 均值不等式 故选 D 点评 解答的关键是将已知条件进行转化 同时应注意恒成立问题的处理策略 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 2828 分 分 7 11 4 分 2013 浙江模拟 从集合 1 2 3 4 5 6 中随机抽取一个数为 a 从集合 2 3 4 中随机抽取一个数为 b 则 b a 的概率是 考点 古典概型及其概率计算公式 专题 概率与统计 分析 所有的数对 a b 共有 6 3 18 个 而满足 b a 的数对用列举法求得有 6 个 由 此求得所求事件的概率 解答 解 所有的数对 a b 共有 6 3 18 个 而满足 b a 的数对 a b 有 2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3 共计 6 个 故 b a 的概率是 故答案为 点评 本题考主要查古典概型问题 可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件 列举法 是解决古典概型问题的一种重要的解题方法 属于基础题 12 4 分 2013 浙江模拟 如图是一个空间几何体的三视图 则该几何体的外接球的体 积为 考点 由三视图求面积 体积 专题 计算题 分析 判断三视图复原的几何体的形状 底面为等腰直角三角形 一条侧棱垂直底面的一 个顶点 结合数据求出外接球的半径 然后求其体积 解答 解 三视图复原的几何体如图 它是底面为等腰直角三角形 一条侧棱垂直底面的一个顶点 它的外接球 就是扩展为长方体的外接球 它的直径是 2 8 所以球的体积是 故答案为 点评 本题考查三视图求几何体的外接球的体积 考查空间想象能力 计算能力 是基础 题 13 4 分 2013 浙江模拟 如图所示 程序框图 算法流程图 的输出结果是 2550 考点 循环结构 专题 计算题 分析 根据题意 该算法流程图是要我们计算 0 2 4 2n 的和 直到 2n 100 时输出这 个和 由此再结合等差数列的求和公式 不难得到本题的答案 解答 解 根据题中的程序框图 列出如下表格 该算法流程图的作用是计算 0 2 4 2n 的和 直到 2n 100 时输出这个和 根据等差数列前 n 项和的公式 得 S 2550 故答案为 2550 点评 本题以循环结构的算法流程图为载体 求满足条件的最小正整数 n 着重考查了等差 9 数列的求和公式和循环结构等知识 属于基础题 14 4 分 2013 浙江模拟 已知同一平面上的向量 满足如下条件 则的最大值与最小值之差是 2 考点 平面向量数量积的运算 向量的模 专题 平面向量及应用 分析 根据 判断出四边形 ABCQ 是正方形 并建立坐标系 找出 A B C 及 Q 的坐标 设出 P 的坐标 利用向量的坐标运算求出的坐标 由 和向量的模列出关系 式 化简后可得到点 P 的轨迹方程 其轨迹方程为一个圆 找出圆心坐标和半径 根据平面几何知识即可得到 PQ 的最大值及最小值 解答 解 根据 画出图形如下 并以 AB 为 x 轴 以 AQ 为 y 轴建立坐标系 则四边形 ABCQ 是矩形 AC BQ 则四边形 ABCQ 是正方形 则 A 0 0 B 2 0 Q 0 2 C 2 2 设 P x y x y 2 x y 2 2x 2y 2 2x 2 4y2 4 化简得 x 1 2 y2 1 则点 P 得轨迹是以 1 0 为圆心 以 1 为半径的圆 PQ 是点 Q 0 2 到圆 x 1 2 y2 1 任一点的距离 则 PQ 最大值是 1 最小值是 1 即的最大值与最小值之差是 2 故答案为 2 点评 本题题考查了向量的线性运算的几何意义 数量积的性质 以及圆的标准方程和两 点间的距离公式 解本题的关键是根据题意正确画出图形 并判断出特征 再建立 10 合适的平面直角坐标系 找出动点 P 的轨迹方程 难度较大 体现了向量问题 几 何问题和代数问题的转化 15 4 分 2013 浙江模拟 设 0 m 若 k 恒成立 则 k 的最大值为 12 考点 基本不等式在最值问题中的应用 函数最值的应用 专题 计算题 函数的性质及应用 分析 根据题意 原不等式恒成立即 min k 恒成立 设 n 不等式的左 边化为 利用 1 的代换 和基本不等式 求出当且仅当 m n 时 的最小值 为 12 由此即可得到实数 k 的最大值 解答 解 设 n 得 m n 可得 3 m n 1 3 m n 3 2 又 0 m 得 m n 都是正数 2 2 因此 3 2 3 2 2 12 当且仅当 m n 时 的最小值为 12 又 不等式 k 恒成立 12 k 恒成立 可得 k 的最大值为 12 故答案为 12 点评 本题给出含有字母参数的不等式 在不等式恒成立的情况下求参数 k 的取值范围 着重考查了利用基本不等式求最值 和函数最值的应用等知识点 属于中档题 16 4 分 2013 浙江模拟 F1 F2分别是双曲线 1 的左 右焦点 P 为双曲线 右支上一点 I 是 PF1F2的内心 且 S IPF2 S IPF1 S IF1F2 则双曲线的离心率 e 考点 双曲线的简单性质 专题 圆锥曲线的定义 性质与方程 11 分析 先根据题意作出示意图 如图所示 利用平面几何的知识利用三角形面积公式 代 入已知式 S IPF2 S IPF1 S IF1F2 化简可得 PF1 PF2 F1F2 再结合双曲线 的定义与离心率的公式 可求出此双曲线的离心率 解答 解 如图 设圆 I 与 PF1F2的三边 F1F2 PF1 PF2分别相切于点 E F G 连接 IE IF IG 则 IE F1F2 IF PF1 IG PF2 它们分别是 IF1F2 IPF1 IPF2的高 S IPF1 PF1 IF PF1 S IPF2 PF2 IG PF2 S IF1F2 F1F2 IE F1F2 其中 r 是 PF1F2的内切圆的半径 S IPF2 S IPF1 S IF1F2 PF2 PF1 F1F2 两边约去 得 PF2 PF1 F1F2 PF1 PF2 F1F2 根据双曲线定义 得 PF1 PF2 2a F1F2 2c 3a 2c 离心率为 e 故答案为 点评 本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中 用来求双曲线的离心率 着重考查了双 曲线的基本性质 三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点 属于中档题 12 17 4 分 2013 浙江模拟 已知函数 f x 给出如下四个命 题 f x 在 上是减函数 f x 的最大值是 2 函数 y f x 有两个零点 f x 在 R 上恒成立 其中正确的命题有 把正确的命题序号都填上 考点 函数恒成立问题 指数函数的单调性与特殊点 专题 计算题 压轴题 分析 利用导数分别分段函数每一段上的单调性 从而求出函数的最值 以及函数的零点 即可得到正确选项 解答 解 当 x 0 时 f x ex 1 0 故函数在 0 上单调递增 当 x 0 时 f x 2 x2 故函数在 0 上单调递增 在 上是 减函数 当 x 时函数 f x 的最大值是 f 则 f x 在 R 上恒成立 函数 y f x 有两个零点分别为 0 故答案为 点评 本题主要考查了分段函数的单调性和最值以及零点问题 同时考查了恒成立 属于 中档题 三 解答题 共三 解答题 共 5 5 小题 满分小题 满分 7272 分 分 18 14 分 2013 浙江模拟 已知函数 f x 在区间 0 上的最大值为 2 求常数 m 的值 在 ABC 中 角 A B C 所对的边长分别为 a b c 若 f A 1 sinB 3sinC ABC 面积为 求边长 a 考点 余弦定理 三角函数中的恒等变换应用 专题 解三角形 13 分析 1 利用三角函数的恒等变换化简函数 f x 的解析式为 再根据正弦函数的单调性求得函数 在区间 0 上的最大值 再由函数在区间 0 上的最大值为 2 求得 m 的 值 2 由 f A 1 求得 解得 A 的值 因为 sinB 3sinC 由正 弦定理求得 b 3c 因为 ABC 面积为 求得 bc 3 由此解得 b 和 c 的值 再由余弦定理求得 a 的值 解答 解 1 由于 2 分 因为 所以 3 分 因为函数 y sint 在区间上是增函数 在区间上是减 函数 所以当 即时 函数 f x 在区间上取到最大值为 2 5 分 此时 得 m 1 6 分 2 因为 f A 1 所以 即 解得 A 0 舍去 或 8 分 因为 sinB 3sinC 所以 b 3c 10 分 因为 ABC 面积为 所以 即 bc 3 由 和 解得 b 3 c 1 12 分 因为 所 以 14 分 点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值 正弦函数的单调性 定义域和值域 正弦定理的应用 属于中档题 19 14 分 2013 浙江模拟 数列 an 的前 n 项和 若 1 求数列 an 的前 n 项和 Sn 14 2 求数列 an 的通项公式 3 设 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 考 点 数列递推式 数列的求和 专 题 等差数列与等比数列 分 析 1 利用数列 an 的前 n 项和 建立方程 求出 a b 的值 即可求数列 an 的前 n 项和 Sn 2 利用 再写一式 两式相减 即可求数列 an 的通项公式 3 求得数列 bn 的通项 利用裂项法即可求数列 bn 的前 n 项和 Tn 解 答 解 1 由 得 由 得 解得 故 4 分 2 当 n 2 时 7 分 由于也适合 8 分 9 分 3 10 分 数列 bn 的前 n 项和 14 分 点 评 本题考查数列的通项与求和 考查裂项法的运用 考查学生的计算能力 属于中档题 15 20 14 分 2013 浙江模拟 如图 四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 1 的正方形 PA CD PA 1 PD E 为 PD 上一点 PE 2ED 1 求证 PA 平面 ABCD 2 求二面角 D AC E 的正切值 3 在侧棱 PC 上是否存在一点 F 使得 BF 平面 AEC 若存在 指出 F 点位置 并证明 若不存在 说明理由 考点 与二面角有关的立体几何综合题 直线与平面平行的判定 直线与平面垂直的判 定 专题 综合题 转化思想 分析 1 由题意及图形利用线面垂直的判定定理即可得证 2 由于 PA 平面 ABCD 点 E 在 PD 线上 所过 E 作 EG PA 交 AD 于 G 从而 EG 平面 ABCD 再利用三垂线定理或即可作出二面角的平面角 3 因为 PA AB AD 两两垂直 所以可以建立空间直角坐标系 假设 PC 存在一点 F 使得 BF 平面 AEC 利用方程的思想求解即可 解答 1 证明 PA AD 1 PD PA2 AD2 PD2即 PA AD 又 PA CD AD CD D PA 平面 ABCD 2 解 过 E 作 EG PA 交 AD 于 G 从而 EG 平面 ABCD 且 AG 2GD EG PA 连接 BD 交 AC 于 O 过 G 作 GH OD 交 AC 于 H 连接 EH GH AC EH AC EHG 为二面角 D AC E 的平面角 HG OD tan EHG 3 解 因为 PA AB AD 两两垂直 所以 A 为原点 AB AD AP 所在直线分别为 x 轴 y 轴 Z 轴建立空间直角坐标系 则 A 0 0 0 B 1 0 0 C 1 1 0 P 0 0 1 E 0 16 设平面 AEC 的法向量 则即令 y 1 则 假设 PC 存在一点 F 且 0 1 使得 BF 平面 AEC 则 又 0 1 0 1 存在 P 的中点 F 使得 BF 平面 AEC 点评 1 此问重点考查了利用计算证明线线垂直 还考查了线面垂直的判定定理的准确 使用 2 此问重点考查了利用三垂线定理求其二面角的平面角 并考查了求角的大小放 到三角形中进行求解 3 此问重点考查了利用空间向量的方法及假设存在于方程的思想进行求解的方 法 21 15 分 2013 浙江模拟 已知函数 若 x 1 时 f x 取得极值 求 a 的值 求 f x 在 0 1 上的最小值 若对任意 m R 直线 y x m 都不是曲线 y f x 的切线 求 a 的取值范围 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 利用导数研究函数的极值 专题 导数的概念及应用 分析 由已知当 x 1 时 f x 取得极值 所以必有 f 1 0 据此可求出 a 的 值 再验证 a 的值是否满足取得的极值条件即可 先对函数 f x 求导得 f x 需要对 a 进行分类讨论 看其在区间 0 1 或其子区间上 f x 与 0 进行比较 可得到其单调性 进而求出其最小 值 因为 m R 直线 y x m 都不是曲线 y f x 的切线 所以 f x x2 a 1 对 x R 成立 进而求出 a 的取值范围即可 解答 解 I f x x2 a 当 x 1 时 f x 取得极值 f 1 1 a 0 a 1 17 又当 x 1 1 时 f x 0 x 1 时 f x 0 f x 在 x 1 处取得极小值 即 a 1 符合题意 II 当 a 0 时 f x 0 对 x 0 1 成立 f x 在 0 1 上单调递增 f x 在 x 0 处取最小值 f 0 1 当 a 0 时 令 f x x2 a 0 当 0 a 1 时 当时 f x 0 f x 单调递减 时 f x 0 f x 单调递增 所以 f x