(积分中值定理及其应用)

学号 学号 师范大学师范大学 学士学位论文学士学位论文 题题 目目 积分中值定理及其应用积分中值定理及其应用 学学 生生 n fa g x 上可积 在点的右极限存在 且 则第二积分中值定理中的满足 a b a 0 0g a 0 lim 1 xa an xa b xan 定理 19 假设函数在上单调 函数在点的右导数存在 并且有 f x a b f x a 0 0fa 在上存在直到阶导数 且有在点连续 并且满足 g x a b m m gx a 则第二积分中值定理中的点满足 1 0 0 0 m g ag aga 0 0 m ga 1 0 1 lim 2 m xa a xa b xam 定理 20 假设函数在上单调 在上有直到阶的导数 在点连续 并 f x a b a b n n fx a 且在点的右导数满足 在 a 1 0 0 0 0 n fafafa 0 0 n fa g x 上存在直到阶导数 在点连续 且满足 a b m m gx a 1 0 0 0 m g ag aga 则第二积分中值定理中的点满足 0 0 m ga 1 0 lim 1 m xa an xa b xamn 6 6 积分中值定理的应用积分中值定理的应用 6 1 估计积分值 例 1 估计的积分 2 0 1 0 5sin x dx x 解 由于 111 1 0 51 0 5sin1 0 5x 即 21 2 31 0 5sin x 于是 2 0 4 4 31 0 5sin x dx x 此时可得到估计的积分值为 2 0 84 1 1 0 5sin33 x dx x 例 2 估计的积分 2 sin 0 b a x dxab 解 设 则 xt 2 2 2 1sin sin 2 bb aa t x dxdt t 其次 假设和 则单调下降 并且有 于是 sinf tt 1 2 tt t 0t 2 22 2 1sin11 sin coscos 222 b aa tdx tdxa aat 22 11 sinsin 22 aa aa 其中 因此 22 ab 1 2 sin 1 b a x dx a 例 3 证明等式 sin lim0 np nn xdx x 证法 1 由第一积分中值定理可知 sinsin limlim0 np n nnn n xdx p x 其中位于和之间的某个值 n n np 证法 2 由第二积分中值定理可知得 sin1 sin n np nn xdx xdx xn 11 coscos0 n nn nn 其中位于和之间的某个值 于是 n n np sin lim0 np nn xdx x 2 求含定积分的极限 例 4 求极限 1 2 0 lim 1 n n x x 解 利用广义积分中值定理 11 22 00 1 lim 11 n n n x dxx dx x 1 1 0 22 11 01 11 1 1 n x nn 则 1 22 0 1 limlim0 1 1 1 n nn x dx xn 3 确定积分号 例 5 确定积分的符号 1 3 1 x x e dx 解 10101 33333 11010 xxxtx x e dxx e dxx e dxxtt e dtx e dx 01011 33333 10100 txtxxx t e dtx e dxt e dtx e dxx eedx 由积分中值定理可知 其中 1 33 1 0 x x e dxee 01 又在上不恒为 0 则有 即的符号为正号 3x x e 1 1 1 3 1 0 x x e dx 1 3 1 x x e dx 4 比较积分大小 例 6 比较积分和的大小 3 4 0 sin x 2 4 0 sin x 解 当时 从而有 于是我们有 0 4 x 0sin1x 32 0sinsin1xx 即小于等于 32 44 00 sinsinxx 3 4 0 sin x 2 4 0 sin x 5 证明函数的单调性 例 7 设函数在上连续 其中 试证 在内 若 f x 0 0 2 x F xxt f t dt 0 为非减函数 则必为非增函数 f x F x 证明 利用分歩积分法 将化为 F x 000 2 2 xxx F xxt f t dtxf t dttf t dt 对上式求导 可以得到 00 2 xx F xf t dtxf xxf xf t dtxf x 由积分中值定理 可得 0 F xxfxf xx ff xx 若为非减函数 则有成立 因此可以得到 故为非增函数 f x 0ff x 0F x F x 命题得证 6 证明定理 例 8 证明 阿贝尔判别法 如果在上可积 单调有界 那么收 f x a g x a f x g x dx 敛 证明 由假设条件 利用第二中值定理 在任何一个区间上 其中 存在 A A A Aa 使得 A A AA AA f x g x dxg Af x dxg Af x dx 因为在上可积 则收敛 所以对于任何 存在 使得当 f x a a f x dx 0 0 Aa 时 成立 0 A AA A A f x dxf x dx 又由 0 g xLA AA 所以当时 有 AA AA f x g x dxg Af x dxg Af x dx 2 A A g Af x dxg Af x dxL 根据柯西收敛原理可推知积分收敛 a f x g x dx 备注 2 当讨论无界函数广义积分时 可将阿贝尔判别法可改写为 假设在有奇点 收敛 单调有界 那么积分收敛 f x xa b a f x dx g x b a f x g x dx 证明 对应用第二积分中值定理 证明过程略 a a f x g x dx 备注 3 当讨论二元函数的积分限为含有参变量时 则含参变量的广义积分的阿贝尔判别法可写 为 假设关于为一致收敛 关于单调 即对每个固定的 a f x y dx yc d g x y x yc d 作为的函数是单调的 并且关于是一致有界的 即存在正数 对所讨论范围内的一切 g x y x y L 成立 那么积分 x y g x yL a f x y g x y dx 关于在上是一致收敛的 y c d 证明 由于关于是一致收敛的 则对于任意正数 存在 a f x y dx yc d 0 0 Aa 当时 成立 0 A AA A A f x y dx 因此 当时 将看成给定常数 则由积分第二中值定理中的公式 0 A AA y A A f x y g x y dx yA Ay g A yf x y dxg A yf x y dx 因为对任意的都有 则 x y g x yL 2 A A f x y g x y dxL 因此 关于在上是一致收敛的 命题得证 a f x y g x y dx y c d 例 9 证明 狄里克莱判别法 如果有界 即存在 使得 A a F Af x dx 0K 单调且当时趋向于零 那么积分收敛 A a f x dxK g x x a f x g x dx 证明 因为 所以对任意的 存在 当时 0 g xx 0 0 A 0 A AA 又因 所以 g A g A A a f x dxK 2 A Aaa f x dxf x dxf x dxK 同样我们有 2 A f x dxK 由第二积分中值定理 只要 就有 0 A AA 4 AA AA f x g x dxg Af x dxg Af x dxK 所以积分收敛 命题得证 a f x g x dx 备注 4 当讨论无界函数广义积分时 我们可将狄立克莱判别法写为 设在有奇点 是的有界函数 单调且当时趋于零 那么积 f x xa b a f x dx g x xa 分收敛 b a f x g x dx 证明 对应用第二积分中值定理 证明过程略 a a f x g x dx 备注 5 当讨论二元函数的积分限为含有参变量时 则含参变量的广义积分的狄立克莱判别法写 为 设积分对于和是一致有界的 即存在正数 使对上述成立 A a f x y dx Aa yc d K A y A a f x y dxK 又因为关于是单调的 并且当时 关于上的一致趋于零 即 g x y xx g x y c dy 对于任意给定的正数 有 当时 对一切成立 0 A 0 xA yc d g x y 那么积分关于在上是一致收敛的 a f x y g x y dx y c d 证明 由所假设的条件可推知对任何 有 A Aa AAA Aaa f x y dxf x y dxf x y dx 2 AA aa f x y dxf x y dxK 而由和上式可推知 当时 g x y A Aa Ay AA f x y g x y dxg A yf x y dx 224 A y g A yf x y dxKKK 因此 关于在上是一致收敛的 命题得证 a f x y g x y dx y c d 参考文献 参考文献 1 陈纪修 於崇华 金路 数学分析 第二版上册 北京 高等教育出版社 2004 294 310 2 陈纪修 於崇华 金路 数学分析 第二版下册 北京 高等教育出版社 2004 165 170 3 陈传璋 金福林等编 数学分析 下册 北京 高等教育出版社 1983 286 288 4 陈传璋 金福林等编 数学分析 上册 北京 高等教育出版社 1983 51 56 252 5 同济大学应用数学系 高等数学 第五版上册 北京 高等教育出版社 1996 232 THE MEAN VALUE THEOREM AND ITS APPLICATION Abstract The main content of this paper are the mean value theorem and its application it will be mainly divided into the following respects integral mean value theorem the generalation of integral mean value theorem the asymptotic property of the intermediate point of integral median point the application of integral mean value theorem Key words integral mean value theorem promotion apply 论文评阅人意见 论文 设计 题目论文 设计 题目积分中值定理及其应用积分中值定理及其应用 作作 者者 评阅人评阅人评阅人职称评阅人职称副教授副教授 意意 见见 该论文以积分中值定理及其应用的证明为主要内容 介绍了积分中值定理 积分中值定理的推广 积分中值 定理中值点 的渐进性 文题相符 结构是否严谨 逻辑 严密 语言流畅 表达准确 层次分明 格式完全符合 规范要求 参考了丰富的文献资料 该论文达到了学士学位论文水平要求 是一篇合格 的毕业论文 同意其参加论文答辩 并建议授予学士学 位 评阅人评阅人 签字签字 评阅意见评阅意见 论文评阅人意见 论文 设计 题目论文 设计 题目积分中值定理及其应用积分中值定理及其应用 作作 者者 评阅人评阅人评阅人职称评阅人职称副教授副教授 意意 见见 该论文以积分中值定理及其应用的证明为主要内容 介绍了积分中值定理 积分中值定理的推广 积分中值 定理中值点 的渐进性 文题相符 结构是否严谨 逻辑 严密 语言流畅 表达准确 层次分明 格式完全符合 规范要求 参考了丰富的文献资料 该论文达到了学士学位论文水平要求 是一篇合格 的毕业论文 同意其参加论文答辩 并建议授予学士学 位 评阅人评阅人 签字签字 评阅意见评阅意见 指导教师评语页 论文 设计 题目论文 设计 题目积分中值定理及其应用积分中值定理及其应用 作作 者者 指导教师指导教师职职 称称副教授副教授 评评 语语 同学的学士学位论文 积分中值定理及其应用 以多种方法为研究内容 论文中选取的证明方法贴近中 学课堂教学 有很强的实际应用价值 文章篇幅完全符合学院规定 主体清晰 布局合理 深入浅出 详略得当 文章内容完整 论述清楚 表达 准确 举例恰当 有一定的个人见解 文题完全相符 论点突出 论述紧扣主题 语言流畅 格式完全符合规 范要求 参考了丰富的文献资料 无抄袭现象 该论文达到了学士学位论文水平要求 是一篇合格 的毕业论文 同意其参加论文答辩 并建议授予学士学 位 指导教师指导教师 签字签字 论文等级论文等级 本科毕业论文 设计 答辩过程记录 院系 数学科学学院