山东省2012年全国高中数学联合竞赛试题（山东卷）

1 山东省山东省 20122012 届高中数学夏令营数学竞赛 及答案 届高中数学夏令营数学竞赛 及答案 一一 填空题填空题 本题共 5 道小题 每小题 8 分 满分 40 分 1 1 函数的最大值是 王泽阳 供题 1232f xxx 解解 其等号仅当即时成立 12322 2f xxx 1232xx 1 2 x 所以 f x 最大 2 2 2 2 如果自然数a的各位数字之和等于 5 那么称a为 吉祥数 将所有吉祥数从小到大 排成一列a1 a2 an 若an 2012 则 n 王继忠 供题 解解 设为吉祥数 则 x1 x2 xm 5 由 x1 1 和 x2 xm 0 得 12m x xx x1 1 x2 xm 4 所以 为第个吉祥数 为第个吉祥数 12m x xx 4 3m C 2 1 m xx 4 2m C 由此得 一位吉祥数共 1 个 二位吉祥数共个 三位吉祥数共个 4 5 5C 4 6 15C 因以 1 为首位的四位吉祥数共个 以 2 为首位的前两个四位吉祥数为 4 6 15C 2003 和 2012 故 n 1 5 15 15 2 38 3 3 已知 f x 是 2011 次多项式 当 n 0 1 2011 时 1 n f n n 则 f 2012 王 林 供题 解解 当 n 0 1 2011 时 n 1 f n n 即多项式 x 1 f x x 有 2012 个根 设 x 1 f x x ax x 1 x 2 x 2011 取 x 1 则 1 2012 a 故 1 2012 a 1 2 2011 2012 1 1 x xxxx f x xx 2012 20122013 2012 1 2012 201320132013 f 4 4 将圆周上 5 个点按如下规则染色 先任选一点染成红色 然后依逆时针方向 第 1 步转 过 1 个间隔将到达的那个点染红 第 2 步转过 2 个间隔将到达的那个点染红 第 k 步转过 k 个 间隔将到达的那个点染红 一直进行下去 可得到 个红点 龚红戈 供题 解解 将 5 个点依次编号 0 4 且不妨设开始染红的是 0 号点 则第 1 步染红的是 1 号点 第 2 步染红的是 3 号点 第 3 步染红的又是 1 号点 故共可得 3 个红点 5 5 如图 设 分别为的外心 内心 且 的外角OIABC 60B ABBCA 平分线交 于 已知 则 李耀文 供题 OD18AD OI 解解 连接并延长交 于 则为弧的中点 连BIOEEAC 由 易知 均为OEAECEOC60B AOE COE A BC D O I E F 2 正三角形 由内心的性质得知 所以AEIECE 四点共圆 且圆心为 再延长交 于 AOICEAIOF 由题设知 共线 于是 DOF2OEIOAI 22AODAFDOAI 又 从而 故 OAODOEIE OAD EOI 18OIAD 二二 解答题解答题 本题共 5 道小题 每小题 20 分 满分 100 分 6 6 证明 对任给的奇素数p 总存在无穷多个正整数n使得p n2n 1 陈永高 供题 证明证明 取n p 1 k 则由费尔马小定理知 所以 p n2n 1 1 21 mod pk p 1 1 21 mod 1 1 mod 1 mod pk pkppkpkp 取k pr 1 r N 即n p 1 pr 1 就有即p n2n 1 1 1 21 mod pk pkp 7 7 如图 已知 P 是矩形 ABCD 内任意一点 延长 BP 交 AD 于 E 延长 DP 交 AB 于 F 延长 CP 交矩形的外接圆于 G 求证 GE GF 叶中豪 供题 证法证法 1 1 设 CG 交 AD 于 Q 由 GBA GDA 及 AGB CGD 知 ABG QDG 延长 DF CB 交于 R 由 AD BR AD BC 得 AFBC FBBR 又由 CPB QPE 及 RPB DPE 得 BCQE BRED 由 得 表明 F E 是 ABG QDG 的相似对应点 故得 AFQE FBED FBG EDG 所以 FGB EGD FGE BGD 900 即 GE GF 证法证法 2 2 联结 GB GD 令 GCB GCD 由正弦定理得 sinsin sinsin GBBPPBC GDDPPDC sinsin sinsin BFBFPPBCBF DEDEPPDCDE 由 GBF GDE 得 FBG EDG 所以 FGB EGD FGE BGD 900 即 GE GF 8 8 对于恰有 120 个元素的集合 A 问是否存在子集 A1 A2 A10满足 1 Ai 36 i 1 2 10 2 A1 A2 A10 A 3 Ai Aj 8 i j 请说明理由 刘裕文 供题 解解 答案 存在 R A B C D P E G F Q A B C D P E G F Q 3 考虑长度为 10 的 0 1 数列 其中仅 3 项为 1 的恰有个 每个作为集合 A 的一 3 10 120C 个元素 对每个 j 1 2 10 第 j 项为 1 的 0 1 数列恰有个 它们是集合 Aj的 36 个元 2 9 36C 素 对每对 i j 1 2 10 i1 v 1 由 4v2 3u2 1 mod8 知 u v 为奇数 直接计算得 umin 15 vmin 13 k 56 所以 m最小 15 13 195 n最小 337 1010 设实系数三次多项式有三个非零实数根 32 p xxaxbxc 求证 李胜宏 供题 3 32 2 610 2 1227aababc 证明证明 设为p x 0 的三个根 由根与系数关系 得 a b c 原式 2222 2ab 3 22 2 6 2 10 2 27a ababc 3 222222 2 6 10 27