任意角与弧度制教案

1 1 1515 任意角与弧度制任意角与弧度制 基础再现基础再现 1 角的概念的推广 角的概念的推广 定义 定义 一条射线 OA 由原来的位置 绕着它的端点 O 按一定的方向旋转到另一 位置 OB 就形成了角 记作 角 或 可以简记成 注意 注意 1 旋转 形成角 突出 旋转 2 顶点 始边 终边 始边 往往合于x轴正半轴 3 正角 与 负角 这是由旋转的方向所决定的 2 角的分类 角的分类 由于用 旋转 定义角之后 角的范围大大地扩大了 可以将角分为正角 正角 零角和负角 零角和负角 正角 正角 按照逆时针方向逆时针方向转定的角 零角零角 没有发生任何旋转的角 负角 负角 按照顺时针方向顺时针方向旋转的角 3 象限角象限角 为了研究方便 我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐 标原点 角的始边合于x轴的正半轴 角的终边落在第几象限 我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在第几象限 我们就说这个角是第几象限的角 2 2 1515 角的终边落在坐标轴上角的终边落在坐标轴上 则此角不属于任何一个象限 称为轴线角 称为轴线角 重点 难点 考点重点 难点 考点 一 常用的角的集合表示方法一 常用的角的集合表示方法 1 终边相同的角 终边相同的角 1 终边相同的角都可以表示成一个 0 到 360 的角与 Zkk 个周角的和 2 所有与 终边相同的角连同 在内可以构成一个集合 ZkkS 360 即 任何一个与角 终边相同的角 都可以表示成角 与整数个周角的和 注意注意 1 Z k 2 是任意角 3 终边相同的角不一定相等 但相等的角的终边一定相同 终边相同的角 有无数个 它们相差 360 的整数倍 4 一般的 终边相同的角的表达形式不唯一 2 终边在坐标轴上的点 终边在坐标轴上的点 终边在 x 轴上的角的集合 Zkk 180 终边在 y 轴上的角的集合 Zkk 90180 终边在坐标轴上的角的集合 Zkk 90 3 3 1515 3 终边共线且反向的角 终边共线且反向的角 终边在 y x 轴上的角的集合 Zkk 45180 终边在轴上的角的集合 xy Zkk 45180 4 终边互相对称的角 终边互相对称的角 若角与角的终边关于 x 轴对称 则角与角的关系 k 360 若角与角的终边关于 y 轴对称 则角与角的关系 180360 k 若角与角的终边在一条直线上 则角与角的关系 k 180 角与角的终边互相垂直 则角与角的关系 90360 k 二 弧度与弧度制二 弧度与弧度制 1 弧度与弧度制 弧度与弧度制 弧度制 另一种度量角的单位制 它的单位是 rad 读作弧度 定义 长度等于 的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角 如图 AOB 1rad AOC 2rad 周角 2 rad 4 4 1515 注意 注意 1 正角的弧度数是正数 负角的弧度数是负数 零角的弧度数是 0 2 角 的弧度数的绝对值 r l l为弧长 r为半径 3 用角度制和弧度制来度量零角零角 单位不同 但数量相同 都是 0 用角度制和弧度制来度量任一非零角 单位不同 量数也不同 4 在同一个式子中角度 弧度不可以混用 2 角度制与弧度制的换算 角度制与弧度制的换算 弧度定义 对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度 角度与弧度的互换关系 360 rad 180 rad 1 radrad01745 0 180 185730 57 180 1 rad 注意 正角的弧度数为正数 负角的弧度数为负数 零角的弧度数为零 三 弧长公式和扇形面积公式三 弧长公式和扇形面积公式 rl 2 2 1 2 1 rlRS 典型例题典型例题 例 1 若 是第二象限的角 试分别确定 2 2 的终边所在位置 5 5 1515 解解 是第二象限的角 k 360 90 k 360 180 k Z Z 1 2k 360 180 2 2k 360 360 k Z Z 2 是第三或第四象限的角 或角的终边在 y 轴的非正半轴上 2 k 180 45 2 k 180 90 k Z Z 当 k 2n n Z Z 时 n 360 45 2 n 360 90 当 k 2n 1 n Z Z 时 n 360 225 2 n 360 270 2 是第一或第三象限的角 拓展 已知 是第三象限角 问 3 是哪个象限的角 是第三象限角 180 k 360 270 k 360 k Z Z 60 k 120 3 90 k 120 当 k 3m m Z Z 时 可得 60 m 360 3 90 m 360 m Z Z 故 3 的终边在第一象限 当 k 3m 1 m Z Z 时 可得 180 m 360 3 210 m 360 m Z Z 6 6 1515 故 3 的终边在第三象限 当 k 3m 2 m Z Z 时 可得 300 m 360 3 330 m 360 m Z Z 故 3 的终边在第四象限 综上可知 3 是第一 第三或第四象限的角 例 2 若 则角与角的位置关系是 360k 360Zmkm A 重合 B 关于原点对称 C 关于 x 轴对称 D 有关于 y 轴对称 例 3 设集合 ZkkxkxA 30036060360 求 ZkkxkxB 360210360 BA BA 变式练习变式练习 1 设k Z Z 下列终边相同的角是 A 2k 1 180 与 4k 1 180 B k 90 与k 180 90 C k 180 30 与k 360 30 D k 180 60 与k 60 2 将下列各角化成 0 到 2的角加上 2Zkk 的形式 1 3 19 2 315 7 7 1515 走进高考走进高考 已知扇形的周长为 10 面积为 4 求扇形中心角的弧度数 课堂练习课堂练习 1 圆弧的长等于该圆内接正三角形的边长 则该弧所对的圆心角的弧度数是 A 3 B 1 C 2 3 D 3 2 设集合 22 k Mx xkZNx xkkZ 则 M 与 N 的关系是 A M N B M N C M N D M N 3 已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2 则这个圆心角所对的弧长是 A 2 B 1sin 2 C 2sin1 D sin2 4 在 160 480 960 1600 这四个角中 属于第二象限的角是 A B C D 5 若 是钝角 则 kkZ 是 8 8 1515 A 第二象限角 B 第三象限角 C 第二象限角或第三象限角 D 第二象限角或第四象限角 6 设kZ 下列终边相同的角是 A 21 180k 与 41 180k B 90k 与18090k C 18030k 与36030k D 18060k 与60k 7 若角 是第二象限的角 则 2 是 A 第一象限或第二象限的角 B 第一象限或第三象限的角 C 第二象限或第四象限的角 D 第一象限或第四象限的角 8 在单位圆中 面积为 1 的扇形所对的圆心角为 弧度 A 1 B 2 C 3 D 4 9 120 的弧度数是 A 5 6 B 4 3 C 2 3 D 3 4 10 下列命题中 命题正确的是 A 终边相同的角一定相等 B 第一象限的角是锐角 C 若 2 kkz 则角 的三角函数值等于角 的同名三角函数值 D 半径为R n 的圆心角所对的弧长为R n 9 9 1515 11 扇形的中心角为 3 2 弧长为 2 则其半径 r 12 一条弦的长等于半径 则这条弦所对的圆心角是 弧度 13 终边在 y 轴上的角的集合是 用弧度制表示 14 点P从圆心在原点O的单位圆上点 0 1 出发 沿逆时针方向运动 6 5 弧长 到达点Q 则点Q的坐标是 15 将 6 5 rad 化为角度是 16 已知扇形的周长为cm 3 2 4 其半径为cm2 则该扇形的圆心角的弧度数为 17 求所有与所给角终边相同的角的集合 并求出其中的最小正角 最大负角 1 2 210 731484 18 已知角是第二象限角 求 1 角是第几象限的角 2 角终边的位置 2 2 19 如图 一条弦 AB 的长等于它所在的圆的半径 R 求弦 AB 和劣弧 AB 所组成的弓形的面积 1010 1515 A B R R O 课后作业课后作业 一 选择题一 选择题 1 已知是锐角 那么是 2 A 第一象限角 B 第二象限角 C 小于 180 的正角 D 第一或第二象限角 2 将化为的形式是 885 360 0360 kkZ A B 165 2 360 195 3 360 C D 195 2 360 165 3 360 3 若 则角的终边所在的象限为 5rad A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 4 扇形的周长是 圆心角是弧度 则扇形面积是 162 A B C D 16 32 1632 5 若集合 3 Ax kxkkZ 22Bxx 1111 1515 则集合为 BA A B C D 1 0 1 3 2 3 2 0 2 3 2 2 43 6 下列说法中正确的是 A 终边在轴非负半轴上的角是直角y B 第二象限角一定是钝角 C 第四象限角一定是负角 D 若 则与终边相同360 kkZ 二 填空题二 填空题 7 在到之间与终边相同的角是 720 720 1050 8 若为第四象限角 则在 填终边所在位置 2 9 时钟从时分走到时分 这时分针旋转了 弧度 6501040 10 终边在第一或第三象限角的集合是 三 解答题三 解答题 11 写出与终边相同角的集合 并把中在 间的角写出来 370 23 SS720 360 12 已知 判断角所在象限 1 4 k kkZ 1212 1515 13 若角的终边与的终边相同 在内哪些角的终边与角的终边相同 3 0 2 3 一 选择题一 选择题 1 设集合 90Ex x 是小于的角 Fx x 是锐角 Gx x是第一象限的角 则下列关系成立的是 Mx x 是小于90 但不小于0的角 A B C D EG GMF 1313 1515 2 与终边相同的绝对值最小的角是 1775 A B C D 175 75 25 25 3 若 360 AkkZ 180 BkkZ 则下列关系中正确的是 90 CkkZ A B ABC ABC C D ABC ABC 4 已知两角 之差为 其和为 弧度 则 的大小为 1 1 A 和 B 和 90 180 28 27 C 和 D 和0 505 0 495 180 360 180 360 二 填空题二 填空题 5 设扇形的周长为 面积为 则扇形的圆心角的弧度数的绝对值是 8cm 2 4cm 6 已知集合 6030 Mx xkkZ 3060 Ny ynnZ 若 且 则由角组成的集合为 MN 9090 三 解答题三 解答题 7 如果是第三象限角 那么角的终边的位置如何 是哪个象限的角 2 2 1414 1515 8 已知扇形的周长为 当它的半径和圆心角各取何值时 扇形的面积最大 30R 并求出扇形面积的最大值 一 选择题一 选择题 1 若角与终边相同 则一定有 A B 180 0 C D 360 kkZ 360 kkZ 2 下列表示中不正确