【拿高分 选好题】（新课程）高中数学二轮复习 第一部分 18个必考问题 专项突破《必考问题1 函数的图象和性质》热点命题 苏教版

1 必考问题必考问题 1 1 函数的图象和性质函数的图象和性质 真题体验 1 2011 江苏 函数f x log5 2x 1 的单调增区间是 解析 因为函数u 2x 1 y log5u在定义域上都是递增函数 所以函数f x log5 2x 1 的单调增区间即为该函数的定义域 即 2x 1 0 解得x 所以所求 1 2 单调增区间是 1 2 答案 1 2 2 2011 江苏 2 改编 已知函数y log2 ax 1 在 1 2 上单调递增 则a的取值 范围为 解析 根据复合函数的单调性及对数函数的定义域求解 因为y log2 ax 1 在 1 2 上 单调递增 所以u ax 1 在 1 2 单调递增 且恒大于 0 即Error a 1 答案 1 3 2010 江苏 设函数f x x ex ae x x R R 是偶函数 则实数a的值为 解析 由题意可得g x ex ae x为奇函数 由g 0 0 得a 1 答案 1 4 2012 南京 盐城模拟 若函数f x a 是定义在 1 1 上 1 2x 1 的奇函数 则f x 的值域为 解析 由题意可得f 1 f 1 解得a 所以f x 当x 1 1 2 1 2 1 2x 1 时 得f x 为增函数 2x 2 2x 1 1 0 1 f x 由对称性知 1 2x 1 3 2 1 2 当x 1 时 f x 综上 所求值域为 1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 3 2 答案 3 2 1 2 1 2 3 2 5 2012 江苏 已知函数f x x2 ax b a b R R 的值域为 0 若关于x 的不等式f x c的解集为 m m 6 则实数c的值为 解析 由题意知f x x2 ax b 2 b x a 2 a2 4 2 f x 的值域为 0 b 0 即b a2 4 a2 4 f x 2 x a 2 又 f x c 2 c 即 x x a 2 a 2c a 2c Error 得 2 6 c 9 c 答案 9 高考定位 高考对本内容的考查主要有 1 函数的概念和函数的基本性质是 B 级要求 是重要考点 2 指数与对数的运算 指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点 要求都是 B 级 3 幂函数是 A 级要求 不是热点考点 但要了解幂函数的概念以及简单幂函数的性 质 试题类型一般是一道填空题 有时与方程 不等式综合考查 应对策略 函数问题往往涉及许多重要的基础知识 不仅有常见的数学方法 还蕴含丰富的数学 思想 如 等价转化 分类讨论 数形结合等 体现了数学能力的高层次要求 在备考复习中 解答函数填空题 要注意小 巧 活 而函数综合题是江苏卷近几年 每年必考的代数论证能力题的主要内容 充分体现了以导数为工具 以高中函数中的二次 函数 指数和对数函数为载体的指导思想 要想在高考中得高分 必须对这一部分内容加 以足够的重视 必备知识 1 函数的单调性 奇偶性 1 由f x 是增 减 函数且f x1 f x2 x1 x2 x1 x2 另外定义的等价形式 设 任意x1 x2 a b 且x1 x2 那么 0 0 f x 在 a b 上是增 减 函数 f x1 f x2 x1 x2 2 奇偶函数的性质 奇函数f x 若在原点有定义 则必过原点 即f 0 0 如果f x 是偶函数 那么f x f x 反之亦真 3 偶函数在对称于原点的两个区间上单调性相反 而奇函数则单调性相同 2 函数图象的变换 1 平移变换 左 加 右 减 上 加 下 减 2 对称变换 y f x y f x y f x y f x y f x y f x x轴 对称 y轴 对称 原点 对称 y f x y f x 保留y轴右边图象 并作其关于y轴对称图象 去掉y轴左边图象 y f x y f x 保留x轴上方图象 把x轴下方图象翻折上去 3 二次函数的图象与性质 1 二次函数f x ax2 bx c的图象形状 对称轴 顶点坐标 开口方向等是处理 二次函数问题的重要依据 2 求二次函数在某段区间上的最值时 要利用好数形结合 特别是含参数的两种类型 定轴动区间 定区间动轴 的问题 抓住 三点一轴 三点指的是区间两个端点和区间 中点 一轴指的是对称轴 必备方法 1 定义域 值域和对应关系是决定函数的三个要素 是一个整体 研究函数问题时务 必 定义域优先 2 单调性是函数的一个局部性质 一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性 函数的单调性使得自变量的不等关系和函数之间的不等关系可以 正逆互推 判定函数的单调性常用定义法 图象法及导数法 对于填空题 也可用一些命题 如 两个增 减 函数的和函数仍为增 减 函数 3 函数的奇偶性反映了函数图象的对称性 是函数的整体特性 利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分 一半 区间 上 是简化问题的一种途径 4 对函数图象的研究应从其主要特征入手 如 定义域 值域 奇偶性 对称性 特 征点 特征线 周期等 5 函数图象的对称性 1 若函数y f x 满足f a x f a x 即f x f 2a x 则f x 的图象关于 直线x a对称 2 若f x 满足f a x f b x 则函数f x 的图象关于直线x 对称 a b 2 3 若函数y f x 满足f x 2b f 2a x 则该函数图象关于点 a b 成中心对 称 6 二次函数 一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体 要深刻理解它们之 4 间的相互关系 能用函数与方程 分类讨论 数形结合思想来研究与 三个二次 有关的 问题 高考对 三个二次 知识的考查往往渗透在其他知识之中 并且大都出现在解答题 中 7 指数函数 对数函数的图象和性质受底数a的影响 解决与指 对数函数特别是与 单调性有关的问题时 首先要看底数a的范围 对于幂函数 掌握好考纲中列出的五种常 用的幂函数即可 命题角度一 函数性质的应用 命题要点 给定解析式 求函数定义域 对分段函数的理解和应用 函数奇偶 性 单调性的应用 例 1 2010 江苏 已知函数f x Error 则满足不等式f 1 x2 f 2x 的x的 范围是 审题视点 听课记录 审题视点 分段函数的单调性 可以画出图象 利用图象直观地判断单调性 解析 作出函数f x 的图象 如图所示利用图象得 f 1 x2 f 2x 1 x2 2x 0 或Error 解得 0 x 1 或 1 x 0 即x的范围 2 是 1 1 2 答案 1 1 2 分段函数是指在定义域内的不同部分上 有不同的解析表达式的函数 它 的单调性不仅要考虑各个部分的单调性 还要注意各段交界处的函数值的大小关系 所以 分段函数是函数部分的一个重要考点 应引起我们的高度重视 突破训练 1 2012 常州一中期中 5 已知y f x 是 R R 上的奇函数 且x 0 时 f x 1 则不等式f x2 x f 0 的解集为 5 解析 由条件y f x 为 R R 上的奇函数 x 0 时 f x 1 则f 0 0 x 0 时 f x 1 函数图象如图所示 由f x2 x f 0 得 x2 x 0 从而x 0 1 答案 0 1 命题角度二 函数图象的应用 命题要点 应用函数图象研究函数性质 应用图象确定方程根的个数 例 2 2012 苏州模拟 已知函数f x x 1 1 有下列结论 x 1 x x 1 1 等式f x f x 0 恒成立 m 0 方程 f x m有两 个不等实数根 x1 x2 1 1 若x1 x2 则一定有f x1 f x2 存在无数个 实数k 使得函数g x f x kx在 1 1 上有三个零点 则其中正确结论的序号为 审题视点 听课记录 审题视点 可以作出函数图象 利用图象直观判断函数的奇偶性 单调性及交点个 数 解析 因为f x f x 函数f x 是奇函数 故 正确 当m 0 时 f x 0 只有一个解 故 错误 作出函数f x 在 1 1 上的图象如图所示 可知f x 在 1 1 上是增函数 故 正确 由图象可知y f x y kx在 1 1 上有三个不同的交 点时 k有无数个取值 故 正确 答案 由于根据函数解析式不太清楚该函数的有关性质 或者直接计算太麻烦 6 甚至解不出 故要学会利用数形结合的方法直观判断 突破训练 2 2012 盐城调研 12 若y f x 是定义在 R R 上周期为 2 的周期函数 且f x 是偶函数 当x 0 1 时f x 2x 1 则函数g x f x log5 x 的零点个数 为 解析 f x 为偶函数 周期为 2 0 x 1 时 f x 2x 1 又 log5 x x 0 亦为 偶函数 只需分析g x f x log5 x 在x 0 时零点个数 如图所示 交点有 4 个 即 g x 在x 0 时有 4 个零点 由对称性 g x 在x 0 时亦有 4 个零点 综上可知 g x 的零点共有 8 个 答案 8 7 命题角度三 函数的综合应用 命题要点 函数性质的综合应用 函数与不等式等其它知识的综合 复合函数 的性质 例 3 2012 无锡模拟 设函数f x lg 其中a R R 对于任意的 n 1 i 1ix nxa n 正整数n n 2 如果不等式f x x 1 lg n在区间 1 上有解 则实数a的取 值范围为 审题视点 听课记录 审题视点 本题是指数函数的性质与不等式的综合应用 用分离参数的方法转化为函 数最值问题求解 注意指数函数单调性的应用 解析 由题意可得函数f x lg lg x 1 lg n lg nx 1 即为 n 1 i 1ix nxa n 1x 2x 3x n 1 x nxa n nx 1在区间 1 上有解 分离参数可得 1x 2x 3x n 1 x nxa n 1 a Error Error max 由指数函数的单调性可得函数y x x x x在区 1 n 2 n 3 n n 1 n 间 1 递减 即x 1 时取得最大值 所以 1 a 1 2 3 n 1 n n 1 2 a 在n 2 时恒成立 所以a max 而 在 2 上递减 所以当 n 1 2 3 n 2 3 n 2 3 n 2 n 2 时取得最大值 故a 1 2 1 2 答案 1 2 8 关于不等式恒成立 有解问题 通常利用分离参数的方法将所求字母的取 值范围转化为函数最值 再利用相关函数的单调性等性质求函数最值 要熟练掌握并且能 够灵活应用这一解法 突破训练 3 已知函数f x 2 2的定义域是 a b 其中 0 a b x a 1 b x 1 1 求f x 的最小值 2 讨论f x 的单调性 解 1 f x 2 2 x2 a2 b2 x2 x a b x 2 2 2 x a b x x a b x 2b a 设t 则由x a b 0 a b 得t 2 x a b x b a 从而t 于是y t2 2t 2 2 b a 1 b a 2b a t 1 2 1 在上单调递增 2b a 2 b a 1 b a 所以当t 2 即x 时 f x min 2 2 b aab b a 1 2 由t 2 当且仅当 x a b x b a x a b x 即x 时等号成立 ab 且t 在 a 上单调递减 x a b xab 在 b 上单调递增 ab 且y t2 2t 2 2是上单调递增函数 所以f x 在区间 a 上 b a 2 b a 1 b a ab 单调递减 区间 b 上单调递增 ab 9 命题角度四 二次函数 命题要点 针对三个 二次 之间的关系进行命题 针对二次函数的相关性质进 行命题 例 4 已知二次函数f x ax2 bx a b为常数且a 0 满足条件f x 3 f 5 x 且方程f x x有等根 1 求f x 的解析式 2 是否存在实数m n m n 使f x 的定义域和值域分别为 m n 和 3m 3n 如果 存在 求出m n的值 如果不存在 请说明理由 审题视点 听课记录 审题视点 先由二次函数的对称轴及对应方程的解确定a b 再由二次函数的性质 进行解题 解 1 由f x 3 f 5 x 可知 函数f x 图象的对称轴为x 1 即 1 b 2a 又方程f x x有等根 即ax2 b 1 x 0 有等根 b 1 0 故b 1 代入 可得a 1 2 f x x2 x 1 2 2 f x x2 x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3n m n 1 1 2 1 6 函数f x 在 m n 上单调递增 假设存在实数m n m n 使f x 的定义域和值域分别为 m n 和 3m 3n 则有 Error 10 即m n是方程f x 3x的两根 且m n 1 6 由f x 3x得x1 4 x2 0 所以m 4 n 0 存在实数m n 1 利用三个 二次 的相互转化解题 二次方程 二次函数 二次不等式 2 处理二次方程根的分布问题 要注意数形结合 函数与方程等思想方法的运用 具 体求解时一般考虑判别式 对称轴位置 函数在端点的符号 列出不等式 组 求解即可 对于大小比较问题 一般用比较法或函数的单调性进行 突破训练 4 2011 南通 无锡调研 已知 a 1 若f x ax2 2x 1 在区间 1 3 1 3 上的最大值为M a 最小值为N a 令g a M a N a 1 求g a 的函数表达式 2 判断g a 的单调性 并求出g a 的最小值 解 1 函数f x ax2 2x 1 的对称轴为直线x 而 a 1 所以 1 3 1 a 1 3 1 a 所以f x 在 1 3 上N a f 1 1 a 1 a 当 1 2 时 即 a 1 时 M a f 3 9a 5 1 a 1 2 当 2 3 时 即 a 时 M a f 1 a 1 1 a 1 3 1 2 所以g a M a N a Error 2 由题意知g a 在上单调递增 g a 在上单调递减 1 2 1 1 3 1 2 故g a min g 1 2 1 2 11 1 函数图象和性质应注意的三个问题 一 判断函数的奇偶性要严格按照定义和步骤 例 1 定义两种运算 a b a b 则函数f x a2 b2 a b 2 的奇偶性为 2 x x 2 2 解析 根据所给的运算定义得函数f x 求出函数的定 2 x x 2 2 4 x2 x 2 2 义域为 2 0 0 2 关于原点对称 且x 2 0 所以函数f x 4 x2 x 2 2 易知f x f x 所以原函数为奇函数 4 x2 2 x 2 4 x2 x 答案 奇函数 老师叮咛 函数奇偶性是函数的重要性质 对奇偶性部分的常见题型及其解法要理解 并且掌握 不要跳步 这在平时训练中要养成好的解题习惯 如本题 若不按照定义法判断 函数奇偶性的步骤进行 函数的解析式没有化简变形等 就会出现下面的错误解法 根据 所给的运算定义得函数 二 正确应用函数性质和结论解