【三维设计】2013届高考数学一轮复习 热点难点突破 不拉分系列（四）图解函数的零点问题 新人教版

1 三维设计三维设计 2013 2013 届高考数学一轮复习届高考数学一轮复习 热点难点突破热点难点突破 不拉分系列不拉分系列 四 图解函数的零点问题 四 图解函数的零点问题 新人教版新人教版 函数零点问题主要有四类 一是判断函数零 点或方程根的个数 二是利用函数零点确定函数 解析式 三是确定函数零点或方程根的取值范围 四是利用函数零点或根的个数求解参数的取值范 围 解决这些问题主要用数形结合法 1 函数零点个数的判断 函数零点的个数即为方程f x 0 根的个数 可转化为函数f x 的图象与x轴交点的 个数进行判断 也可转化为两个函数图象的交点个数 如例 2 1 2 利用函数零点求解函数解析式 由函数的零点利用待定系数法求函数的解析式 求解时要结合函数的图象 典例 1 如图所示为f x x3 bx2 cx d的图象 则x x的值是 2 12 2 A B 2 3 4 3 C D 8 3 16 9 解析 由图象可知 函数图象与x轴交于三点 1 0 0 0 2 0 故该函数 有三个零点 1 0 2 由f 0 0 得d 0 故函数解析式可化为f x x3 bx2 cx x x2 bx c 显然 1 2 为方程x2 bx c 0 的两根 由根与系数的关系 得Error 解得Error 故f x x3 x2 2x 由图象可知 x1 x2为函数f x 的两个极值点 又f x 3x2 2x 2 故x1 x2为f x 0 即 3x2 2x 2 0 的两根 2 故x1 x2 x1 x2 2 3 2 3 故x x x1 x2 2 2x1 x2 2 2 2 12 2 2 3 2 3 16 9 答案 D 题后悟道 确定零点与三次函数的各个系数之间的关系还可以根据零点写出函数解 析式f x a x x x 然后依据代数恒等式成立的条件 对应系数相 等 找出彼此之间的关系 本题所求的问题类似于一元二次方程根与系数关系中的相关问 题 要注意式子的灵活变形 类似的变形有 x1 x2 2 x1 x2 2 4x1x2 1 x1 1 x2 等 x1 x2 x1x2 3 零点取值范围的确定 函数零点的取值范围 即为方程f x 0 的根的取值范围 主要利用零点存在性定理 解决 可结合函数的图象和性质 根据图象上的一些特殊点灵活处理 如本节例 1 4 由零点个数确定参数的取值范围 根据函数零点的个数确定函数解析式中参数的取值范围 主要利用数形结合的方法 根据函数的极值与区间的端点值构造参数所满足的不等式 通过解不等式求解其取值范 围 典例 2 已知函数f x x3 3x2 9x 3 若函数g x f x m在x 2 5 上 有 3 个零点 则m的取值范围为 A 24 8 B 24 1 C 1 8 D 1 8 解析 f x 3x2 6x 9 3 x 1 x 3 令f x 0 得x 1 或x 3 当x 2 1 时 f x 0 函数f x 单调递增 当 x 1 3 时 f x 0 函数f x 单调递增 所以函数f x 的极小值为f 3 24 极大值为f 1 8 而f 2 1 f 5 8 函数图象大致如图所示 故要使方程 g x f x m在x 2 5 上有 3 个零点 只需函数f x 在 2 5 内的函数图象与直 线y m有 3 个交点 故Error 即m 1 8 答案 D 题后悟道 解决此类问题主要依据函数图象的特征 利用区间端点处的函数值 函 数的极值等构造关于参数的不等式 注意函数在区间的端点值对参数取值范围的影响 如 该题中f 2 与f 5 这两个端点值决定着方程g x f x m在x 2 5 上的零点个 3 数 若m 8 或 24 m8 或 m 24 时 则该方程没有实根 总之 解决函数零点的有关问题