2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷(三)含答案

第 1 页，共 14 页 x 0x ( ) 3f x x ( ) 2 f(x) （第 4 题） 2016 年高考模拟试卷 (3) 南通市数学学科基地命题 第卷（必做题，共 160 分） 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 | 1 2A x x ，集合 |1B x x，则 = . 000 人，其中高一年级共有学生 650 人，高二男生有 370 人 名，抽到高二年级女生的概率是 该校高三学生共 有 人 . 3 已知 i 是虚数单位，且复数 2+1 2i，若12实数， 则实数 b= . 4 根据如图所示的伪代码，已知输出值为 1，则输入值 x 5 已知 m1， 0， 1， n2， 2，若随机选取 m， n，则直线 10mx 上存在第二象限的点的 概率是 6已知| | 2ar，| | 3| 2 |_. 7 已知一元二次不等式 ( ) 0的解集为 ,1 2 , ，则 ( 0的解集为 8. 设 为锐角，若3)65，则 )6 . 9 如图，在四棱锥 P 中， 平面 底面 菱形，若2 , 6 0A B B A D . 则 当 四 棱 锥 P 的体积等于 23时，则 . 10. 在平面直角坐标系 ,过点 (4,3)P 引圆 2 2 2: ( ) 1 ( 0 4 )C x y m m m 的两条切线 ,切点分别为 A 、 B ,则直线 定点 . 11 已知等差数列1a=1，且3 4 115,2a a a成等比数列 若 10 ，则 . 12 若曲线 a x 与曲线212它们的公共点 ,P 具有公共切线，则 . 13已知 Y 面积 为 2， P 是边 任意一点，则 22C最小值为 14. 设 函数34 8 ,1 2 ,2()1 ( ) , ，则函数( ) ( ) 6g x xf x在区间20151,2 内的所有零点的和为 . 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在 答题卡指定区域 内作答，解答时写出文字说明、证明过第 2 页，共 14 页 程或演算步骤 15.（本小题满分 14分） 在 中，三个内角分别为 A,B,C ， 已知 s A ) 2 c o s （ 1） 若 6 求 证： 2 3 0 （ 2） 若 (0, )3B ， 且 4)5， 求 16.（本小题满分 14 分） 已知四棱锥 P 中，底面 直角梯形， 60 ，1, 3D C A D已知 C. （ 1）若 N 为 中点，求证： 平面 （ 2）若 M 为 中点，求证： 17.（本小题满分 14 分） 某城市在进行规划时，准备设计一个圆形的开放式公园 园林公司进行如下设计，安排圆内接四边形 为绿化 区域 ，其余作为市民活动 区域 域种植花木 后 出售， 区域种植草皮 后 出售，已知草皮每平方米售价为 a 元，花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍 . 若 6 4D 1）若 27 求绿化 区域 的面积； （ 2）设 ，当 取何值时，园林公司的总 销售 金额 最大 . 18. (本小题满分 16 分 ) 已知 A,B 是椭圆 22: 1 ( 0 )a 的左 ,右顶点， F 为其右焦点，在 直线 4x上任取一 点 P （点 P 不在 x 轴上） ， 连结 F, 若 半焦距 1c ，且2 P F P A P Bk k k （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若 直线 椭圆于 ,记 面积分别为 求12取值范围 3 页，共 14 页 19.（本小题满分 16 分） 已知函数 x a x x a R ， 2() （ 1）当 1a 时，求 （ 2）若 ( ) ( )h x f x g x恰有三个不同的零点1 2 3,x x x（1 2 3x x x） 求实数 a 的取值范围； 求证： 23121 2 3n l 1 1x x 20.（本小题满分 16 分） 已知 数列 列 （ 1） 设1 1a，4 8a 若2 2 21 2 2 1 21 1 1 1 1 1()a a a a a *，求实数 M 的值； 若在11a 与41a 之间插入 k 个数 12, , , kb b 使得121 4 51 1 1, , , , , ,kb b ba a 求这 k 个数的和 （ 2） 若一个数列 称 已知 数列 的等差数列，11223其中 m 是 某个正整数 ，且 3m ，求证： 数列 第卷（附加题，共 40 分） 21 【选做题】本题包括 A、 B、 C、 D 共 4 小题， 请选定其中两小题 ， 并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A （选修：几何证明选讲） 如图， 接于 过 B 作 切线 C 在圆上， 圆于点 E， 且 E B （选修：矩阵与变换） 在平面直角坐标系 ，设点 P(x， 3)在矩阵 M 1234对应的变换下得到点 Q(y 4， y +2)，求2 M 4 页，共 14 页 C （选修：坐标系与参数方程） 在直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为232252 (t 为参数 )，在极坐标系 (与直角坐标系 相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴 )中，圆 C 的方程为 2 5 的坐标为 3, 5 ，求 B 的值 . D （选修：不等式选讲） 若关于 x 的不等式 2 0x ax b 的 解集为 1,2 ,求函数( ) ( 1 ) 3 ( 1 ) 4f x a x b x 的最大值 . 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分 . 22 （本小题满分 10 分） 如图，一简单几何体 一个面 接于圆 O, 圆 O 的直径，四边形 平行四边形，且 平面 若 C=, （ 1） 上是否存在一点 M，使得 夹角为 60 ？ （ 2）求锐 二面角 余弦值 . 23. （本小题满分 10 分） 已知正项数列 n 项和为1 1a，且当 2n 时，1 121 1 12 ( ) ( 1 ) ( )nn n S S S L（ 1）求数列 （ 2）求证：当 2n 时， 2 224 . 5 页，共 14 页 2016 年高考模拟试卷 (3) 参考答案 南通市数学学科基地命题 第卷（必做题，共 160 分） 一、填空题 1. 1,1 . 2. 600. 3 4 5 23.【解析】 m、 n 的取法共有 32 6 种，即共有 6 条直线，其中当 m 0， n 2 和 m 1， n 2，直线 10mx 恰好不经过第二象限，所有经过第二象限的直线有 4 条，所以 P 23 6 27 . 7 10,100 . 8. 2425. 【解析】 因为 为锐角，3)65为正数，所以6是锐角，4)65，得 24s i n ( 2 ) 2 s i n ( ) c o s ( )3 6 6 2 5 ，又因为c o s ( 2 ) s i n ( 2 )63 ，所以 24c o s ( 2 )6 2 5 . 9 21 . 【解析】 因为，底面 菱形，2 , 6 0A B B A D ，所以， 132 s i n 6 0 2 2 2 322A B C B A D ，因为， 平面 所以，四棱锥 P 高为 以， 1 2 3 2 33 ，得 3，因为， 平面 面 以， ， 2 2 29 ( 2 3 ) 2 1P B P A A C . 10. 5( , 3)2 . 【解析】 直线 任取一点 ( , )Qx y ,则 2=C Q C P C B C P C B 为( , ) , ( 4 , 3 )C Q x y m C P m 以 24 ( 3 ) ( ) 1x m y m m ,即 4 3 1 ( 3 ) 0x y m y . 所以直线 4 3 1 ( 3 ) 0x y m y ，令 4 3 1 030 ,则 523，故直线 定点 5( , 3)2 . 11 15 . 【解析】 等差数列公差为d，由题意知0d， 因为3 4 115,2a a a成等比数列，所以24 3 115()2 a a，所以，27( 3 ) (1 2 ) (1 10 )2 d d d ，即 0453644 2 以3 15( ),22 舍 去所以31n ( ) 152a p q . 12. 2e .【解析】 对曲线 a x 求导可得 ，对曲线212导可得 ，因为它们在公共点 ,P 具有公共切线，所以 ，即 2s ，又 21t a ，即 22 s ，将 2s 代入，所以 1a 2t， ，即 2s . 13 4 .【解析】 因为 2Y ，所以 1 ，如图，取 中点 M ，连 过点 P 作 C 于H ，则 2P B P C P MH ，且1=12S B C P H 所以 2H 6 页，共 14 页 22 2212 ( ) 22P B P C P B P C P C P B P B P C B C u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u 22 2 2 2 2 2 21 1 14 2 +2 2 2P B P C P B P C B C P M B C B C P M B C u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u u ur u u ur u u ur u u u ur u u 212 2 2 4 4 B C P M B C P H B C S 当且仅当 12C ，且点 M 与点 H 重合时等号成立所以 2P B P C B C最小值为 4 14. 201523 ()2 1.【解析】 当 312x时， 88f x x（ ） ，所以 2(8 2 )1 8g x x ，此时当 32x时，0（ ） ；当 32 2x 时， 16 8f x x（ ） ，所以 28 1 2 0g x x （ ） （ ） ；由此可得 12x 时，0（ ） 下面考虑 122 且 2n 时， ） 的最大值的情况当 122 3 2 时，由函数 ） 的定义知 11112()2)(22 nn xf x f ,因为1 31 22，所以 2225 (1 282 )x x ，此时当 232时， 0（ ）；当 23 2 2 时，同理可知 1225 (1 82 )20x x ， 由此可得 122 且2n 时， 0（ ） 综上可得：对于一切的 *，函数 ） 在区间 12 2 上有 1 个零点，从而 ()1 2n， 上有 n 个零点，且这些零点为 232，所以，当 2015n 时，所有这些零点的和为201523 ()2 1 二、解答题 s A ) 2 c o s ，得 31s i n A c o s A 2 c o s ， 即 3 co s A ，因为 A 0,，且 ， 所以 ，所以 . 4 分 （ 1）因为 22s c o s C 1， 6 C 0,，所以 3正弦定理知 ，即332233a s i n Ac s i n C ，即 2 3 0.7 分 （ 2）因为 (0, )3B ，所以 033A B B , ， 因为 22s i n ( ) c o s ( ) 1A B A B ，所以 3)5， 10 分 所以 4 3 3s i n s i n s i n c o s ( ) c o s s i n ( )10B A A B A A B A A B .14 分 16.（ 1）取 中点 E，连接 第 7 页，共 14 页 因为 直角梯形， 60 ， 1, 3D C A D， 易得 ， 2 分 又因 E 为 中点， N 为 中点， 所以 所以四边形 平行四边形 所以 4 分 又 平面 平面 所以 平面 6 分 （ 2）连接 因为 C， M 为 中点 所以 8 分 因为 M 为 中点 所以 10 分 又因为 A M P M MI ， ,M 平面 所以 平面 12 分 因为 平面 所以 14 分 17.（ 1）在 中， 27， 6， 4， 由余弦定理得 ， 2222 2 2 6 4 2 7 1c o 6 4 2B C C D B C D 0 ,1 8 0B C D ， 所以 60 ， 2 分 又因为 A 、 B 、 C 、 D 共圆，所以 120 . 在 中，由余弦定理得 2 2 2 2 c o A B A D A B A D B A D g， 将 4， 27代入化简得 2 4 1 2 0A B A B ， 解得 2（ 6 舍去） . 4 分 所以 112 4 s i n 1 2 0 4 6 s i n 6 0 8 322A B C D A B D B C S 32 6 分 （ 2）在 、 中分别利用余弦定理得 8 页，共 14 页 2 2 26 4 2 6 4 c o 2 2 24 2 4 c o s A B A B 联立 消去 2 8 c o s 4 8 c o s 3 6 0A B A B g ，得 6 8 c o s 6 0A B A B ，解得 6 8 （ 6 舍去） . 10 分 因为 0，所以 6 8，即 3. 11s i n 6 8 c o s 4 s i n 1 2 s i n 1 6 s i n c o B A D g 11s i n 6 4 s i n 1 2 s i C C D g 因为草皮每平方米售价为 a 元，则花木每平方米售价为 3a 元，设销售金额为 y 百万元 . 3 1 2 s i n 1 6 s i n c o s 1 2 s i n 4 8 s i n s i n c o sy f a a a 12 分 2 2 24 8 c o s c o s s i n 4 8 2 c o s c o s 1 4 8 2 c o s 1 c o s 1f a a a 令 0y ，解得 1 2 ，又 3，不妨设0 3， 则函数 f 在0 2, 3上为增函数； 令 0y ，解得 1，则函数 f 在 2 ,3 上为减函数， 所以当 23 时， m a x 3 6 3. 答：（ 1）绿化区域的面积为 832（ 2）当 23时，园林公司的销售金额最大，最大为 36 3 14 分 18. （ 1）令0(4, )( , 0 ), ( , 0 )A a B a , 因为 1c ，所以 (1,0)F 因为 2P F P A P Bk k k，所以0 0 024 1 4 4y y ， 2 分 解得 2a ，从而 2 2 2 3b a c 故 椭圆方程为 221436 分 （ 2）令1 1 2 2( , ) , ( , )M x y N x y，设直线 程为 1x 由 223 4 1 21m y 消 x , 得 22( 3 4 ) 6 9 0m y m y ， 第 9 页，共 14 页 12 2634m 12 2934yy m 所以 212 22142 34yy my y m ，令 12yt y ， 则 222161 1 1 0 8 1 0 33 4 3 3 4t m m 12 分所以 1 102 3t t ，从而 1 33 t且 1t ， 因为 121212A M y 所以 1, 1 1 , 33A M 16 分 19.（ 1）当 1a 时， x x x ，定义域为 0 ， 111 所以 0， () 0 ， 上单调递增； 即 0 ， . 3 分 （ 2） 由题意可得，关于 x 的方程 2 a x 在 0+， 上有三个不同的解 即关于 x 的方程 x x x在 0+， 上有三个不同的解 令 x x x， 0+x， 所以 222 2l n 1 l n 2 l n1 l n 1 l nl n l nx x x xx x x x x 5 分 显然，当 0+x， 时， 2 ，证明如下： 令 2 y x x x ， 1 2 12 当 102x ，时， 0y ，函数 2 x x 在 102，上单调递减； 当 12x ，时， 0y ，函数 2 x x 在 102，上单调递增 所以当 12x时， 2 x x 取最小值 11 所以，当 0+x， 时， 2 7 分 第 10 页，共 14 页 令 0 ，可得 1x 或 e 将 x,h1(x),h(x)变化情况列表如下 x 01，1 1, e ， 00 极小值 11f Z 极大值 1() 1 又当 0 , ( ) , ( ) 1 .x h x x h x 时 当 ， 所以，实数 a 的取值范围为 1(1, )1 10 分 由 可知，当1 2 301x x e x 时， l n 1 l x x x x 令 则 11， 即 2 1 1 0t a t a ，1210t t a ，12 10t t a 12 分 不妨设12则120 又 xt x ， 21 x， 当 0， 时， 0， 0 e， 上单调递增； 当 ， 时， 0， e ， 上单调递减 显然，当 01x ， 时， 0；当 ， 时， 0 所以111x ， 322 23 14 分 所以 2 2 231 2 1 21 2 3 1 2n l n l n l 1 1 1xx x x xx x x x x 21 2 21 1 1t t t 21211 21 2 1 21 t t t t 21 1 1 1 即 23121 2 3n l 1 1x x 16 分 第 11 页，共 14 页 20.（ 1）设等比数列 q ， 由1 1a，4 8a ，得 2q ， 2 分 因为 比数列，所以 1是 等比数列，且公比为 12， 2 2 21 2 2 1 21 1 1 1 1 1()a a a a a 所以 22111 ( ) 1 ( )1124 对 *都成立， 所以 32M； 4 分 因为11 1a ，4118a ，51116a ， 因为121 4 51 1 1, , , , , ,kb b ba a 以公差541 1 116d ， 6 分 且4111( 1) ，即 111 ( 1 ) ( )8 1 6k ，解得 13k ； 所以这 13 个数的和1 1 313 1 3 ( ) 1 3 1 1 1 7( 1 )2 2 8 1 6 8 分 （ 2）设 数列 d ，则 0d ， 由条件得1111b d a q， 211( 1)b m d a q ， 所以 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )m q q ， 因为 0d ，所以 1q ，从而 2， 因为 m 是某个正整数，且 3m ，所以 q 也是正 整数，且 1q ， 10 分 因为11223 所以1a，2a，3 12 分 当 4n 时，若则 11 1 1( 1 ) ( 1 )na q a t a q ， 化简得 1221111 n q q L， 即 222 nt q q q L ，且 q 是正整数， 所以， t 也是正整数， 所以对任意 4,n n N，存在 ，使得 第 12 页，共 14 页 即数列 所以，数列 16 分 第卷（附加题，共 40分） 21A 如图，连接 点 G. 由弦切角定理得， 而 又因为 以 直径，则 90， 所以， V，所以， 10 分 B 依题意， 12343x42，即 6 4 3 1 2 2 ，解得 0 10 ，2 1 2 1 2 7 1 03 4 3 4 1 5 2 2M 所以，2 7 1 0 0 1 0 01 0 2 2 01 5 2 2 M 10 分 C 由 2 5 ，可得 222 5 0x y y ， 即圆 C 的方程为 22( 5 ) 5 将 l 的参数方程23,225,2 代入圆 C 的直角坐标方程，得 222235 ， 即 2 3 2 4 0 由于 2( 3 2 ) 4 4 2 0 故可设12上述方程的两个实根， 所以1212324，又直线 l 过点 (3 5)P ， ， 故由上式及 t 的几何意义得1 2 1 2| | | | | | | | 3 2P A P B t t t t 10 分 D 因为不等式 2 0x ax b 的解集也为 1,2 , 所 以可得， 3a , 2b . 又函数 ( ) ( 1 ) 3 ( 1 ) 4 2 3 4f x a x b x x x , 13 页，共 14 页 由柯西不等式可得 : 2 2 2 2 2( 2 3 4 ) ( 2 1 ) ( 3 ) ( 4 ) x x x x , 当且仅当 2 3 4 即 16 3,55x 时取等号 , 所以，当 165x时 , 函数 ( ) ( 1 ) 3 ( 1