吉林省长春市德惠市2016届中考数学一模试卷含答案解析

第 1 页（共 29 页） 2016 年吉林省长春市德惠市中考数学一模试卷 一、选择题（共 8小题，每小题 3分，满分 24分） 1 5 的相反数是（ ） A 5 B 5 C D 2据统计： 2014 年南通市在籍人口总数约为 7700000 人，将 7700000 用科学记数法表示为（ ） A 07 B 07 C 06 D 06 3下列计算正确的是（ ） A a+a2= 2a+5a=7a C（ 3= a8a4=如图是由三个小方体叠成的一个立体图形，那么它的俯视图是（ ） A B C D 5不等式组 的解 集为（ ） A x 2 B 2 x 1 C x1 D 2 x1 6如图， 是 O 的弦，且 2，则 大小为（ ） A 28 B 31 C 38 D 62 7如图，直线 a b， 1=75， 2=40，则 3 的度数为（ ） 第 2 页（共 29 页） A 75 B 50 C 35 D 30 8如图，直线 y= x+3 与 y 轴交于点 A，与反比例函数 y= （ k0）的图象交于点 C，过点 C 作 ， 反比例函数的解析式为（ ） A y= B y= C y= D y= 二、填空题（共 6小题，每 小题 3分，满分 18分） 9比较大小： 1（填 “ ”、 “=”或 “ ”） 10如图，菱形 边长为 6， 0，则对角线 长是 11如图， O 相切于点 C， A= B， O 的半径为 6， 6，则 长为 12一次函数 y=kx+b 的图象如图所示，当 y 0 时， x 的取值范 围是 第 3 页（共 29 页） 13如图，在 ， 上的垂直平分线 点 D，交 点 E， ， 周长为 14，则 周长为 14如图，在平面直角坐标系中，点 C 是抛物线 y=a（ x 3） 2+k 与 y 轴的交点，点 B 是这条抛物线上另一点，且 x 轴，以 边向上作等边三角形 上的高 抛物线于点 E，则阴影部分图形的面积为 三、解答题（共 10小题，满分 78分） 15先化简，再求值： ，其中 a=1 16在 “阳光体育 ”活动时间，甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛 （ 1）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中丙同学的概率； （ 2）用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学进行比赛 的概率 17高速铁路列车已成为中国人出行的重要交通工具，其平均速度是普通铁路列车平均速度的 3 倍，同样行驶 690速铁路列车比普通铁路列车少运行了 高速铁路列车的平均速度 18小红同学要证明命题 “两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ”是正确的，她先用尺规作出了如图 1 所示的四边形 写出了如下不完整的已知和求证 第 4 页（共 29 页） （ 1）在方框中填空，以补全已知求证； （ 2）按图 2 中小红的想法写出证明； （ 3）用文字叙述所证命题的逆命题为 19如图， 两个建筑物，建筑物 高度为 60 米，从建筑物 顶点 A 点测得建筑物 顶点 C 点的俯角 30，测得建筑物 底部 D 点的俯角 45 （ 1）求两建筑物底部之间水平距离 长度； （ 2）求建筑物 高度（结果保留根号） 20某校组织了主题为 “让勤俭节约成为时尚 ”的电子小组作品征集活动，现从中随机抽取部分作品，按 A， B， C， D 四个等级进行评价，并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图 （ 1）求抽取了多少份作品； （ 2）此次抽取的作品中等级为 B 的作品有 ，并补全条形统计图； （ 3）若该校共征集到 800 份作品，请估计等级为 A 的作品约有多少份 21甲，乙两辆汽车分别从 A， B 两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发 2h 后休息，与甲车相遇后，继续行驶设甲、乙两车与 B 地的路程分别为 y 甲 （ y 乙 （ 甲车行驶的时间为 x（ h）， y 甲 ， y 乙 与 x 之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题： 第 5 页（共 29 页） （ 1）乙车休息了 h； （ 2）求乙车与甲车相遇后 y 乙 与 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围； （ 3）当两车相距 40，直接写出 x 的值 22如图 ，在 ， A=90， C，点 D、 E 分别在 ， 初步感知：将图 中 点 A 顺时针旋转 度，当 =180时，如图 ，易知 不用证明） 深入探究：将图 中的 点 A 顺时针 度，当 0 180时，如图 ，猜想 积之间的关系，并说明理由 简单应用：将 点 A 顺时针旋转 度，当 ， 时，在旋转过程中， 23如图，顶点 M 在 y 轴上的抛物线与直线 y=x+1 相交于 A、 B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 2，连结 （ 1）求抛物线的函数关系式； （ 2）判断 形状，并说明理由； （ 3）把抛物线与直线 y=x 的交点称为抛物线的不动点若将（ 1）中抛物线平移，使其顶点为（ m，2m） ，当 m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点 第 6 页（共 29 页） 24如图 ，在矩形 ， 2点 P 从点 A 出发以每秒 3 个单位长度的速度沿 A D C B 停止当点 点 Q 矩形的边的另一交点为 Q设点 P 的运动时间为 t（秒） （ 1）连结 t=2 时， 面积为 （ 2）设 长为 y，求 y 与 t 之间的函数关系式 （ 3）当点 P 在边 运动时，线段 长是否 有最大值？若有，求出其最大值 （ 4）在点 P 出发的同时，另有一个点 H 从点 A 出发以每秒 4 个单位长度的速度沿 A B A 运动，连结 图 ，当点 P 在边 时，直接写出 等腰三角形时 t 的值 第 7 页（共 29 页） 2016年吉林省长春市德惠市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8小题，每小题 3分，满分 24分） 1 5 的相反数是（ ） A 5 B 5 C D 【考点】 相反数 【分析】 根据相反数的概念解答即可 【解答】 解： 5 的相反数是 5 故选： B 【点评】 本题考查了相反数的意义：只有符号不同的两个数互为相反数， 0 的相反数是 0 2据统计： 2014 年南通市在籍人口总数约为 7700000 人，将 7700000 用科学记数法表示为（ ） A 07 B 07 C 06 D 06 【考点】 科学记数法 表示较大的数 【分析】 科学记数法的表示形式为 a10中 1|a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 1 时，n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 【解答】 解：将 7700000 用科学记数法表示为 06 故选 D 【点评】 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10中 1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3下列计算正确的是（ ） A a+a2= 2a+5a=7a C（ 3= a8a4=考点】 同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方 【专题】 计算题 【分析】 先计算出各个选项中的正确结果，然后再对照即可得到哪个选项是正确的 第 8 页（共 29 页） 【解答】 解： a+能合并，故选项 A 错误； 2a+5a=7a，故选项 B 正确； （ 3=选项 C 错误； a8a4=选项 D 错误； 故选 B 【点评】 本题考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法，解题的关键是明确它们各自的计算方法 4如图是由三个小方体叠成的一个立体图形，那么它的俯视图是（ ） A B C D 【考点】 简单组合体的三视图 【分析】 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中 【解答】 解：从上面看易得两个横向排列的正方形 故选 B 【点评】 本题考查了三视图的知识，属于基础题，要求 同学们掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图 5不等式组 的解集为（ ） A x 2 B 2 x 1 C x1 D 2 x1 【考点】 解一元一次不等式组 【分析】 先求出两个不等式的解集，再求其公共解 【解答】 解： ， 解不等式 得， x 2， 解不等式 得， x1， 第 9 页（共 29 页） 所以，不等式组的解集是 2 x1 故选 D 【点评】 本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用 口诀求解求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解） 6如图， 是 O 的弦，且 2，则 大小为（ ） A 28 B 31 C 38 D 62 【考点】 圆周角定理 【专题】 计算题 【分析】 利用垂直的定义得到 0，再根据三角形内角和定理求出 B=180 90 62=28，然后根据圆周角定理即可得到 度数 【解答】 解： 0， 2， B=180 90 62=28， B=28 故选 A 【点评】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半 7如图，直线 a b， 1=75， 2=40，则 3 的度数为（ ） 第 10 页（共 29 页） A 75 B 50 C 35 D 30 【考点】 平行线的 性质 【分析】 直接利用平行线的性质得出 1= 4=75，进而利用三角形外角的性质得出答案 【解答】 解： a b， 1= 4=75， 2+ 3= 4， 1=75， 2=40， 3=75 40=35 故选： C 【点评】 此题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，正确得出 4 的度数是解题关键 8如图，直线 y= x+3 与 y 轴交于点 A，与反比例函数 y= （ k0）的图象交于点 C，过点 C 作 ， 反比例函数的解析式为（ ） A y= B y= C y= D y= 【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题 【专题】 压轴题 第 11 页（共 29 页） 【分析】 先求出点 A 的坐标，然后表 示出 长度，根据 出点 C 的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式 【解答】 解： 直线 y= x+3 与 y 轴交于点 A， A（ 0， 3），即 ， ， 点 C 的横坐标为 1， 点 C 在直线 y= x+3 上， 点 C（ 1， 4）， 反比例函数的解析式为： y= 故选： B 【点评】 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意确定点 C 的横坐标并求出纵坐标是解题的关键 二、填空题（共 6小题，每小题 3分，满分 18分） 9比较大小： 1（填 “ ”、 “=”或 “ ”） 【考点】 实数大小比较 【专题】 推理填空题；实数 【分析】 正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可 【解答】 解： | | 1|=1， 1， 1 故答 案为： 【点评】 此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数 0负实数，两个负实数绝对值大的反而小 10如图，菱形 边长为 6， 0，则对角线 长是 6 第 12 页（共 29 页） 【考点】 菱形的性质；等边三角形的判定与性质 【分析】 由菱形 ， 0，易证得 等边三角形，继而求得对角线 长 【解答】 解： 四边形 菱形， C， 0， 等边三角形， B=6 故答案为： 6 【点评】 此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质注意证得 等边三角形是关键 11如图， O 相切于点 C， A= B， O 的半径为 6， 6，则 长为 10 【考点】 切线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理 【分析】 连接 据切线的性质得出 出 据勾股定理求出即可 【解答】 解： 连接 O 相切于点 C， 0， A= B， B， 第 13 页（共 29 页） C= 16=8， ， 由勾股定理得： = =10， 故答案为： 10 【点评】 本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能根据切 线的性质求出 解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径 12一次函数 y=kx+b 的图象如图所示，当 y 0 时， x 的取值范围是 x 2 【考点】 一次函数的图象 【专题】 数形结合 【分析】 首先根据图象可知，该一次函数 y=kx+b 的图象经过点（ 2， 0）、（ 0， 3）因此可确定该一次函数的解析式为 y= 由于 y 0，根据一次函数的单调性，那么 x 的取值范围即可确定 【解答】 解 ：由图象可知一次函数 y=kx+b 的图象经过点（ 2， 0）、（ 0， 3） 可列出方程组 ， 解得 ， 该一次函数的解析式为 y= ， 0， 当 y 0 时， x 的取值范围是： x 2 故答案为： x 2 【点评】 本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握一次函数的单调性以及 x、 y 交点坐标的特殊性才能灵活解题 第 14 页（共 29 页） 13如图，在 ， 上的垂直平分线 点 D，交 点 E， ， 周长为 14，则 周长为 22 【考点】 线段垂直平分线的性质 【分析】 由 直平分 得， E；所以 周长 = 周长 +后由垂直平分线的性质知 而求得 周长 【解答】 解： 上的垂直平分线 点 D，交 点 E， ， C， ； 又 周长为 14， E+B+C=C=14； 周长是： C+4+8=22； 故答案是： 22 【点评】 此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 14如图，在平面直角坐标系中，点 C 是抛物线 y=a（ x 3） 2+k 与 y 轴的交点，点 B 是这条抛物线上另一点，且 x 轴，以 边向上作等边三角形 上的高 抛物线于点 E，则阴影部分图形的面积为 【考点】 二次函数的性质；等边三角形的性质 【分析】 根据抛物线 y=a（ x 3） 2+k 得到 3=6，根据是等边三角形的性质得到 ，于是得到结果 【解答】 解：根据抛物线 y=a（ x 3） 2+k 得： 3=6， 第 15 页（共 29 页） 等边三角形， ， 根据二次函数图象的对称性得： S 阴影 =S 33 = ， 故答案为： 【点评】 本题考查了二次函数的性质，等边三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 三、解答题（共 10小题，满分 78分） 15先化简，再求值： ，其中 a=1 【考点】 分式的化简求值 【专题】 计算题 【分析】 原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将 a 的值代入计算即可求出值 【解答】 解：原式 = = = ， 当 a=1 时，原式 = 【点评】 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 16在 “阳光体育 ”活动时间，甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛 （ 1）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中丙同学的概率； （ 2）用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学进行比赛的概率 【考点】 列表法与树状图法；概率公式 【分析】 （ 1）由甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，确定甲打第一场，再从其余的三位同学中随机选取一位，直接利用概率公式求解即可求得答案； （ 2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两人的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】 解：（ 1） 甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，确定甲打第一场，再从其余的三位同学中随机选取一位， 第 16 页（共 29 页） 恰好选到丙的概率是： ； （ 2）画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，恰好选中甲、乙两人的有 2 种情况， 恰好选中甲、乙两人的概率为： = 【点评】 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比 17高速铁路列车已成为中国人出行的重要交通工具 ，其平均速度是普通铁路列车平均速度的 3 倍，同样行驶 690速铁路列车比普通铁路列车少运行了 高速铁路列车的平均速度 【考点】 分式方程的应用 【分析】 设高速铁路列车的平均速度为 h，根据高速铁路列车比普通铁路列车少运行了 出分式方程，解分式方程即可，注意检验 【解答】 解：设高速铁路列车的平均速度为 h， 根据题意，得： ， 去分母，得： 6903=690+ 解这个方程，得： x=300， 经检验， x=300 是所列方程的解， 因此高速铁路列车的平均速度为 300km/h 【点评】 本题考查了分式方程的应用；根据时间关系列出分式方程时解决问题的关键，注意解分式方程必须检验 18小红同学要证明命题 “两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ”是正确的，她先用尺规作出了如图 1 所示的四边形 写出了如下不完整的已知和求证 第 17 页（共 29 页） （ 1）在方框中填空，以补全已知求证； （ 2）按图 2 中小红的想法写出证明； （ 3）用文字叙述所证命题的逆命题为 平行四边形两组对边分别 相等 【考点】 平行四边形的判定 【分析】 （ 1）命题的题设为 “两组对边分别相等的四边形 ”，结论是 “是平行四边形 ”，根据题设可得已知：在四边形 ， D， D，求证：四边形 平行四边形； （ 2）连接 用 理证明 得 而可得 据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形 平行四边形； （ 3）把命题 “两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ”的题设和结论对换可得平行四边形两组对边分别 相等 【解答】 解：（ 1）已知：如图 1，在四边形 ， D， D 求证：四边形 平行四边形， 故答案为： 行； （ 2）证明：连接 在 ， ， 四边形 平行四边形； 第 18 页（共 29 页） （ 2）用文字叙述所证命题的逆命题为：平行四边形两组对边分别相等 故答案为：平行四边形两组对边分别相等 【点评】 此 题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形 19如图， 两个建筑物，建筑物 高度为 60 米，从建筑物 顶点 A 点测得建筑物 顶点 C 点的俯角 30，测得建筑物 底部 D 点的俯角 45 （ 1）求两建筑物底部之间水平距离 长度； （ 2）求建筑物 高度（结果保留根号） 【考点】 解直角三角形的应用 【专题】 几何图形问题 【分析】 （ 1）根据题意得： 而得到 5，利用 B=60，求得两建筑物底部之间水平距离 长度为 60 米； （ 2）延长 于点 F，根据题意得四边形 正方形，根据 D=0，在 0求得 后即可求得 长 【解答】 解：（ 1）根据题意得： 5， 0， 5， B=60， 两建筑物底部之间水平距离 长度为 60 米； （ 2）延长 于点 F，根 据题意得四边形 正方形， D=0， 在 ， 0， F0 =20 ， 第 19 页（共 29 页） 又 0， 0 20 ， 建筑物 高度为（ 60 20 ）米 【点 评】 考查解直角三角形的应用；得到以 公共边的 2 个直角三角形是解决本题的突破点 20某校组织了主题为 “让勤俭节约成为时尚 ”的电子小组作品征集活动，现从中随机抽取部分作品，按 A， B， C， D 四个等级进行评价，并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图 （ 1）求抽取了多少份作品； （ 2）此次抽取的作品中等级为 B 的作品有 48 ，并补全条形统计图； （ 3）若该校共征集到 800 份作品，请估计等级为 A 的作品约有多少份 【考点】 条形统计图；用样本估计总体 ；扇形统计图 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）根据 C 的人数除以占的百分比，得到抽取作品的总份数； （ 2）由总份数减去其他份数，求出 B 的份数，补全条形统计图即可； （ 3）求出 A 占的百分比，乘以 800 即可得到结果 【解答】 解：（ 1）根据题意得： 3025%=120（份）， 则抽取了 120 份作品； （ 2）等级 B 的人数为 120（ 36+30+6） =48（份）， 补全统计图，如图所示： 第 20 页（共 29 页） 故答案为： 48； （ 3）根据题意得： 800 =240（份）， 则估计等级为 A 的作品约有 240 份 【点评】 此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键 21甲，乙两辆汽车分别从 A， B 两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发 2h 后休息，与甲车相遇后，继续行驶设甲、乙两车与 B 地的路程分别为 y 甲 （ y 乙 （ 甲车行驶的时间为 x（ h）， y 甲 ， y 乙 与 x 之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题： （ 1）乙车休息了 0.5 h； （ 2）求乙车与甲车相遇后 y 乙 与 x 的函数解析 式，并写出自变量 x 的取值范围； （ 3）当两车相距 40，直接写出 x 的值 【考点】 一次函数的应用 【专题】 数形结合；待定系数法 【分析】 （ 1）根据待定系数法，可得 y 甲 的解析式，根据函数值为 200 千米时，可得相应自变量的值，根据自变量的差，可得答案； （ 2）根据待定系数法，可得 y 乙 的函数解析式； （ 3）分类讨论， 0xy 甲 减 y 乙 等于 40 千米， 2.5x5 时， y 乙 减 y 甲 等于 40 千米，可得答案 【解答】 解：（ 1）设甲车行驶的函数解析式 为 y 甲 =kx+b，（ k 是不为 0 的常数） 第 21 页（共 29 页） y 甲 =kx+b 图象过点（ 0， 400），（ 5， 0）， 得 ， 解得 ， 甲车行驶的函数解析式为 y 甲 = 80x+400， 当 y=200 时， x=h）， 2=h）， 故答案为： （ 2）设乙车与甲车相遇后 y 乙 与 x 的函数解析式 y 乙 =kx+b， y 乙 =kx+b 图象过点（ 200），（ 5， 400）， 得 ， 解得 ， 乙车与甲车相遇后 y 乙 与 x 的函数解析式 y 乙 =80x（ 2.5x5）； （ 3）设乙车与甲车相遇前 y 乙 与 x 的函数解析式 y 乙 =象过点（ 2， 200）， 解得 k=100， 乙车与甲车相遇前 y 乙 与 x 的函数解析式 y 乙 =100x， 0xy 甲 减 y 乙 等于 40 千米， 即 400 80x 100x=40，解得 x=2； 2.5x5 时， y 乙 减 y 甲 等于 40 千米， 即 2.5x5 时， 80x（ 80x+400） =40，解得 x= ， 综上所述： x=2 或 x= 【点评】 本题考查了一次函数的应用，待定系数法是求函数解析式的关键 22如图 ，在 ， A=90， C，点 D、 E 分别在 ， 初步感知：将图 中 点 A 顺时针旋转 度，当 =180时，如图 ，易知 不用证明） 第 22 页（共 29 页） 深入探究：将图 中的 点 A 顺时针 度，当 0 180时 ，如图 ，猜想 说明理由 简单应用：将 点 A 顺时针旋转 度，当 ， 时，在旋转过程中， 12 【考点】 几何变换综合题 【分析】 深入探究：作辅助线得到 0，再由旋转得到的结论判断出 简单应用：根据旋转的过程中 面积始终保持不变，而在旋转的过程中， 终保持不变，即可 【解答】 初步感知 解：由旋转可知， E， B； 在 ， ， S 面积相等； 深入探究 解： 面积相等； 理由如下：过点 D 作 点 E 作 0， 由旋转有， 0， 0， 0， 第 23 页（共 29 页） D， M， 面积为 N， 面积为 M，且 C， 面积相等； 简单应用 如图 由旋转可知，在旋转的过程中 面积始终保持不变， 积的和达到的最大， 积最大， 在旋转的过程中， 终保持不变， 要 积最大， 点 D 到 距离最大， 积的和达到的最大为 D= （ 3+5） 3=12， 故答案为 12 【点评】 此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定 23如图，顶点 M 在 y 轴上的抛物线与直线 y=x+1 相交于 A、 B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 2，连结 （ 1）求 抛物线的函数关系式； （ 2）判断 形状，并说明理由； 第 24 页（共 29 页） （ 3）把抛物线与直线 y=x 的交点称为抛物线的不动点若将（ 1）中抛物线平移，使其顶点为（ m，2m），当 m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点 【考点】 二次函数综合题 【专题】 压轴题 【分析】 （ 1）由条件可分别求得 A、 B 的坐标，设出抛物线解析式，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （ 2）结合（ 1）中 A、 B、 C 的坐标，根据勾股定理可分别求得 得到 判定 直角三角形； （ 3）由条件可写出平移后的抛物线的解析式，联立 y=x，可得到关于 x 的一元二次方程，根据根的判别式可求得 m 的范围 【解答】 解：（ 1） A 点为直线 y=x+1 与 x 轴的交点， A（ 1， 0）， 又 B 点横坐标为 2，代入 y=x+1 可求得 y=3， B（ 2， 3）， 抛物线顶点在 y 轴上， 可设抛物线解析式为 y=c， 把 A、 B 两点坐标代入可得 ，解得 ， 抛物线解析式 为 y=1； （ 2） 直角三角形理由如： 由（ 1）抛物线解析式为 y=1 可知 M 点坐标为（ 0， 1）， ， = =3 ， =2 ， +18=20= 直角三角形； 第 25 页（共 29 页） （ 3）当抛物线 y=1 平移后顶点坐标为（ m， 2m）时，其解析式为 y=（ x m） 2+2m，即 y=2mx+m， 联立 y=x，可得 ，消去 y 整理可得 2m+1） x+m=0， 平移后的抛物线总有不动点， 方程 2m+1） x+m=0 总有实数根， 0，即（ 2m+1） 2 4（ m） 0， 解得 m ， 即当 m 时，平移后的抛物线总有不动点 【点评】 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理及其逆定理、一元二次方程等知识点在（ 1）中确定出 A、 B 两点的坐标是解题的关键，在（ 2）中分别求得 长是解题的关键，在（ 3）中确