（课程标准卷地区专用）2013高考数学二轮复习 专题限时集训（十）第10讲 数列求和及数列的简单应用配套作业 文（解析版）

1 专题限时集训专题限时集训 十十 第第 1010 讲讲 数列求和及数列的简单应用数列求和及数列的简单应用 时间 45 分钟 1 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若a2 a4是方程x2 x 2 0 的两个根 则S5的 值是 A B 5 C D 5 5 2 5 2 2 如果等比数列 an 中 a3 a4 a5 a6 a7 4 那么a5 2 A 2 B 2 C 2 D 2 3 已知等差数列 an 的前n项和为Sn 且满足S15 25 则 tana8的值是 A B 33 C D 3 3 3 4 已知数列 an 满足a1 且对任意的正整数m n 都有am n am an 若数列 an 2 3 的前n项和为Sn 则Sn等于 A 2 n 1 B 2 n 2 3 2 3 C 2 D 2 2n 3n 1 2n 1 3n 5 已知n是正整数 数列 an 的前n项和为Sn a1 1 Sn是nan与an的等差中项 则 an等于 A n2 n B n n 1 2 C n D n 1 6 设f x 是定义在 R R 上的不恒为零的函数 且对任意的实数x y R R 都有f x f y 2 f x y 若a1 an f n n N N 则数列 an 的前n项和Sn的取值范围为 1 2 A B 1 2 2 1 2 2 C D 1 2 1 1 2 1 7 已知 an 为等差数列 a1 a3 a5 105 a2 a4 a6 99 以Sn表示 an 的前n项和 则使Sn达到最大值的n是 A 18 B 19 C 20 D 21 8 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若M N P三点共线 O为坐标原点 且 a15 a6 直线MP不过点O 则S20等于 ON OM OP A 10 B 15 C 20 D 40 9 已知数列 an 是等差数列 若a9 3a11 0 a10 a110 时 n A 20 B 17 C 19 D 21 10 已知等比数列 an 中 a1 3 a4 81 若数列 bn 满足bn log3an 则数列 的前n项和Sn 1 bnbn 1 11 定义一个 等积数列 在一个数列中 如果每一项与它后一项的积都是同一个常 数 那么这个数列叫做 等积数列 这个常数叫做这个数列的公积 已知数列 an 是等积数 列 且a1 2 公积为 5 则这个数列的前n项和Sn的计算公式为 12 设Sn为数列 an 的前n项和 把称为数列 an 的 优化和 现有一 S1 S2 Sn n 个共有 2 012 项的数列 a1 a2 a3 a2 012 若其 优化和 为 2 013 则有 2 013 项的 数列 2 a1 a2 a3 a2 012的 优化和 为 13 将函数f x sinx sin x 2 sin x 3 在区间 0 内的全部极值 1 4 1 4 1 2 点按从小到大的顺序排成数列 an n N N 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn 2nan 数列 bn 的前n项和为Tn 求Tn的表达式 3 14 已知数列 an 有a1 a a2 p 常数p 0 对任意的正整数 n Sn a1 a2 an 并有Sn满足Sn n an a1 2 1 求a的值并证明数列 an 为等差数列 2 令pn 是否存在正整数M 使不等式p1 p2 pn 2n M恒成立 Sn 2 Sn 1 Sn 1 Sn 2 若存在 求出M的最小值 若不存在 说明理由 4 15 已知数列 an 的前n项和为Sn 点An n N N 总在直线y x 上 Sn n 1 2 3 2 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足bn n N N 试问数列 bn 中是否存在最大项 如果存在 请 n 1 an 求出 如果不存在 请说明理由 5 专题限时集训 十 基础演练 1 A 解析 依题意 由根与系数的关系得a2 a4 1 所以S5 5 a1 a5 2 故选 A 5 a2 a4 2 5 2 2 B 解析 依据等比数列通项公式的性质 得a3 a7 a4 a6 a 所以a 2 求 2 55 5 5 2 得a5 故选 B 2 3 B 解析 依题意得S15 15a8 25 所以a8 于是 15 a1 a15 2 5 3 tana8 tan 故选 B 5 33 4 D 解析 令m 1 得an 1 a1 an 即 a1 可知数列 an 是首项为 an 1 an 2 3 a1 公比为q 的等比数列 于是Sn 2 2 故选 D 2 3 2 3 2 3 1 2 3n 1 2 3 1 2 3n 2n 1 3n 提升训练 5 C 解析 依题意得 2Sn nan an n 1 an 当n 2 时 2Sn 1 nan 1 两式相减 得 2an n 1 an nan 1 整理得 所以 an an 1 n n 1 an a1 1 n 故选 C an an 1 an 1 an 2 a2 a1 n n 1 n 1 n 2 2 1 6 C 解析 依题意得f n 1 f n f 1 即an 1 an a1 an 所以数列 an 是 1 2 以 为首项 为公比的等比数列 所以Sn 1 所以Sn 故选 C 1 2 1 2 1 21 1 2n 1 1 2 1 2n 1 2 1 7 C 解析 设等差数列 an 公差为d 则有 a2 a1 a4 a3 a6 a5 3d 99 105 则d 2 易得a1 39 an 41 2n 令an 0 得n 20 5 即在数列 an 中 前 20 项均为正值 自第 21 项起以后各项均为负 因此当n 20 时 Sn取得最大值 6 8 A 解析 依题意得a15 a6 1 由等差数列性质知a15 a6 a1 a20 所以S20 10 a15 a6 10 故选 A 20 a1 a20 2 9 C 解析 由a9 3a11 0 得 2a10 2a11 0 即a10 a11 0 又a10 a110 a110 S20 10 a10 a11 0 故 19 a1 a19 2 20 a1 a20 2 选 C 10 解析 设等比数列 an 的公比为q 则 q3 27 解得q 3 所以 n n 1 a4 a1 an a1qn 1 3 3n 1 3n 由此得bn log3an n 于是 则数 1 bnbn 1 1 n n 1 1 n 1 n 1 列的前n项和Sn 1 1 1 bnbn 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n 1 1 n 1 n n 1 11 Sn Error 解析 依题意 这个数列为 2 2 2 若n是偶数 则 5 2 5 2 5 2 Sn 2 若n是奇数 则Sn 2 故Sn Error n 2 n 2 5 2 9n 4 n 1 2 n 1 2 5 2 9n 1 4 12 2 014 解析 依题意得 2 013 所以S1 S2 S2 012 2 S1 S2 S2 012 2 012 012 2 013 数列 2 a1 a2 a3 a2 012相当于在数列a1 a2 a3 a2 012前加一项 2 所以其 优化和 为 2 S1 2 S2 2 S2 012 2 2 013 2 014 2 012 2 013 2 2 013 2 013 13 解 1 f x sinx sin x 2 sin x 3 sinx 其极值点为 1 4 1 4 1 2 1 4 x k k Z Z 2 它在 0 内的全部极值点构成以为首项 为公差的等差数列 故 2 an n 1 n 2 2 2 bn 2nan 2n 1 2n 2 Tn 1 2 3 22 2n 3 2n 1 2n 1 2n 2 7 则 2Tn 1 22 3 23 2n 3 2n 2n 1 2n 1 2 相减 得 Tn 1 2 2 22 2 23 2 2n 2n 1 2n 1 2 Tn 2n 3 2n 3 14 解 1 由已知 得S1 a1 a 所以a 0 1 a a 2 由a1 0 得Sn 则Sn 1 nan 2 n 1 an 1 2 2 Sn 1 Sn n 1 an 1 nan 即 2an 1 n 1 an 1 nan 于是有 n 1 an 1 nan 并且nan 2 n 1 an 1 nan 2 n 1 an 1 n 1 an 1 nan 即n an 2 an 1 n an 1 an 则有an 2 an 1 an 1 an an 为等差数列 2 由 1 得Sn n n 1 p 2 pn 2 n 2 n 1 p 2 n 1 np 2 n 1 np 2 n 2 n 1 p 2 2 n 2 n 2 p1 p2 p3 pn 2n 2 2 2 2n 2 1 2 1 2 3 2 2 2 4 2 n 2 n 2 2 n 1 2 n 2 由n是整数可得p1 p2 p3 pn 2n 3 故存在最小的正整数M 3 使不等式p1 p2 p3 pn 2n M恒成立 15 解 1 由点An n N N 在直线y x 上 Sn n 1 2 3 2 故有 n 即Sn n2 n Sn n 1 2 3 2 1 2 3 2 当n 2 时 Sn 1 n 1 2 n 1 1 2 3 2 所以an Sn Sn 1 n2 n n 1 2 n 1 n 1 n 2 1 2 3 2 1 2 3 2 当n 1 时 a1 S1 2 满足上式 故数列 an 的通项公式为an n 1 2 由 1 an n 1 可知bn n 1 n 1 8 b1 b4 2 6 23 6 3