高中数学 导数在实际生活中的应用导学案 苏教版选修2-2

1 导数在实际生活中的应用导数在实际生活中的应用 NO 10NO 10 学习目标 学习目标 1 通过生活中优化问题的学习 体会导数在解决实际问题中的作用 促进学生全面认识 数学的科学价值 应用价值和文化价值 2 通过实际问题的研究 促进学生分析问题 解决问题以及数学建模能力的提高 一 知识扫描 一 知识扫描 1 生活中的优化问题常见类型 费用最少省问题 利润最大问题 面积 体积最大问题 2 导数在实际生活中的应用主要是解决有关最大 小 值问题 一般应先建立好目标函数 后 把问题转化为上一节研究的内容 二 例题选讲 二 例题选讲 例 1 在边长为 60cm 的正方形铁皮的四角切去边长相等的小正方形 再把它的边沿虚线 折起 如图 做成一个无盖的方底铁皮箱 当箱底边长为多少时 箱子容积最大 最大容积是多少 例 2 某种圆柱形饮料罐的容积一定 如何确定它的高与底半径 才能使它的用料最省 例 3 在如图所示的电路中 已知电源的内阻为 r 电动势为 E 当外电阻 R 多大时 才能 使电动率最大 最大电功率是多少 x 60c m 2 例 4 强度分别为 a b 的两个光源 A B 间的距离为 d 试问 在连结两光源的线段 AB 上 何处照度最小 试就 a 8 b 1 d 3 时回答上述问题 照度与光的强度成正比 与光源距离 的平方成反比 例 5 在经济学中 生产单位产品的成本称为成本函数 记为 出售单位产品的x C xx 收益称为收益函数 记为 称为利润函数 记为 R x R xC x P x 1 如果 那么生产多少单位产品时 边际成本 632 100 00351000C xxxx 最低 C x 2 如果 产品的单价 那么怎样定价可使利润最大 5010000C xx 1000 01px 三 课内练习 三 课内练习 1 要做一个圆锥形漏斗 其母线长为 20cm 要使其体积最大 则其高为 2 用边长为 48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时 在铁皮的四角各截去一个面积相等 的小正方形 然后把四边折起 就能焊成铁盒 所做的铁盒容积最大时 在四角截去的正 方形的边长为 3 在半径为的半圆内作一个内接梯形 使其底为直径 其他三边为圆的弦 则梯形面积r 最大时 其上底长为 4 把长 60cm 的铁丝围成矩形 长 宽各为多少时矩形的面积最大 3 归纳反思归纳反思 1 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤是 1 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之 间的函数关系 yf x 2 求函数的导数 解方程 fx 0fx 3 比较函数在区间端点和使的点的数值的大小 得到最大 小 值 0fx 2 解决生活中的优化问题应当注意的问题 1 在求实际问题的最大 小 值时 一定要考虑实际问题的意义 不符合实际意义的 值应舍去 2 在实际问题中 有时会遇到函数在区间内只有一个点的情形 如果函数 0fx 在这点有极大 小 值 那么不与端点比较 也可以知道这就是最大 小 值 3 在解决实际优化问题中 不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示 还 要确定出函数关系中自变量的定义区间 四 巩固提高 四 巩固提高 1 内接于半径为的球且体积最大的圆柱体的高为 R 2 有一长为 16 米的篱笆 要围成一个矩形场地 则此矩形场地的最大面积为 3 以长为 10 的线段为直径作半圆 则它的内接矩形的面积的最大值为 AB 3 若一球的半径为 作内接于球的圆柱 则其侧面积最大为 r 5 做一个无盖的圆柱形水桶 若要使其体积是 且用料最省 则圆柱的底面半径为27 6 在半径为的圆内 作内接等腰三角形 当底边上高为 时它的面积最大 R 7 把长 100cm 的铁丝分成两段 各围成正方形 怎样分法 能使两个正方形面积之和最小 8 做一个容积为的方底无盖水箱 它的高为多少时材料最省 3 256m 4 9 有一隧道是既是交通拥挤地段 又是事故多发地段 为了保证安全 交通部门规定 隧 道内的车距正比于车速的平方与自身长的积 且车距不得小于半个车 d m v km h l m 身长 而当车速为时 车距为 1 44 个车身长 在交通繁忙时 应规定怎样的车60 km h 速 可以使隧道的车流量最大 10 某分公司经销某种品牌产品 每件产品的成本为 3 元 并且每件产品需向总公司交 a 元 3 a 5 的管理费 预计当每件产品的售价为 x 元 9 x 11 时