高中数学 1．2应用举例教案教案（3） 新人教A版必修5

用心 爱心 专心1 课题课题 1 1 2 2 解三角形应用举例解三角形应用举例 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题 掌握三角形 的面积公式的简单推导和应用 过程与方法 过程与方法 本节课补充了三角形新的面积公式 巧妙设疑 引导学生证明 同时总结出该公式的特 点 循序渐进地具体运用于相关的题型 另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用 教师 要放手让学生摸索 使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点 能不拘一格 一题 多解 只要学生自行掌握了两定理的特点 就能很快开阔思维 有利地进一步突破难点 情感态度与价值观 情感态度与价值观 让学生进一步巩固所学的知识 加深对所学定理的理解 提高创新能力 进一步 培养学生研究和发现能力 让学生在探究中体验愉悦的成功体验 教学重点教学重点 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 教学难点教学难点 利用正弦定理 余弦定理来求证简单的证明题 教学过程教学过程 课题导入课题导入 创设情境创设情境 师 以前我们就已经接触过了三角形的面积公式 今天我们来学习它的另一个表达公式 在 ABC 中 边 BC CA AB 上的高分别记为 ha hb hc 那么它们如何用已知边和角表示 生 ha bsinC csinB hb csinA asinC hc asinB bsinaA 师 根据以前学过的三角形面积公式 S 2 1 ah 应用以上求出的高的公式如 ha bsinC 代入 可以推导 出下面的三角形面积公式 S 2 1 absinC 大家能推出其它的几个公式吗 生 同理可得 S 2 1 bcsinA S 2 1 acsinB 师 除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外 知道哪些条件也可求出三角形的面积呢 生 如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解 讲授新课讲授新课 范例讲解范例讲解 例例 1 1 在 ABC 中 根据下列条件 求三角形的面积 S 精确到 0 1cm 2 1 已知 a 14 8cm c 23 5cm B 148 5 2 已知 B 62 7 C 65 8 b 3 16cm 3 已知三边的长分别为 a 41 4cm b 27 3cm c 38 7cm 分析 这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题 与解三角形问题有密切的关系 我们可以 应用解三角形面积的知识 观察已知什么 尚缺什么 求出需要的元素 就可以求出三角形的面积 用心 爱心 专心2 解 1 应用 S 2 1 acsinB 得 S 2 1 14 8 23 5 sin148 5 90 9 cm 2 2 根据正弦定理 B b sin C c sin c B Cb sin sin S 2 1 bcsinA 2 1 b 2 B AC sin sinsin A 180 B C 180 62 7 65 8 51 5 S 2 1 3 16 2 7 62sin 5 51sin 8 65sin 4 0 cm 2 3 根据余弦定理的推论 得 cosB ca bac 2 222 4 41 7 382 3 27 4 41 7 38 222 0 7697 sinB B 2 cos1 2 7697 0 1 0 6384 应用 S 2 1 acsinB 得 S 2 1 41 4 38 7 0 6384 511 4 cm 2 例例 2 2 如图 在某市进行城市环境建设中 要把一个三角形的区域改造成室内公园 经过测量得到这个三 角形区域的三条边长分别为 68m 88m 127m 这个区域的面积是多少 精确到 0 1cm 2 师 你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗 生 本题可转化为已知三角形的三边 求角的问题 再利用三角形的面积公式求解 由学生解答 老师巡视并对学生解答进行讲评小结 解 设 a 68m b 88m c 127m 根据余弦定理的推论 cosB ca bac 2 222 681272 8868127 222 0 7532 sinB 2 7532 0 10 6578 应用 S 2 1 acsinB S 2 1 68 127 0 6578 2840 38 m 2 用心 爱心 专心3 答 这个区域的面积是 2840 38m 2 例例 3 3 在 ABC 中 求证 1 sin sinsin 2 22 2 22 C BA c ba 2 2 a 2 b 2 c 2 bccosA cacosB abcosC 分析 这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题 观察式子左右两边的特点 联想到用正弦定 理来证明 证明 1 根据正弦定理 可设 A a sin B b sin C c sin k 显然 k 0 所以 左边 Ck BkAk c ba 22 2222 2 22 sin sinsin C BA 2 22 sin sinsin 右边 2 根据余弦定理的推论 右边 2 bc bc acb 2 222 ca ca bac 2 222 ab ab cba 2 222 b 2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 左边 变式练习 1 已知在 ABC 中 B 30 b 6 c 63 求 a 及 ABC 的面积 S 提示 解有关已知两边和其中一边对角的问题 注重分情况讨论解的个数 答案 a 6 S 93 a 12 S 183 变式练习 2 判断满足下列条件的三角形形状 1 acosA bcosB 2 sinC BA BA coscos sinsin 提示 利用正弦定理或余弦定理 化边为角 或 化角为边 1 师 大家尝试分别用两个定理进行证明 生 1 余弦定理 得 a bc acb 2 222 b ca bac 2 222 c 44222 baba 2222 baba 用心 爱心 专心4 22222 bacba 或 根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形 生 2 正弦定理 得 sinAcosA sinBcosB sin2A sin2B 2A 2B A B 根据边的关系易得是等腰三角形 师 根据该同学的做法 得到的只有一种情况 而第一位同学的做法有两种 请大家思考 谁的正确 呢 生 第一位同学的正确 第二位同学遗漏了另一种情况 因为 sin2A sin2B 有可能推出 2A 与 2B 两个 角互补 即 2A 2B 180 A B 90 2 解略 直角三角形 课堂练习课堂练习 课本第 21 页练习第 1 2 题 课时小结课时小