高考数学大一轮复习第八章立体几何8.5直线、平面垂直的判定与性质课件文新人教A版.ppt

8 5直线 平面垂直的判定与性质 2 知识梳理 双基自测 2 3 1 自测点评 1 直线与平面垂直 任意 m n O a 3 知识梳理 双基自测 2 3 1 自测点评 b a b 4 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 1 2 平面与平面垂直 1 平面与平面垂直的定义两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 直二面角 5 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 1 2 判定定理与性质定理 垂线 交线 l 6 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 1 3 常用结论 1 线面平行或垂直的有关结论 若两平行线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面 若一条直线垂直于一个平面 则它垂直于这个平面内的任何一条直线 证明线线垂直的一个重要方法 垂直于同一条直线的两个平面平行 一条直线垂直于两平行平面中的一个 则这一条直线与另一个平面也垂直 两个相交平面同时垂直于第三个平面 它们的交线也垂直于第三个平面 2 证明线面垂直时 易忽视平面内两条线为相交线这一条件 2 7 知识梳理 双基自测 3 4 1 5 自测点评 1 下列结论正确的打 错误的打 1 已知直线a b c 若a b b c 则a c 2 直线l与平面 内的无数条直线都垂直 则l 3 设m n是两条不同的直线 是一个平面 若m n m 则n 4 若两平面垂直 则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 5 若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线 则 答案 8 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 2 如图 O为正方体ABCD A1B1C1D1的底面ABCD的中心 则下列直线中与B1O垂直的是 A A1DB AA1C A1D1D A1C1 答案 9 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 3 教材习题改编P69练习 将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体A BCD 如图2 则在空间四面体A BCD中 AD与BC的位置关系是 图1图2A 相交且垂直B 相交但不垂直C 异面且垂直D 异面但不垂直 答案 10 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 4 教材习题改编P67T2 P为 ABC所在平面外一点 O为P在平面ABC内的射影 1 若P到 ABC三边距离相等 且O在 ABC的内部 则O是 ABC的心 2 若PA BC PB AC 则O是 ABC的心 3 若PA PB PC与底面所成的角相等 则O是 ABC的心 答案 11 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 5 如图 PA O所在平面 AB是 O的直径 C是 O上一点 AE PC AF PB 给出下列结论 AE BC EF PB AF BC AE 平面PBC 其中真命题的序号是 答案 解析 12 知识梳理 双基自测 自测点评 1 在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行 还有可能异面 相交等 2 使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理 不要误解为 如果一条直线垂直于平面内的无数条直线 就垂直于这个平面 3 判断线面关系时最容易漏掉线在面内的情况 13 考点1 考点2 考点3 例1 2016浙江 文18 如图 在三棱台ABC DEF中 平面BCFE 平面ABC ACB 90 BE EF FC 1 BC 2 AC 3 1 求证 BF 平面ACFD 2 求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值 思考证明线面垂直的常用方法有哪些 14 考点1 考点2 考点3 1 证明延长AD BE CF相交于一点K 如图所示 因为平面BCFE 平面ABC 且AC BC 所以AC 平面BCK 因此BF AC 又因为EF BC BE EF FC 1 BC 2 所以 BCK为等边三角形 且F为CK的中点 则BF CK 所以BF 平面ACFD 15 考点1 考点2 考点3 16 考点1 考点2 考点3 解题心得1 证明线面垂直的方法 一是线面垂直的判定定理 二是利用面面垂直的性质定理 三是平行线法 若两条平行线中的一条垂直于这个平面 则另一条也垂直于这个平面 2 解题时 注意线线 线面与面面关系的相互转化 另外 在证明线线垂直时 要注意题中隐含的垂直关系 如等腰三角形底边上的高 中线和顶角的角平分线三线合一 矩形的内角 直径所对的圆周角 菱形的对角线互相垂直 直角三角形 或给出线段长度 经计算满足勾股定理 直角梯形等等 17 考点1 考点2 考点3 对点训练1如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E为棱C1D1的中点 F为棱BC的中点 1 求证 AE DA1 2 在线段AA1上求一点G 使得AE 平面DFG 18 考点1 考点2 考点3 1 证明连接AD1 BC1 由正方体的性质可知 DA1 AD1 DA1 AB 又AB AD1 A DA1 平面ABC1D1 AE 平面ABC1D1 DA1 AE 2 解所求G点即为A1点 证明如下 由 1 可知AE DA1 取CD的中点H 连接AH EH 由DF AH DF EH AH EH H 可得DF 平面AHE AE 平面AHE DF AE 又DF A1D D AE 平面DFA1 即AE 平面DFG 19 考点1 考点2 考点3 例2如图 四边形ABCD为菱形 G为AC与BD的交点 BE 平面ABCD 1 证明 平面AEC 平面BED 2 若 ABC 120 AE EC 三棱锥E ACD的体积为 求该三棱锥的侧面积 思考证明面面垂直的常用方法有哪些 20 考点1 考点2 考点3 1 证明因为四边形ABCD为菱形 所以AC BD 因为BE 平面ABCD 所以AC BE 故AC 平面BED 又AC 平面AEC 所以平面AEC 平面BED 21 考点1 考点2 考点3 22 考点1 考点2 考点3 解题心得1 两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形 2 由平面和平面垂直的判定定理可知 要证明平面与平面垂直 可转化为从现有直线中寻找平面的垂线 即证明线面垂直 3 平面和平面垂直的判定定理的两个条件 l l 缺一不可 23 考点1 考点2 考点3 对点训练2如图 直三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为2的正三角形 E F分别是BC CC1的中点 证明 平面AEF 平面B1BCC1 24 考点1 考点2 考点3 证明如图 因为三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱 所以AE BB1 又E是正三角形ABC的边BC的中点 所以AE BC 因此 AE 平面B1BCC1 而AE 平面AEF 所以 平面AEF 平面B1BCC1 25 考点1 考点2 考点3 考向一平行与垂直关系的证明例3 2016江苏 16 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 D E分别为AB BC的中点 点F在侧棱B1B上 且B1D A1F A1C1 A1B1 求证 1 直线DE 平面A1C1F 2 平面B1DE 平面A1C1F 思考处理平行与垂直关系的综合问题的主要数学思想是什么 26 考点1 考点2 考点3 证明 1 在直三棱柱ABC A1B1C1中 A1C1 AC 在 ABC中 因为D E分别为AB BC的中点 所以DE AC 于是DE A1C1 又因为DE 平面A1C1F A1C1 平面A1C1F 所以直线DE 平面A1C1F 27 考点1 考点2 考点3 2 在直三棱柱ABC A1B1C1中 A1A 平面A1B1C1 因为A1C1 平面A1B1C1 所以A1A A1C1 又因为A1C1 A1B1 A1A 平面ABB1A1 A1B1 平面ABB1A1 A1A A1B1 A1 所以A1C1 平面ABB1A1 因为B1D 平面ABB1A1 所以A1C1 B1D 又因为B1D A1F A1C1 平面A1C1F A1F 平面A1C1F A1C1 A1F A1 所以B1D 平面A1C1F 因为直线B1D 平面B1DE 所以平面B1DE 平面A1C1F 28 考点1 考点2 考点3 考向二探索性问题中的平行与垂直关系例4如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是菱形 DAB 45 PD 平面ABCD PD AD 1 点E为AB上一点 且点F为PD中点 1 若k 求证 直线AF 平面PEC 2 是否存在一个常数k 使得平面PED 平面PAB 若存在 求出k的值 若不存在 请说明理由 思考探索性问题的一般处理方法是什么 29 考点1 考点2 考点3 30 考点1 考点2 考点3 31 考点1 考点2 考点3 考向三折叠问题中的平行与垂直关系例5 2016全国甲卷 文19 如图 菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O 点E F分别在AD CD上 AE CF EF交BD于点H 将 DEF沿EF折到 D EF的位置 1 证明 AC HD 思考折叠问题的处理关键是什么 32 考点1 考点2 考点3 33 考点1 考点2 考点3 34 考点1 考点2 考点3 解题心得平行与垂直的综合应用问题的主要数学思想和处理策略 1 处理平行与垂直的综合问题的主要数学思想是转化 要熟练掌握线线 线面 面面之间的平行与垂直的转化 2 探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明 探索点的存在问题 点多为中点或三等分点中的某一个 也可以根据相似知识找点 3 折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系 尤其是隐含着的垂直关系 35 考点1 考点2 考点3 对点训练3如图1 在Rt ABC中 ABC 90 D为AC的中点 AE BD于点E 不同于点D 延长AE交BC于点F 将 ABD沿BD折起 得到三棱锥A1 BCD 如图2所示 图1图2 1 若M是FC的中点 求证 直线DM 平面A1EF 2 求证 BD A1F 36 考点1 考点2 考点3 证明 1 因为D M分别为AC FC的中点 所以DM EF 又EF 平面A1EF DM 平面A1EF 所以DM 平面A1EF 2 因为A1E BD EF BD且A1E EF E 所以BD 平面A1EF 又A1F 平面A1EF 所以BD A1F 37 考点1 考点2 考点3 1 转化思想 垂直关系的转化2 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线 若这样的直线图中不存在 则可通过作辅助线来解决 如有平面垂直时 一般要用性质定理 在一个平面内作交线的垂线 使之转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 故熟练掌握 线线垂直 面面垂直 间的转化条件是解决这类问题的关键 38 考点1 考点2 考点3 1 在解决直线与平面垂直的问题过程中 要注意直线与平面垂直的定义 判定定理和性质定理的联合交替使用 即注意线线垂直和线面垂直的互相转化 2 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据 我们要作一个平面的一条垂线 通常是先找这个平面的一个垂面 在这个垂面中 作交线的垂线即可 39 审题答题指导 立体几何 类题目的审题技巧与解题规范在高考数学试题中 问题的条件以图形的形式或将条件隐含在图形之中给出的题目较多 因此在审题时 要善于观察图形 洞悉图形所隐含的特殊的关系 数值的特点 变化的趋势 抓住图形的特征 利用图形所提供信息来解决问题 40 典例 12分 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F P Q M N分别是棱AB AD DD1 BB1 A1B1 A1D1的中点 求证 1 直线BC1 平面EFPQ 2 直线AC1 平面PQMN 41 42 解题步骤第一步 由图形特征 正方体 中位线 推证AD1 BC1 FP AD1 从而证FP BC1 可得结论 第二步 利用图形特征AC BD及CC1 平面ABCD推证BD 平面ACC1 从而得AC1 BD 第三步 利用平行性证明MN AC1 PN AC1 可证AC1 平面PQMN 证明 1 连接AD1 由ABCD A1B1C1D1是正方体 知AD1 BC1 因为F P分别是AD DD1的中点 所以FP AD1 从而BC1 FP 3分 而FP 平面EFPQ 且BC1 平面EFPQ 故直线BC1 平面EF