高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.2空间几何体的表面积与体积课件.ppt

8 2空间几何体的表面积与体积 第八章立体几何与空间向量 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 多面体的表面积 侧面积因为多面体的各个面都是平面 所以多面体的侧面积就是 表面积是侧面积与底面面积之和 知识梳理 所有侧面的 面积之和 2 圆柱 圆锥 圆台的侧面展开图及侧面积公式 2 rl rl r1 r2 l 3 柱 锥 台 球的表面积和体积 Sh 4 R2 1 与体积有关的几个结论 1 一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差 2 底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等 知识拓展 2 几个与球有关的切 接常用结论 1 正方体的棱长为a 球的半径为R 1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 多面体的表面积等于各个面的面积之和 2 锥体的体积等于底面积与高之积 3 球的体积之比等于半径比的平方 4 简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差 5 长方体既有外接球又有内切球 6 圆柱的一个底面积为S 侧面展开图是一个正方形 那么这个圆柱的侧面积是2 S 题组一思考辨析 基础自测 1 2 4 5 6 3 2 P27T1 已知圆锥的表面积等于12 cm2 其侧面展开图是一个半圆 则底面圆的半径为A 1cmB 2cmC 3cmD cm 题组二教材改编 1 2 4 5 6 解析 3 答案 解析S表 r2 rl r2 r 2r 3 r2 12 r2 4 r 2 1 2 4 5 6 答案 3 P28A组T3 如图 将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥 则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为 3 1 47 所以V1 V2 1 47 解析设长方体的相邻三条棱长分别为a b c 解析 题组三易错自纠4 2017 西安一中月考 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为A 3 B 4 C 2 4D 3 4 解析 1 2 4 5 6 答案 3 解析由几何体的三视图可知 该几何体为半圆柱 直观图如图所示 表面积为2 2 2 12 1 2 4 3 5 2016 全国 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上 则该球的表面积为A 12 B C 8 D 4 1 2 4 5 6 答案 3 解析 6 2018 大连调研 如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图 则剩余部分与挖去部分的体积之比为 解析 1 2 4 5 6 答案 3 1 1 解析由三视图可知半球的半径为2 圆锥底面圆的半径为2 高为2 故剩余部分与挖去部分的体积之比为1 1 题型分类深度剖析 1 2016 全国 如图 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径 若该几何体的体积是 则它的表面积是A 17 B 18 C 20 D 28 题型一求空间几何体的表面积 自主演练 解析 答案 解析由题意知 该几何体的直观图如图所示 2 2017 黑龙江哈师大附中一模 已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 答案 解析 解析由三视图可知几何体为三棱台 作出直观图如图所示 则CC 平面ABC 上 下底均为等腰直角三角形 AC BC AC BC 1 A C B C C C 2 过A作AD A C 于点D 过D作DE A B 空间几何体表面积的求法 1 以三视图为载体的几何体的表面积问题 关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量 2 多面体的表面积是各个面的面积之和 组合体的表面积注意衔接部分的处理 3 旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用 命题点1以三视图为背景的几何体的体积典例 2017 浙江 某几何体的三视图如图所示 单位 cm 则该几何体的体积 单位 cm3 是 解析 题型二求空间几何体的体积 多维探究 答案 命题点2求简单几何体的体积典例 2018 广州调研 已知E F分别是棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1的棱AA1 CC1的中点 则四棱锥C1 B1EDF的体积为 解析 答案 解析方法一如图所示 连接A1C1 B1D1交于点O1 连接B1D EF 过点O1作O1H B1D于点H 因为EF A1C1 且A1C1 平面B1EDF EF 平面B1EDF 所以A1C1 平面B1EDF 所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离 易知平面B1D1D 平面B1EDF 又平面B1D1D 平面B1EDF B1D 所以O1H 平面B1EDF 所以O1H等于四棱锥C1 B1EDF的高 因为 B1O1H B1DD1 方法二连接EF B1D 设B1到平面C1EF的距离为h1 D到平面C1EF的距离为h2 由题意得 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 1 若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体 锥体或台体 则可直接利用公式进行求解 2 若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出 则常用转换法 分割法 补形法等方法进行求解 3 若以三视图的形式给出几何体 则应先根据三视图得到几何体的直观图 然后根据条件求解 解析该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成 直观图如图所示 跟踪训练 1 2017 新乡二模 已知一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 答案 解析 2 如图 在多面体ABCDEF中 已知ABCD是边长为1的正方形 且 ADE BCF均为正三角形 EF AB EF 2 则该多面体的体积为 解析 答案 多面体的体积V V三棱锥E ADG V三棱锥F BCH V三棱柱AGD BHC 2V三棱锥E ADG V三棱柱AGD BHC 解析如图 分别过点A B作EF的垂线 垂足分别为G H 连接DG CH 题型三与球有关的切 接问题 师生共研 典例 2016 全国 在封闭的直三棱柱ABC A1B1C1内有一个体积为V的球 若AB BC AB 6 BC 8 AA1 3 则V的最大值是 解析由题意知 底面三角形的内切圆直径为4 三棱柱的高为3 所以球的最大直径为3 V的最大值为 解析 答案 解将直三棱柱补形为长方体ABEC A1B1E1C1 则球O是长方体ABEC A1B1E1C1的外接球 体对角线BC1的长为球O的直径 1 若将本例中的条件变为 直三棱柱ABC A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上 若AB 3 AC 4 AB AC AA1 12 求球O的表面积 解答 故S球 4 R2 169 解如图 设球心为O 半径为r 2 若将本例中的条件变为 正四棱锥的顶点都在球O的球面上 若该棱锥的高为4 底面边长为2 求该球的体积 解答 空间几何体与球接 切问题的求解方法 1 求解球与棱柱 棱锥的接 切问题时 一般过球心及接 切点作截面 把空间问题转化为平面图形与圆的接 切问题 再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解 2 若球面上四点P A B C构成的三条线段PA PB PC两两互相垂直 且PA a PB b PC c 一般把有关元素 补形 成为一个球内接长方体 利用4R2 a2 b2 c2求解 跟踪训练 2018 深圳调研 如图所示 在平面四边形ABCD中 AB AD CD 1 BD BD CD 将其沿对角线BD折成四面体ABCD 使平面ABD 平面BCD 若四面体ABCD的顶点在同一个球面上 则该球的体积为 解析 答案 解析如图 取BD的中点为E BC的中点为O 连接AE OD EO AO 因为AB AD 所以AE BD 由于平面ABD 平面BCD 所以AE 平面BCD 三视图 基本的 和球联系的 高频小考点 三视图是高考重点考查的一个知识点 主要考查由几何体的三视图还原几何体的形状 进而求解表面积 体积等知识 所涉及的几何体既包括柱 锥 台 球等简单几何体 也包括一些组合体 处理此类题目的关键是通过三视图准确还原几何体 考点分析 典例1已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积等于 解析 答案 解析由题意知该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成的组合体 如图所示 其中直三棱柱的高为8 4 4 故V直三棱柱 8 4 32 四棱锥的底面为边长为4的正方形 高为4 典例2某组合体的三视图如图所示 则该组合体的体积为 解析 答案 解析如图所示 该组合体由一个四棱锥和四分之一个球组成 球的半径为1 四棱锥的高为球的半径 四棱锥的底面为等腰梯形 课时作业 1 2017 太原一模 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由几何体的三视图知 该几何体为一个组合体 其中下部是底面直径为2 高为2的圆柱 上部是底面直径为2 高为1的圆锥的四分之一 解析 答案 2 2017 安徽安师大附中 马鞍山二中测试 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为A 12B 18C 24D 30 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由三视图知 该几何体是一个长方体的一半再截去一个三棱锥后得到的 如图所示 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析设球O的半径为R 以球心O为顶点的三棱锥的三条侧棱两两垂直且都等于球的半径R 解析 R 2 S球的表面积 4 22 16 故选B 4 2017 昆明质检 如图所示 网格纸上小正方形的边长为1 粗实线画出的是某几何体的三视图 则该几何体的体积为A 24 B 30 C 42 D 60 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 2018 九江一模 如图 网格纸上小正方形的边长为1 粗线是一个棱锥的三视图 则此棱锥的表面积为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析直观图是四棱锥P ABCD 如图所示 6 2017 广州市高中毕业班综合测试 九章算术 中 将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马 将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑 若三棱锥P ABC为鳖臑 PA 平面ABC PA AB 2 AC 4 三棱锥P ABC的四个顶点都在球O的球面上 则球O的表面积为A 8 B 12 C 20 D 24 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析方法一将三棱锥P ABC放入长方体中 如图 1 三棱锥P ABC的外接球就是长方体的外接球 因为PA AB 2 AC 4 ABC为直角三角形 则球O的表面积为4 R2 20 故选C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二利用鳖臑的特点求解 如图 2 因为四个面都是直角三角形 所以PC的中点到每一个顶点的距离都相等 所以球O的表面积为4 R2 20 故选C 7 现有橡皮泥制作的底面半径为5 高为4的圆锥和底面半径为2 高为8的圆柱各一个 若将它们重新制作成总体积与高均保持不变 但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个 则新的底面半径为 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 2017 天津 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上 若这个正方体的表面积为18 则这个球的体积为 解析 解析设正方体棱长为a 则6a2 18 答案 9 2017 南昌一模 如图所示 在直角梯形ABCD中 AD DC AD BC BC 2CD 2AD 2 若将该直角梯形绕BC边旋转一周 则所得的几何体的表面积为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 解析根据题意可知 此旋转体的上半部分为圆锥 底面半径为1 高为1 下半部分为圆柱 底面半径为1 高为1 如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则所得几何体的表面积为圆锥的侧面积 圆柱的侧面积以及圆柱的下底面积之和 10 2018 长沙质检 如图所示 一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水 若放入一个半径为r的实心铁球 水面高度恰好升高r 则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 11 如图 四边形ABCD为菱形 G为AC与BD的交点 BE 平面ABCD 1 证明 平面AEC 平面BED 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明 证明因为四边形ABCD为菱形 所以AC BD 因为BE 平面ABCD AC 平面ABCD 所以BE AC 而BD BE B BD BE 平面BED 所以AC 平面BED 又AC 平面AEC 所以平面AEC 平面BED 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解设AB x 在菱形ABCD中 由 ABC 120 由BE 平面ABCD 知 EBG为直角三角形 由已知得 三棱锥E ACD的体积 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 2018 贵阳质检 如图 ABC内接于圆O AB是圆O的直径 四边形DCBE为平行四边形 DC 平面ABC AB 2 EB 1 求证 DE 平面ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明 证明 四边形DCBE为平行四边形 CD BE BC DE DC 平面ABC BC 平面ABC DC BC AB是圆O的直径 BC AC 且DC AC C DC AC 平面ADC BC 平面ADC DE BC DE 平面ADC 2 设AC x V x 表示三棱锥B ACE的体积 求函数V x 的解析式及最大值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 解 DC 平面ABC BE 平面ABC 13 2017 青岛模拟 如图 四棱锥P ABCD的底面ABCD为平行四边形 NB 2PN 则三棱锥N PAC与三棱锥D PAC的体积比为A 1 2B 1 8C 1 6D 1 3 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析