2012年高考数学解析分类汇编（6）---平面向量 理

用心 爱心 专心1 20122012 年高考真题理科数学解析汇编 立体几何年高考真题理科数学解析汇编 立体几何 一 选择题 1 2012 年高考 新课标理 已知三棱锥SABC 的所有顶点都在球O的求面上 ABC 是边长为1的正三角形 SC为球O的直径 且2SC 则此棱锥的体积为 A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 2 2012 年高考 新课标理 如图 网格纸上小正方形的边长为1 粗线 画出的是某几何体的三视图 则此几何体的体积为 A 6B 9C D 3 2012 年高考 浙江理 已知矩形ABCD AB 1 BC 2 将 ABD沿 矩形的对角线BD所在的直线进行翻着 在翻着过程中 A 存在某个位置 使得直线AC与直线BD垂直 B 存在某个位置 使得直线AB与直线CD垂直 C 存在某个位置 使得直线AD与直线BC垂直 D 对任意位置 三直线 AC与BD AB与CD AD与BC 均不垂直 4 2012 年高考 重庆理 设四面体的六条棱的长分别为 1 1 1 1 2和a 且长为 a的棱与长为2的棱异面 则a的取值范围是 A 0 2 B 0 3 C 1 2 D 1 3 5 2012 年高考 四川理 如图 半径为R的半球O的底面 圆O在平面 内 过点O作平面 的垂线交半球面于点A 过圆O的直径CD作平面 成45 角的平面与半球面相交 所 得交线上到平面 的距离最大的点为B 该交线上的一点 P满足60BOP 则A P两点间的球面距离为 A 2 arccos 4 RB 4 R C 3 arccos 3 RD 3 R 6 2012 年高考 四川理 下列命题正确的是 A 若两条直线和同一个平面所成的角相等 则这两条直线平行 B 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 则这两个平面平行 C 若一条直线平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面的交线平行 D 若两个平面都垂直于第三个平面 则这两个平面平行 7 2012 年高考 上海春 已知空间三条直线 lmn 若l与m异面 且l与n异 C A O D B P 用心 爱心 专心2 面 则 答 A m与n异面 B m与n相交 C m与n平行 D m与n异面 相交 平行均有可能 8 2012 年高考 陕西理 如图 在空间直角坐标系中有直三棱柱 111 ABCABC 1 2CACCCB 则直线 1 BC与直线 1 AB夹角的余弦值 为 A 5 5 B 5 3 C 2 5 5 D 3 5 9 2012 年高考 江西理 如图 已知正四棱锥 S ABCD 所有棱长都为 1 点 E 是侧棱 SC 上一动点 过点 E 垂直于 SC 的截面将正四棱锥分成上 下两部分 记 SE x 0 x 1 截面下面部分的体积为 V x 则函数 y V x 的图像大致为 10 2012 年高考 湖南理 某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示 则该几何体的 俯视图不可能是 11 2012 年高考 湖北理 我国古代数学名著 九章算术 中 开立圆术 曰 置积 尺数 以十六乘之 九而一 所得开立方除之 即立圆径 开立圆术 相当于给出了已 知球的体积V 求其直径d的一个近似公式 316 9 dV 人们还用过一些类似的近似公 式 根据 3 14159 判断 下列近似公式中最精确的一个是 A 316 9 dV B 3 2dV C 3 300 157 dV D 3 21 11 dV 一 必考题 11 14 题 12 2012 年高考 湖北理 已知某几何体的三视图如图所示 则该几 何体的体积为 A 图图 1 BCD 侧视 图 正视 图 2 4 2 2 俯视 图 用心 爱心 专心3 A 8 3 B 3 C 10 3 D 6 13 2012 年高考 广东理 立体几何 某几何体的三视图如图 1 所示 它的体积为 A 12 B 45 C 57 D 81 14 2012 年高考 福建理 一个几何体的三视图形状都相同 大小均相 等 那么这个几何体不可以是 A 球B 三棱柱C 正方形D 圆柱 15 2012 年高考 大纲理 已知正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 1 2 2 2 ABCCE 为 1 CC的中点 则直线 1 AC 与平面BED的距离为 A 2B 3C 2D 1 16 2012 年高考 北京理 某三棱锥的三视图如图所示 该三棱锥的表面积是 A 286 5 B 306 5 C 56 12 5 D 60 12 5 17 2012 年高考 安徽理 设平面 与平面 相交于直线m 直线a在平面 内 直 线b在平面 内 且bm 则 是 ab 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件D 即不充分 不必要条件 二 填空题 18 2012 年高考 天津理 个几何体的三视图如图所示 单位 m 则该 几何体的体积为 3 m 19 2012 年高考 浙江理 已知某三棱锥的三视图 单位 cm 如 图所示 则该三棱锥的体积等于 cm3 20 2012 年高考 四川理 如图 在正方体 1111 ABCDABC D 中 M N分别是CD 1 CC的中点 则 异面直线 1 AM与DN所成角的大小是 MainMain DocumentDocument Only Only 2012 年高考 上海理 如图 AD与BC 是四面体ABCD中互相垂直的棱 BC 2 若AD 2c 且 AB BD AC CD 2a 其中a c为常数 则四面体ABCD的体积的最大值是 21 2012 年高考 上海理 若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2 的 半圆面 则该圆锥的体积为 3 1 36 3 22 3 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 N M B1 A1 C1 D1 B D C A A B C D 用心 爱心 专心4 22 2012 年高考 山东理 如图 正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为 1 E F分别为 线段 11 AA BC上的点 则三棱锥 1 DEDF 的体积 为 23 2012 年高考 辽宁理 已知正三棱锥P ABC 点 P A B C都在半径为3的求面上 若PA PB PC两 两互相垂直 则球心到截面ABC的距离为 24 2012 年高考 辽宁理 一个几何体的三视图 如图所示 则该几何体的表面积为 25 2012 年高考 江苏 如图 在长方体 1111 ABCDABC D 中 3cmABAD 1 2cmAA 则四棱锥 11 ABB D D 的体积为 cm3 26 2012 年高考 大纲理 三棱柱 111 ABCABC 中 底面边长和侧棱 长都相等 11 60BAACAA 则异面直线 1 AB与 1 BC所成角的余 弦值为 27 2012 年高考 安徽理 某几何体的三视图如图所示 该几何体的表面积是 三 解答题 28 2012 年高考 天津理 如图 在四棱锥 PABCD 中 PA丄平面ABCD AC丄AD AB丄 BC 0 45ABC 2PA AD 1AC 证明PC丄AD 求二面角APCD 的正弦值 设 E 为棱PA上的点 满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 0 30 求 AE 的长 D AB C 1 C 1 D 1 A 1 B D C B A P 用心 爱心 专心5 29 2012 年高考 新课标理 如图 直三棱柱 111 ABCABC 中 1 1 2 ACBCAA D是棱 1 AA的中点 BDDC 1 1 证明 BCDC 1 2 求二面角 11 CBDA 的大小 30 2012 年高考 浙江理 如图 在四棱锥 P ABCD中 底面是边长为2 3的菱形 且 BAD 120 且PA 平面ABCD PA 2 6 M N 分别为PB PD的中点 证明 MN 平面ABCD 过点A作AQ PC 垂足为点Q 求二面角A MN Q的平面角的余弦值 31 2012 年高考 重庆理 本小题满分 12 分 小问 4 分 小问 8 分 如图 在直三棱柱 111 CBAABC 中 AB 4 AC BC 3 D 为 AB 的中点 求点 C 到平面 11 A ABB 的距离 若 11 ABAC 求二面角 11 ACDC 的平面角的余弦值 32 2012 年高考 四川理 如图 在三棱锥PABC 中 90APB 60PAB ABBCCA 平面PAB 平面 用心 爱心 专心6 ABC 求直线PC与平面ABC所成角的大小 求二面角BAPC 的大小 33 2012 年高考 上海理 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是矩形 PA 底面 ABCD E是PC的中点 已知AB 2 AD 22 PA 2 求 1 三角形PCD的面积 2 异面直线BC与AE所成的角的大小 34 2012 年高考 上海春 如图 正四棱柱 1111 ABCDA B C D 的底面边长为1 高 为2 M为线段AB的中点 求 1 三棱锥 1 CMBC 的体积 2 异面直线CD与 1 MC所成角的大小 结果用反三角函数值表示 35 2012 年高考 陕西理 1 如图 证明命题 a是平面 内的一条直线 b是 外 的一条直线 b不垂直于 c是直线b在 上的投影 若ab 则ac 为真 2 写出上述命题的逆命题 并判断其真假 不需要证明 A B C P A B C D P E AB CD A1 B1 C1D1 M 用心 爱心 专心7 36 2012 年高考 山东理 在如图所示的几何体中 四边形ABCD是等腰梯形 AB CD 60 DABFC 平面 ABCD AEBD CBCDCF 求证 BD 平面AED 求二面角FBDC 的余弦值 37 2012 年高考 辽宁理 如图 直三棱柱 ABCA B C 90BAC ABACAA 点M N分别为 A B和 B C的中点 证明 MN 平面 A ACC 若二面角 AMNC 为直二面角 求 的值 38 2012 年高考 江西理 在三棱柱 111 ABCABC 中 已知 1 5 4ABACAABC 在 1 A在底面ABC的投影是线段BC的中点O 用心 爱心 专心8 1 证明在侧棱 1 AA上存在一点E 使得OE 平面 11 BBC C 并求出AE的长 2 求平面 11 ABC与平面 11 BBC C夹角的余弦值 39 2012 年高考 江苏 如图 在直三棱柱 111 ABCABC 中 1111 ABAC DE 分别是 棱 1 BCCC 上的点 点D 不同于点C 且ADDEF 为 11 BC的中点 求证 1 平面ADE 平面 11 BCC B 2 直线 1 AF平面ADE 40 2012 年高考 湖南理 如图 5 在四棱锥 P ABCD 中 PA 平面 ABCD AB 4 BC 3 AD 5 DAB ABC 90 E 是 CD 的中点 证明 CD 平面 PAE 若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等 求四棱锥 P ABCD 的体积 41 2012 年高考 湖北理 如图 1 45ACB 3BC 过动点A作ADBC 垂足D在线段BC上且异 于点B 连接AB 沿AD将 ABD折起 使 90BDC 如图 2 所示 当BD的长为多少时 三棱锥ABCD 的体积最大 当三棱锥ABCD 的体积最大时 设点E M分别为棱BC AC的中点 试在 棱CD上确定一点N 使得EN BM 并求EN与平面BMN所成角的大小 A B C D P E 图图 5 D A BC A C D B 图 2 图 1 M E 用心 爱心 专心9 42 2012 年高考 广东理 如图 5 所示 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD为矩形 PA 平面ABCD 点E在线段PC上 PC 平面BDE 证明 BD 平面PAC 若1PA 2AD 求二面角BPCA 的正切值 43 2012 年高考 福建理 如图 在长方体 1111 ABCDABC D 中1 ABADE 为CD中点 求证 11 B EAD 在棱 1 AA上是否存在一点P 使得 DP平面 1 B AE 若存在 求AP的长 若不存 在 说明理由 若二面角 11 AB EA 的大小为30 求AB的长 44 2012 年高考 大纲理 注意 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥PABCD 中 底面ABCD为菱形 PA 底面ABCD 2 2AC 2 PAE 是PC上的一点 2PEEC 1 证明 PC 平面BED 2 设二面角APBC 为90 求PD与平面PBC所成角的大小 E C BD A P 用心 爱心 专心10 45 2012 年高考 北京理 如图 1 在 Rt ABC 中 C 90 BC 3 AC 6 D E 分别是 AC AB 上的点 且 DE BC DE 2 将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置 使 A1C CD 如图 2 1 求证 A1C 平面 BCDE 2 若 M 是 A1D 的中点 求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小 3 线段 BC 上是否存在点 P 使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直 说明理由 46 2012 年高考 安徽理 平面图形 111 ABB AC C如图 4 所示 其中 11 BBC C是矩形 1 2 4BCBB 2ABAC 1111 5ABAC 现将该平面图形分别沿BC和 11 BC折叠 使ABC 与 111 ABC 所在 平面都 与平面 11 BBC C垂直 再分别连接 111 AA BA CA 得到如图 2 所示的空间图形 对此空间 图形解答 下列问题 用心 爱心 专心11 证明 1 AABC 求 1 AA的长 求二面角 1 ABCA 的余弦值 用心 爱心 专心12 2012 年高考真题理科数学解析汇编 立体几何参考答案 一 选择题 1 解析 选A ABC 的外接圆的半径 3 3 r 点O到面ABC的距离 22 6 3 dRr SC为球O的直径 点S到面ABC的距离为 2 6 2 3 d 此棱锥的体积为 1132 62 2 33436 ABC VSd 另 13 2 36 ABC VSR 排除 B C D 2 解析 选B 该几何体是三棱锥 底面是俯视图 高为3 此几何体的体积为 11 6 3 39 32 V 3 答案 B 解析 最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着 观察在翻着过程 即可 知选项 B 是正确的 4 答案 A 解析 2 22 1 22 22 BEBFBE ABBF 考点定位 本题考查棱锥的结构特征 考查空间相象力 极限思想的运用 是中档题 5 答案 A 解析 以 O 为原点 分别以 OB OC OA 所在直线为 x y z 轴 则 2 2 cos 4 AO PO AOP R A 0 2 3 2 1 2 2 0 2 2 RRPRR 4 2 arccos AOP 4 2 arccos RPA 点评 本题综合性较强 考查知识点较为全面 题设很自然的把向量 立体几何 三角 函数等基础知识结合到了一起 是一道知识点考查较为全面的好题 要做好本题需要有 扎实的数学基本功 6 答案 C 解析 若两条直线和同一平面所成角相等 这两条直线可能平行 也可能为异面直线 也 可能相交 所以 A 错 一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等 则这两 个平面平行 故 B 错 若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行 也可以垂直 故 D 错 故选项 C 正确 点评 本题旨在考查立体几何的线 面位置关系及线面的判定和性质 需要熟练掌握课 用心 爱心 专心13 本基础知识的定义 定理及公式 7 D 8 解析 不妨设 1 22CACCCB 则 11 2 2 1 0 2 1 ABC B 11 11 11 2 02 2 1 15 cos 595 AB C B AB C B AB C B 直线 1 BC与直 线 1 AB夹角为锐角 所以余弦值为 5 5 选 A 9 A 解析 本题综合考查了棱锥的体积公式 线面垂直 同时考查了函数的思想 导数法 解决几何问题等重要的解题方法 定性法 当 1 0 2 x 时 随着x的增大 观察图形可知 V x单调递减 且递减的速度 越来越快 当 1 1 2 x 时 随着x的增大 观察图形可知 V x单调递减 且递减的速度 越来越慢 再观察各选项中的图象 发现只有 A 图象符合 故选 A 点评 对于函数图象的识别问题 若函数 yf x 的图象对应的解析式不好求时 作为选择题 没必要去求解具体的解析式 不但方法繁琐 而且计算复杂 很容易出现某 一步的计算错误而造成前功尽弃 再次 作为选择题也没有太多的时间去给学生解答 因 此 使用定性法 不但求解快速 而且准确节约时间 10 答案 D 解析 本题是组合体的三视图问题 由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知 原 图下面图为圆柱或直四棱柱 上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱 A B C 都 可能是该几何体的俯视图 D 不可能是该几何体的俯视图 因为它的正视图上面应为如 图的矩形 点评 本题主要考查空间几何体的三视图 考查空间想象能力 是近年高考中的热点 题型 11 考点分析 考察球的体积公式以及估算 解析 由 3 3 46 32 dV Vd 设选项中常数为 a b 则 6b a A 中代入得 6 9 3 375 16 B 中代入得 6 1 3 2 C 中代入得 6 157 3 14 300 D 中代和 主得 6 11 3 142857 21 由于 D 中值最接近 的真实值 故选择 D 12 考点分析 本题考察空间几何体的三视图 解析 显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分 并且有正视图知是一 个 1 2 的圆柱体 底面圆的半径为 1 圆柱体的高为 6 则知所求几何体体积为原体积的 一半为3 选 B 13 解析 C 该几何体下部分是半径为 3 高为 5 的圆柱 体积为 2 3545V 上部分 用心 爱心 专心14 是半径为 3 高为 4 的圆锥 体积为 2 1 3412 3 V 所以体积为57 14 答案 D 解析 分别比较 ABC 的三视图不符合条件 D 符合 考点定位 考查空间几何体的三视图与直观图 考查空间想象能力 逻辑推理能力 15 答案 D 命题意图 本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用 以及点到面的距离的求解 体 现了转换与化归的思想的运用 以及线面平行的距离 转化为点到面的距离即可 解析 连结BDAC 交于点O 连结OE 因为EO 是中点 所以 1 ACOE 且 1 2 1 ACOE 所以BDEAC 1 即直线 1 AC 与平面 BED 的距离等于点 C 到平面 BED 的距离 过 C 做OECF 于F 则CF即为所求距离 因为底面边长为 2 高为22 所 以22 AC 2 2 CEOC 2 OE 所以利用等积法得1 CF 选 D 16 答案 B 解析 从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥 本题所求表面积为三棱锥四个面 的面积之和 利用垂直关系和三角形面积公式 可得 10 10 10 6 5SSSS 后右左底 因此该几何体表面积306 5S 故选 B 考点定位 本小题主要考查的是三棱锥的三视图问题 原来考查的是棱锥或棱柱的体 积而今年者的是表面积 因此考查了学生的计算基本功和空间想象能力 17 解析 选A bmbba 如果 am 则ab 与bm 条件相同 二 填空题 18 答案 18 9 命题意图 本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想 象能力 解析 由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体 所以其 体积为 3 43 3 6 1 2 32 V 18 9 3 m 19 答案 1 用心 爱心 专心15 解析 观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角 形 右侧面也是一直角三角形 故体积等于 11 3 1 21 23 20 答案 90 解析 方法一 连接 D1M 易得 DN A1D1 DN D1M 所以 DN 平面 A1MD1 又 A1M 平面 A1MD1 所以 DN A1D1 故夹角为 90 方法二 以 D 为原点 分别以 DA DC DD1为 x y z 轴 建立空间直角坐标系 D xyz 设正方体边长为 2 则 D 0 0 0 N 0 2 1 M 0 1 0 A1 2 0 2 故 2 121 2 0 1 MADN 所以 cos MA DN 1 1 1 MADN MADN 0 故 DN D1M 所以夹角为 90 点评 异面直线夹角问题通常可以采用两种途径 第一 把两条异面直线平移到同一平 面中借助三角形处理 第二 建立空间直角坐标系 利用向量夹角公式解决 21 解析 作BE AD于E 连接CE 则AD 平面BEC 所以CE AD 由题设 B与C都是在以AD为焦距的椭球上 且BE CE都 垂直于焦距AD 所以BE CE 取BC中点F 连接EF 则EF BC EF 2 1 2 2 1 BEEFBCS BEC 四面体ABCD的体积1 2 3 2 3 1 BESADV c BEC 显然 当E在AD中点 即 B是短轴端点时 BE有最大值为b 22 ca 所以1 22 3 2 max caV c 评注 本题把椭圆拓展到空间 对缺少联想思维的考生打击甚大 当然 作为填空押轴 题 区分度还是要的 不过 就抢分而言 胆大 灵活的考生也容易找到突破点 AB BD 同 时AC CD 从而致命一击 逃出生天 22 解析 如图 2 2 2 1 l l 2 又 2 r2 l 2 r 1 所以h 3 故体积 3 32 3 1 hrV 23 解析 因为E点在线段 1 AA上 所以 2 1 11 2 1 1 DED S 又因为F点在线段 CB1上 所以点F到平面 1 DED的距离为 1 即1 h 所以 6 1 1 2 1 3 1 3 1 111 hSVV DEDDEDFEDFD 答案 6 1 24 答案 3 3 解析 因为在正三棱锥P ABC中 PA PB PC两两互相垂直 所以 A D B E C P Or l h P l 2 r 用心 爱心 专心16 可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分 如图所示 此正方体内接于球 正方体 的体对角线为球的直径 球心为正方体对角线的中点 球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥P ABC在面ABC上的 高 已知球的半径为3 所以正方体的棱长为 2 可求得正三棱锥P ABC在面ABC上 的高为 2 3 3 所以球心到截面ABC的距离为 2 33 3 33 点评 本题主要考查组合体的位置关系 抽象概括能力 空间想象能力 运算求解 能力以及转化思想 该题灵活性较强 难度较大 该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手 注 意到条件中的垂直关系 把三棱锥转化为正方体来考虑就容易多了 25 答案 38 解析 由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱 其中长方 体的长 宽 高分别为 4 3 1 圆柱的底面直径为 2 所以该几何体的表面积为长方体 的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积 即为 2 3 44 1 3 1 21 1238 点评 本题主要考查几何体的三视图 柱体的表面积公式 考查空间想象能力 运算 求解能力 属于容易题 本题解决的关键是根据三视图还原出几何体 确定几何体的形状 然 后再根据几何体的形状计算出表面积 26 答案 6 考点 正方形的性质 棱锥的体积 解析 长方体底面ABCD是正方形 ABD中 3 2BD cm BD边上的高是 3 2 2 cm 它也是 11 ABB D D 中 11 BB D D上的高 四棱锥 11 ABB D D 的体积为 13 3 222 6 32 27 答案 6 6 命题意图 本试题考查了斜棱柱中异面直线的角的求解 用空间向量进行求解即可 解析 设该三棱柱的边长为 1 依题意有 1111 ABABAA BCACAAAB 则 22 22 1111 222cos603ABABAAABAB AAAA 222 22 11111 2222BCACAAABACAAABAC AAAC ABAA AB 而 1111 AB BCABAAACAAAB 11111 1111 111 2222 AB ACAB AAAB ABAA ACAA AAAA AB 用心 爱心 专心17 11 11 11 16 cos 6 23 AB BC AB BC ABBC 28 答案 92 解析 由三视图可知 原几何体是一个底面是直角梯形 高为 4 的直四棱柱 其底面积 为 25 4 228 2 侧面积为 4255 464 故表面积为 92 考点定位 考查三视图和表面积计算 三 解答题 29 命题意图 本小题主要考查空间两条直线的位置关系 二面角 异面直线所成的角 直线与平面垂直等基础知识 考查用空间向量解决立体几何问题的方法 考查空间想象 能力 运算能力和推理论证能力 方法一 1 以 AD AC AP 为 x y z正半轴方向 建立空间直角左边系Axyz 则 1 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 2 2 2 DCBP 0 1 2 2 0 0 0PCADPC ADPCAD 2 0 1 2 2 1 0 PCCD 设平面PCD的法向量 nx y z 则 0202 20 0 n PCyzyz xyxz n CD 取1 1 2 1 zn 2 0 0 AD 是平面PAC的法向量 630 cos sin 66 AD n AD nAD n AD n 得 二面角APCD 的正弦值为 30 6 3 设 0 2 AEh 则 0 0 2 AE 11 2 1 0 22 BEh CD 2 3310 cos 210 1020 BE CD BE CDh BE CDh 即 10 10 AE 方法二 1 证明 由PA 平面ABCD 可得PAAD 又由 ADAC PAACA 故AD 平面PAC 又PC 平面 PAC 所以PCAD 2 解 如图 作AHPC 于点H 连接DH 由 PCAD PCAH 可得PC 平面ADH 因此 DHPC 从而AHD 为二面角APCD 的平面角 用心 爱心 专心18 在Rt PAC 中 2 1PAAC 由此得 2 5 AH 由 1 知ADAH 故在 Rt DAH 中 22 2 30 5 DHADAH 因此 30 sin 6 AD AHD DH 所以二 面角APCD 的正弦值为 30 6 点评 试题从命题的角度来看 整体上题目与我们平时练习的试题相似 但底面是非 特殊 的四边形 一直线垂直于底面的四棱锥问题 那么创新的地方就是第三问中点 E 的位置 是不确定的 需要学生根据已知条件进行确定 如此说来就有难度 因此最好使用空间直 角坐标系解决该问题为好 30 解析 1 在Rt DAC 中 ADAC 得 45ADC 同理 111 4590ADCCDC 得 111 DCDC DCBDDC 面 1 BCDDCBC 用心 爱心 专心19 2 11 DCBC CCBCBC 面 11 ACC ABCAC 取 11 AB的中点O 过点O作OHBD 于点H 连接 11 C O C H 1111111 ACBCC OAB 面 111 ABC 面 1 ABD 1 C O 面 1 ABD 1 OHBDC HBD 得 点H与点D重合 且 1 C DO 是二面角 11 CBDA 的平面角 设ACa 则 1 2 2 a C O 111 2230C DaC OC DO 既二面角 11 CBDA 的大小为30 31 解析 本题主要考察线面平行的证明方法 建系求二面角等知识点 如图连接BD M N分别为PB PD的中点 在 PBD中 MN BD 又MN 平面ABCD MN 平面ABCD 如图建系 A 0 0 0 P 0 0 2 6 M 3 2 3 2 0 N 3 0 0 C 3 3 0 设Q x y z 则 33 33 2 6 CQxyzCP 332 6 CQCP 33332 6 Q 由0OQCPOQ CP 得 1 3 即 2 32 6 2 33 Q 对于平面AMN 设其法向量为 nabc 33 0 3 00 22 AMAN 则 3 3 33 001 22 3 0 30 0 a AM nab b AN n a c 31 0 33 n 同理对于平面AMN得其法向量为 3 16 v 记所求二面角A MN Q的平面角大小为 用心 爱心 专心20 则 10 cos 5 n v nv 所求二面角A MN Q的平面角的余弦值为 10 5 答案 见解析 10 5 用心 爱心 专心21 用心 爱心 专心22 答案 见解析 33 3 32 考点定位 本小题主要考查立体几何的相关知识 具体涉及到线面垂直的关系 二面 角的求法及空间向量在立体几何中的应用 解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特 征 熟练进行线线垂直与线面垂直的转化 主要考查学生的空间想象能力与推理论证能 力 本题可以利用空间向量来解题 从而降低了题目的难度 解 1 由ACBC D为AB的中点 得CDAB 又 1 CDAA 故 11 CDA ABB 面 所以点C到平面 11 A ABB的距离为 22 5CDBCBD 2 如图 取 1 D为 11 AB的中点 连结 1 DD 则 111 DDAACC 又由 1 知 11 CDA ABB 面 故 1 CDAD 1 CDDD 所以 11 ADD 为所求的二面角 11 ACDC 的平面角 因 1 AD为 1 AC在面 11 A ABB上的射影 又已知 11 ABAC 由三垂线定理的逆定理得 11 ABAD 从而 111 A ABADA 都与 1 B AB 互余 因此 111 A ABADA 所以 用心 爱心 专心23 111 Rt A ADRt B A A 因此 111 1 AAAB ADAA 即 2 111 8AAAD AB 得 1 2 2AA 从而 22 11 2 3ADAAAD 所以 在 11 Rt ADD 中 11 11 11 6 cos 3 DDAA ADD ADAD 33 解析 1 连接 OC 由已知 ABCPCOCP与平面为直线 所成的角 设 AB 的中点为 D 连接 PD CD 因为 AB BC CA 所以 CD AB 因为为 所以 PADPABAPB 6090等边三角形 不妨设 PA 2 则 OD 1 OP 3 AB 4 所以 CD 23 OC 13121 22 CDOD 在 Rt中 OCP tan 13 39 13 3 OC OP OPC 故直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小为 arctan 13 39 2 过 D 作 DEAP 于 E 连接 CE 由已知可得 CD 平面 PAB 根据三垂线定理可知 CE PA 所以 的平面角 为二面角CAPBCED 由 1 知 DE 3 在 Rt CDE 中 tan2 DE CD CED 故2arctan的大小为 二面角CAPB 点评 本小题主要考查线面关系 直线与平面所成的角 二面角等基础知识 考查思维 能力 空间想象能力 并考查应用向量知识解决数学问题的能力 34 解 1 因为PA 底面ABCD 所以PA CD 又AD CD 所以CD 平面PAD 从而CD PD 因为PD 32 22 2 22 CD 2 所以三角形PCD的面积为32322 2 1 2 解法一 如图所示 建立空间直角坐标系 A B C D P E x y z 用心 爱心 专心24 则B 2 0 0 C 2 22 0 E 1 2 1 1 2 1 AE 0 22 0 BC 设AE与BC的夹角为 则 2 2 222 4 cos BCAE BCAE 4 由此可知 异面直线BC与AE所成的角的大小是 4 解法二 取PB中点F 连接EF AF 则 EF BC 从而 AEF 或其补角 是异面直线 BC与AE所成的角 在AEF 中 由EF 2 AF 2 AE 2 知AEF 是等腰直角三角形 所以 AEF 4 因此异面直线BC与AE所成的角的大小是 4 35 解 1 111 1 224 ABC S 又 1 CC为三棱锥 1 CMBC 的高 1 1 1111 2 3346 CMBCABC VSCC 2 CDAB 所以 1 C MB 或其补角为导面直线CD与 1 MC所成的角 连接 1 BCAB 平面 11 BCC BABBC 在 1 Rt MBC 中 1 1 4 15 2 BCMB 1 5 tan2 5 1 2 C MB 故 1 arctan2 5C MB 即异面直线CD与 1 MC所成的 角为arctan2 5 36 解析 1 证法一 如图 过直线b上任一点作平面 的垂线n 设直线 a b c n的方向向 量分别是 a b c n 则 b c n 共面 根据平面向量基本定理 存在实数 使得 cbn 则 a cabna ba n A B C D P EF 用心 爱心 专心25 因为ab 所以0a b 又因为a n 所以0a n 故0a c 从而ac 证法二 如图 记cbA P为直线b上异于点A的任意一点 过P作PO 垂 足为 O 则Oc PO a 直线POa 又ab b 平面PAO PObP a 平面PAO 又c 平面PAO ac 2 逆命题 a是平面 内一条直线 b是 外的一条直线 b不垂直于 c是直线 b在 上的投影 若ac 则ab 逆命题为真命题 37 解析 在等腰梯形 ABCD 中 AB CD DAB 60 CB CD 由余弦定理可知 20222 3 180cos 2CDDABCBCDCBCDBD 即ADCDBD33 在ABD 中 DAB 60 ADBD3 则ABD 为直角三角形 且DBAD 又 AE BD AD平面 AED AE平面 AED 且 AAEAD 故 BD 平面 AED 由 可知CBAC 设1 CB 则 3 BDCA 建立如图所示的空间直角坐 标系 0 2 1 2 3 0 1 0 01 0 DBF 向量 1 0 0 n为平面BDC的一个法向量 设向量 zyxm 为平面BDF的法向量 则 0 0 FBm BDm 即 0 0 2 3 2 3 zy yx 取1 y 则1 3 zx 则 1 1 3 m为平面BDF的一个法向量 z x y 用心 爱心 专心26 5 5 5 1 cos nm nm nm 而二面角 F BD C 的平面角为锐角 则 二面角 F BD C 的余弦值为 5 5 解法二 取BD的中点G 连接 1 CG FG 由于CBCD 因此CGBD 又FC 平面ABCD BD 平面ABCD 所以FCBD 由于 FCCGC FC CG 平面FCG 所以BD 平面FCG 故BDFG 所以FGC 为二面角FBDC 的平面角 在等腰三角形BCD中 由 于120BCD 因为 1 2 CGCB 又CBCF 所以 22 5GFCGCFCG 故 5 cos 5 FGC 因此二面角FBDC 的余弦值为 5 5 38 答案及解析 1 1 证明 取 A B中点 P 连结 MP NP 而 M N 分别是 A B与 B C的中点 所以 MP A A PN A C 所以 MP 平面 AAC C PN 平面 AAC C 又MPNPp 因此平面 MPN 平面 AAC C 而 MN 平面 MPN 所以 MN 平面 AAC C 用心 爱心 专心27 点评 本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定 借助空间直角坐标系 求平面的法向量的方法 并利用法向量判定平面的垂直关系 考查空间想象能力 推理 论证能力 运算求解能力 难度适中 第一小题可以通过线线平行来证明线面平行 也可 通过面面平行来证明 39 解析 解 1 证明 连接AO 在 1 AOA 中 作 1 OEAA 于点E 因为 11 AABB 得 1 OEBB 因为 1 AO 平面ABC 所以 1 AOBC 因为 ABAC OBOC 得AOBC 所以BC 平面 1 AAO 所以BCOE 所以OE 平面 11 BBC C 又 22 1 1 5AOABBOAA 得 2 1 5 5 AO AE AA By O C A E z A1 1 B1 C1 x 用心 爱心 专心28 2 如图所示 分别以 1 OA OB OA所在的直线 为 x y z 轴建立空间直角坐标系 则 A 1 0 0 C 0 2 0 A1 0 0 2 B 0 2 0 由 1 可知 1 1 5 AEAA 得点 E 的坐标为 42 0 55 由 1 可知平面 11 BBC C的法向量是 42 0 55 设平面 11 ABC的法向量 nx y z 由 1 0 0 nAB nAC 得 20 0 xy yz 令1y 得2 1xz 即 2 1 1 n 所以 30 cos 10 OEn OE n OEn 即平面平面 11 ABC与平面BB1C1C夹角的余弦值是 30 10 点评 本题考查线面垂直 二面角 向量法在解决立体几何问题中的应用以及空间想 象的能力 高考中 立体几何解答题一般有以下三大方向的考查 一 考查与垂直 平行 有关的线面关系的证明 二 考查空间几何体的体积与表面积 三 考查异面角 线面角 二 面角等角度问题 前两种考查多出现在第 1 问 第 3 种考查多出现在第 2 问 对于角度问 题 一般有直接法与空间向量法两种求解方法 40 答案 证明 1 111 ABCABC 是直三棱柱 1 CC 平面ABC 又 AD 平面ABC 1 CCAD 又 1 ADDECCDE 平面 111 BCC BCCDEE AD 平面 11 BCC B 又 AD 平面ADE 平面ADE 平面 11 BCC B 2 1111 ABAC F为 11 BC的中点 111 AFBC 又 1 CC 平面 111 ABC 且 1 AF 平面 111 ABC 11 CCAF 又 111 CCBC 平面 11 BCC B 1111 CCBCC 1 AF 平面 111 ABC 由 1 知 AD 平面 11 BCC B 1 AF AD 又 AD 平面 1 ADEAF 平面ADE 直线 1 AF平面ADE 考点 直线与平面 平面与平面的位置关系 解析 1 要证平面ADE 平面 11 BCC B 只要证平面ADE上的AD 平面 11 BCC B即可 它可由已知 111 ABCABC 是直三棱柱和ADDE 证得 用心 爱心 专心29 2 要证直线 1 AF平面ADE 只要证 1 AF 平面ADE上的AD即可 41 解析 解法 1 如图 1 连接 AC 由 AB 4 3BC 905 ABCAC 得 5 AD 又E 是 CD 的中点 所以 CDAE PAABCD CDABCD 平面平面所以 PACD 而 PA AE是平面PAE内的两条相交直线 所以 CD 平面 PAE 过点 B 作 BGCDAE ADF GPF 分别与相交于连接 由 CD 平面 PAE 知 BG 平面 PAE 于是BPF 为直线 PB 与平面 PAE 所成的角 且BGAE 由PAABCD 平面知 PBA 为直线PB与平面ABCD所成的角 4 2 ABAGBGAF 由题意 知 PBABPF 因为sin sin PABF PBABPF PBPB 所以 PABF 由90 DABABCADBCBGCD 知 又 所以四边形BCDG是平行四边 形 故3 GDBC 于是2 AG 在Rt BAG中 4 2 ABAGBGAF 所以 2 22 168 5 2 5 52 5 AB BGABAGBF BG 于是 8 5 5 PABF 又梯形ABCD的面积为 1 53 416 2 S 所以四棱锥PABCD 的体积为 118 5128 5 16 33515 VSPA 解法 2 如图 2 以 A 为坐标原点 AB AD AP所在直线分别 为xyz轴 轴 轴建立空间直角坐标系 设 PAh 则相关 的各点坐标为 4 0 0 4 0 0 4 3 0 0 5 0 2 4 0 0 0 ABCDEPh A B C D P E 图图 x y z 3 4 5 h 用心 爱心 专心30 易知 4 2 0 2 4 0 0 0 CDAEAPh 因为 8800 0 CD AECD AP 所以 CDAE CDAP 而 AP AE是平面 PAE内的两条相交直线 所以 CDPAE 平面 由题设和 知 CD AP 分别是PAE平面 ABCD平面的法向量 而 PB 与 PAE平面所成的角和 PB 与ABCD平面所成的角相等 所以 cos cos CD PBPA PB CD PBPA PB CDPBPAPB 即 由 知 4 2 0 0 0 CDAPh 由 4 0 PBh 故 2 2 2 160000 16 2 516 h hh h 解得 8 5 5 h 又梯形 ABCD 的面积为 1 53 416 2 S 所以四棱锥PABCD 的体积为 118 5128 5 16 33515 VSPA 点评 本题考查空间线面垂直关系的证明 考查空间角的应用 及几何体体积计算 第 一问只要证明PACD 即可 第二问算出梯形的面积和棱锥的高 由 1 3 VSPA 算 得体积 或者建立空间直角坐标系 求得高几体积 42 考点分析 本题考察立体几何线面的基本关系 考察如何取到最值 用均值不等式和导数 均可求最值 同时考察直线与平面所成角 本题可用综合法和空间向量法都可以 运用空 间向量法对计算的要求要高些 解析 解法 1 在如图 1 所示的 ABC中 设 03 BDxx 则3CDx 由ADBC 45ACB 知 ADC为等腰直角三角形 所以3ADCDx 由折起前ADBC 知 折起后 如图 2 ADDC ADBD 且BDDCD 所以AD 平面BCD 又90BDC 所以 11 3 22 BCD SBD CDxx 于是 用心 爱心 专心31 1111 3 3 2 3 3 33212 A BCDBCD VAD Sxxxxxx 3 12 3 3 2 1233 xxx 当且仅当23xx 即1x 时 等号成立 故当1x 即1BD 时 三棱锥ABCD 的体积最大 解法 2 同解法 1 得 32 1111 3 3 69 3326 A BCDBCD VAD Sxxxxxx 令 32 1 69 6 f xxxx 由 1 1 3 0 2 fxxx 且03x 解得1x 当 0 1 x 时 0fx 当 1 3 x 时 0fx 所以当1x 时 f x取得最大值 故当1BD 时 三棱锥ABCD 的体积最大 解法 1 以D为原点 建立如图a所示的空间直角坐标系Dxyz 由 知 当三棱锥ABCD 的体积最大时 1BD 2ADCD 于是可得 0 0 0 D 1 0 0 B 0 2 0 C 0 0 2 A 0 1 1 M 1 1 0 2 E 且 1 1 1 BM 设 0 0 N 则 1 1 0 2 EN 因为ENBM 等价于0EN BM 即 11 1 0 1 1 1 10 22 故 1 2 1 0 0 2 N 所以当 1 2 DN 即N是CD的靠近点D的一个四等分点 时 ENBM 设平面BMN的一个法向量为 x y z n 由 BN BM n n 及 1 1 0 2 BN 得 2 yx zx 可取 1 2 1 n 设EN与平面BMN所成角的大小为 则由 11 0 22 EN 1 2 1 n 可得 1 1 3 2 sincos 90 2 2 6 2 EN EN n n 即60 故EN与平面BMN所成角的大小为60 用心 爱心 专心32 解法 2 由 知 当三棱锥ABCD 的体积最大时 1BD 2ADCD 如图b 取CD的中点F 连结MF BF EF 则MF AD 由 知AD 平面BCD 所以MF 平面BCD 如图c 延长FE至P点使得FPDB 连BP DP 则四边形DBPF为正方形 所以DPBF 取DF