【教学设计】《指数与指数幂的运算》（人教）

指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算 从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上 类比出正数的n次方根的定义 从而把指数推广到分数指数 进而推广到有理数指数 再推广到实数指数 并将幂的运算 性质由整数指数幂推广到实数指数幂 知识与能力目标 1 掌握n次方根及根式的概念 正确运用根式的运算性质进行根式的运算 2 了解分式指数幂的含义 学会根式与分数指数幂之间的相互转化 3 理解有理数指数幂和无理数指数幂的含义及其运算性质 过程与方法目标 具体习题 灵活运用根式运算 由整数指数幂的运算性质理解有理数指数幂的运算性 质 情感态度价值观目标 1 通过学习 n 次方根的概念及根式的运算 提高学生的运算能力和逻辑思维 2 通过分数指数幂的学习 让学生体会严谨的求学态度 教学目标教学目标 教学重难点教学重难点 教材分析教材分析 教学重点 根式与分数指数幂之间的互相转化 教学难点 根式运算与有理数指数幂的运算 通过本节导学案的使用 引导学生复习回顾初中相关知识 做好衔接 为新知识的学 习奠定基础 一一 创设情景 揭示课题创设情景 揭示课题 1 以折纸问题引入 激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性 2 由实例引入 了解指数概念提出的背景 体会引入指数的必要性 1 据国务院发展研究中心 2000 年发表的 未来 20 年我国发展前景分析 判断 未 来 20 年 我国 GDP 国内生产总值 年平均增长率可望达到 7 3 那么在 2010 年 我国的 GDP 可望为 2000 年的多少倍 2 当生物死亡后 它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减 大约每经过 5730 年衰 减为原来的一半 这个时间称为 半衰期 根据此规律 人们获得了生物体内碳 14 含量P 与死亡年数t之间的系 那么当生物体死亡了 万年后 它体内碳 14 的含量 5730 1 2 t p 为多少 3 对 1 07310 这两个数的意义如何 怎样运算 10000 5730 1 2 p 3 初中根式的概念 思考 1 的平方根是什么 任何一个实数都有平方根吗 一个数的平方根有几个 思考 2 27 的立方根是什么 任何一个实数都有立方根吗 一个数的立方根有几个 思考 3 一般地 实常数a的平方根 立方根是什么概念 思考 4 如果x4 a x5 a x6 a 参照上面的说法 这里的x分别叫什么名称 思考 5 推广到一般情形 a的n次方根是一个什么概念 试给出其定义 课前准备课前准备 教学过程教学过程 如果一个数的平方等于a 那么这个数叫做a的平方根 如果一个数的立方等于a 那 么这个数叫做a的立方根 思考 1 8 的立方根 16 的 4 次方根 32 的 5 次方根 32 的 5 次方根 0 的 7 次方根 a6的立方根分别是什么数 怎样表示 思考 2 设a为实常数 则关于x的方程 x3 a x5 a分别有解吗 有几个解 思考 3 一般地 当n为奇数时 实数a的n次方根存在吗 有几个 思考 4 设a为实常数 则关于x的方程 x4 a x6 a分别有解吗 有几个解 思考 5 一般地 当n为偶数时 实数a的n次方根存在吗 有几个 思考 6 我们把式子叫做根式 其中n叫做根指数 a叫做被开方数 1 n a nN n 那么 a的n次方根用根式怎么分类表示 当n是奇数时 a的n次方根为 n a 当n是偶数时 若a 0 则a的n次方根为 n a 若a 0 则a的n次方根为 0 若a0 分别等于什么 510 a 8 a 124 a 思考 2 观察上述结论 你能总结出什么规律 思考 3 按照上述规律 根式 分别可写成什么形式 34 5 35 7 57 a 思考 4 我们规定 a 0 m n N且n 1 n nm m aa 那么表示一个什么数 分别表示什么根式 2 3 8 21 52 3 4 思考 5 你认为如何规定 a 0 m n N 且n 1 的含义 n m a 思考 6 怎样理解零的分数指数幂的意义 思考 7 都有意义吗 233 352 2 2 2 当时 何时无意义 0a 1 n m am nNn 正数的分数指数幂的意义 规定 1 0 nNnmaaa nm n m 11 0 1 m n m nm n aam nNn a a 0 的正分数指数幂等于 0 0 的负分数指数幂没有意义 指出 规定了分数指数幂的意义后 指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数 那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂 2 有理指数幂的运算性质 1 0 rsr s aaaar sQ 2 0 rsrs aaar sQ 3 0 0 rrr aba babrQ 引导学生解决本课开头实例问题 3 无理指数幂 思考 1 我们知道 1 414 21356 那么的大小如何确定 2 2 5 的过剩近似值2的过剩近似值 2 5 1 511 180 339 89 1 429 829 635 328 1 4159 750 851 808 1 414 39 739 872 62 1 414 229 738 618 643 1 414 2149 738 524 602 1 414 213 69 738 518 332 1 414 213 579 738 517 862 1 414 213 5639 738 517 752 思考 2 观察上面两个图表 是一个确定的数吗 2 5 思考 3 有理指数幂的运算性质适应于无理数指数幂吗 指出 一般地 无理数指数幂是一个确定的实数 有理数指数 0 是无理数 aa 幂的运算性质同样适用于无理数指数幂 思考 教材 P63练习 4 巩固练习思考 教材 P62思考题 三 例题讲解 三 例题讲解 例 3 求下列各式的值 1 2 3 4 2 3 27 1 2 25 5 1 2 3 4 16 81 例 4 化简下列各式的值 211511 336622 1 2 6 3 0 a ba ba ba b 31 8 84 2 0 m nm n 34 3 2512525 2 32 4 0 a a aa 说明 让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用 四 课堂练习 四 课堂练习 1 教材 P58例 1 2 教材 P63练习 1 3 五 课堂小结 本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算 分数指数幂是根式的另一种表 示形式 根式与分数指数幂可以进行互化 在进行指数幂的运算时 一般地 化指数为正 指数 化根式为分数指数幂 化小数为分数进