2012年广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 抛物线

用心 爱心 专心 1 抛抛 物物 线线 知识精讲 知识精讲 抛物线的定义 到一个定点 的距离与到一条定直线 的距离相等的点的轨迹 方程 pxy2 2 pxy2 2 pyx2 2 pyx2 2 这里0 p 图形 图形 基本量 基本量 对称轴 轴 轴 顶点坐标 原点 焦点坐标 0 2 p 0 2 p 2 0 p 2 0 p 准线方程 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 焦半经 2 0 p xr 2 0 p xr 2 0 p yr 2 0 p yr 焦准距 p 顶准距 焦顶距 2 p 曲线上的点到焦点的最近距 2 p 离心率 1 e 焦点弦 过pxy2 2 0 p的焦点弦 1 x 1 y 2 x 2 y sin 2 2 21 p pxxAB 2 21 pyy 4 2 21 p xx 6 标点 抛物线pxy2 2 上的点可标为 00 y x或 0 2 0 2 y p y 或 ptpt2 2 2 Rt 二 问题讨论 二 问题讨论 例例 1 1 1 抛物线 2 4axy 的焦点坐标是 2 焦点在直线042 yx上的抛物线的标准方程是 其对应的 准线方程是 3 以抛物线 02 2 ppyx的一条焦点弦为直径的圆是086 22 yxyx 则 p O y x O y x xO y O x y 用心 爱心 专心 2 4 到 y 轴的距离比到点 0 2的距离小 2 的动点的轨迹方程是 5 一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分 它的方程是 2002 2 yyx 在杯内放 入一个玻璃球 要使球触及酒杯的底部 则玻璃球的半径的范围为 1 0 rA 1 0 rB 2 0 rC 2 0 rD 解 1 焦点 F a16 1 0 2 因为焦点在坐标轴上 所以焦点为 0 4或 2 0 故抛物线的标准方程为 xy16 2 或yx8 2 对应的准线方程是2 4 yx 3 因为该圆与该抛物线的准线相切 所以21 2 p p 4 即为动点到点 2 0 的距离等于到直线2 x的距离 或动点在 Y 轴的非正半 轴上 所以轨迹方程为xy8 2 或 00 xy 5 设圆为 2 2 2 rryx 抛物线为yx2 2 联立得 012 2 yry 令 0 得1 r 1 max r 故选 A 思维点拔思维点拔 正确理解抛物线和注意问题的多解性 严密思考问题 例 2 河上有抛物线型拱桥 当水面距拱顶 5 米时 水面宽度为 8 米 一小船宽 4 米 高 2 米 载货后船露出水面的部分高 0 75 米 问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时 小船开始 不能通行 解 建立平面直角坐标系 设拱桥型抛物线方程为 0 2 2 ppyx 将 B 4 5 代入 得 P 1 6 yx2 3 2 船两侧与抛物线接触时不能通过 则 A 2 yA 由 22 3 2 yA得 yA 1 25 因为船露出水面的部分高 0 75 米 所以 h yA 0 75 2 米 答 水面上涨到与抛物线拱顶距 2 米时 小船开始不能通行 思维点拔思维点拔 注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧 例 3 设抛物线 0 4 2 aaxy的焦点为 A 以 B a 4 0 点为圆心 AB 为半径 在 x 轴 上方画半圆 设抛物线与半圆相交与不同的两点 M N 点 P 是 MN 的中点 1 求 AM AN 的值 2 是否存在实数 a 恰使 AM AP AN 成等差数列 若存在 求出 a 不存在 说 明理由 解 1 设 M N P 在抛物线准线上的射影分别为 M N P 用心 爱心 专心 3 AM AN MM NN xM xN 2a 又圆方程16 4 22 yax 将axy4 2 代入得08 4 2 22 aaxax axx NM 42得 AM AN 8 2 假设存在 a 因为 AM AN MM NN 2 PP 所以 AP PP P 点在抛物线上 这与 P 点是 MN 的中点矛盾 故 a 不存在 例 4 抛物线 02 2 ppxy上有两动点 A B 及一个定点 M F 为焦点 若 BFMFAF 成等差数列 1 求证线段 AB 的垂直平分线过定点 Q 2 若6 4 OQMF O 为坐标原点 求抛物线的方程 3 对于 2 中的抛物线 求 AQB 面积的最大值 解 1 设 002211 yxMyxByxA 则 2 1 p xAF 2 2 p xBF 2 0 p xMF 由题意得 2 21 0 xx x AB 的中点坐标可设为 tx 0 其中 0 2 21 yy t 否则0 pBFMFAF 而 2 2 2 1 21 21 21 2 1 yy p yy xx yy kAB t p yy p 21 2 故 AB 的垂直平分线为 0 xx p t ty 即 0 0 yppxxt 可知其过定点 0 0 pxQ 2 由6 4 OQMF 得6 4 2 00 px p x 联立解得2 4 0 xpxy8 2 3 直线 AB 2 4 x t ty 代入xy8 2 得01622 22 ttyy 2 21 2 21 2 21 4644tyyyyyy 2 21 2 2 21 16 yy t xx 16 4 2 2 t t 2 21 2 21 yyxxAB 22 1616 2 1 tt 用心 爱心 专心 4 4 256 2 1 t 又点 0 6Q到 AB 的距离 2 16td dABS AQB 2 1 24 16256 4 1 tt 642 162564096 4 1 ttt 令 642 162564096tttu 则 53 664512tttu 令0 u即 0664512 53 ttt 得0 t或16 2 t或 3 16 2 t 3 16 2 t3 3 4 t时 6 9 64 AQB S 思维点拔思维点拔 设而不求法和韦达定律法是解决