福建省福州市2016届5月高三综合质量检测数学理试题含答案（WORD版）

2016 年福州市 普通 高中毕业班 综合 质量检 测 理科数学能力测试 （完卷时间： 120 分钟；满分： 150 分） 本试卷分第卷和第卷两部分第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页，满分 150 分 考生注意： 1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致 2. 第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号第卷用 米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答若在试题卷上作答，答案无效 3. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回 第 卷 一、 选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、 已知全集为 R，集合 1,1, 2, 4M , 2 | 2 3N x x x ，则 ()I （ A） 1,1,2 （ B） 1,2 （ C） 4 （ D） 12剟 2、 复数 z 满足 (1 i) | 1 i |z ，则复数 （ A）第一象限 （ B）第二象限 （ C）第三象限 （ D）第四象限 3、 函数 ( ) s )f x A x （ 0A ）在 3x处取得最小值， 则 （ A） ()3奇函数 （ B） ()3偶函数 （ C） ()3奇函数 （ D） ()3偶函数 4、 在 中， 5C 4C则 （ A） 9 （ B） 3 （ C） 2 （ D） 1 5、 已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量 X（单位： 工期延误天数 Y 的影响及相应的概率 P 如下表所示： 在降水量 X 至少是 100 的条件下，工期延误不超过 15天的概率 为 （ A） （ B） （ C） （ D） 6、 若 , 0 ,2 0 ,2 2 0 , 且 目标函数 z ax y取得最大值的点有无数个，则 z 的最小值等于 降水量 X 100X 100 200X 200 300X 300X 工期延误天数 Y 0 5 15 30 概率 P （ A） 2 （ B） 32（ C） 12（ D） 127、 执行右面的程序框图， 若 输入 n 值为 4，则输出的结果 为 （ A） 8 （ B） 21 （ C） 34 （ D） 55 8、 512的展开式中， 2x 的系数为 （ A） 45 （ B） 60 （ C） 90 （ D） 120 9、 正项等比数列 a,2 6 3 5a a a a128，则下列结论正确的是 （ A） n*N ，12n n na a a（ B ） n*N ，212n n na a a（ C） n*N ，1（ D） n*N ，3 1 2n n n na a a a 10、 双曲线 22: 1 ( 0 , 0 )a 的左 、 右焦点分别为1F,2F， P 是 1 2 F，直线2 2 2x y a相切，则 E 的离心率为 （ A） 54（ B） 3 （ C） 53（ D） 23311、 一个 三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于 （ A） 2 （ B） 423（ C） 433（ D） 3 12、 设 mR ，函数 2 2 2( ) ( ) ( e 2 )xf x x m m 若存在0()5立，则 m （ A） 15（ B） 25（ C） 35（ D） 45第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分第（ 13）题 第（ 21）题为必考题，每个试题考生都必须做答第（ 22）题 第（ 24）题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题：本大题 4小题，每小题 5分，共 20分把答案填在答题卡相应位置 13、 知函数 1 , 0 2 ,() 1 , 2 0 x 剟若 , 2 , 2g x f x a x x 为偶函数，则实数 a 14、 所有棱长均为 2 的 正四棱锥的 外接球的 表面积等于 正视图 侧视图俯视图212215、 抛物线 2:4C y x 的准线与 x 轴交于点 M ，过焦点 F 作倾斜角为 60 的直线与 C 交于 , = 16、 数列 n 项和 为知1 2a,1 ( 1) 2 n ，则100S _ 三、 解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、 （本小题满分 12 分） 的内 角 A ,B ,C 所对的边分别为 ,知 1 （ ）求 A ； （ ） 若 上的中线 22，高线 3，求 的面积 18、 （本小题满分 12 分） 为 了 研究某学科成绩是否与 学生 性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了 30 名男生和20 名女生的该学科 成绩，得到如下所示男生成绩的 频率 分布直方图和女生成绩的茎叶图 ， 规定 80分以上为优分 (含 80 分 ) （ ）（ i） 请 根据 图示 ， 将 2 2 列联表补充完整； （ 此列联表判断，能 否在犯错误概率不超过 10%的前提下认为 “该学 科成绩与性别有关 ”？ （ ） 将 频率视作概率 ， 从高三年级该学科成绩中任意抽取 3 名学生的成绩 ，求至少 2 名学生的成绩为优分的概率 附 ： )()()()( 22 19、 （本小题满分 12 分） 如图所示，四棱锥 P 的底面是梯形，且 /D , 平面 E 是 点，12C D P D A D A B （ ）求证： 平面 （ ）若 3， 4，求 直线 平面 成角的大小 20、 （本小题满分 12 分） 优分 非优分 总计 男生 女生 总计 50 2P K k k D 面 直角坐标系 ，已知点 , 2, 0 , 2, 0 直线 ,交于点 P ，且它们的斜率之积是 14记 点 P 的轨迹 为 （ ）求 的方程； （ ）已知直线 ,别交直线 :4于点 ,迹 在 点 P 处的切线与线段 于点 Q ，求 21、 （本小题满分 12 分） 已知 aR ，函数 1( ) e xf x 的 图象与 x 轴相切 （ ）求 ()单调区间； （ ）当 1x 时， ( ) ( 1) x m x x，求实数 m 的取值范围 请考生在第（ 22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题做答 ，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号 22、 （本小题满分 10 分）选修 4何证明选讲 如图所示， 内接于圆 O， D 是 中点 ， 平分线分别交 于点 E ,F （ ）求证： 外接圆的切线 ； （ ） 若 3, 2， 求 22A 的值 23、 （本小题满分 10 分） 选修 4标系与参数方程 在直角坐标系 ，曲线1 2 c o s ,2 （ 为参数）以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系 （ ）写出1 （ ）设曲线 222 :14经伸缩变换 1 ,2后得到曲线3C， 射线 3（ 0 ） 分别与1 ,B 两点，求 | 24、 （本小题满分 10 分） 选修 4等式选讲 已知不等式 | 3 | 2 1 的解集为 | x x m （ ）求 m 的值 ； （ ）设 关于 x 的方程 1| | | |x t x （ 0t ）有解， 求实数 t 的值 2016 年福州市 普通 高中毕业班 综合 质量检 测 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2对计 算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5分，满分 60分 （ 1） A （ 2） D （ 3） B （ 4） B （ 5） D （ 6） C （ 7） C （ 8） D （ 9） C （ 10） C （ 11） A （ 12） B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5分，满分 20分 （ 13） 12（ 14） 8 （ 15） 43 （ 16） 198 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （ 17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等满分 12 分 解：（ ）因为 1，所以 s i n c o s 2 s i i n c o s s i B， 2 分 即 s i n ( ) 2 s i ns i n c o s s i B ， 因为 s i n ( ) s i n 0A B C ， B ， 所以 1 4 分 又因为 (0,)A ， 所以 3A 5 分 （）由 M 是 点 ， 得 1 ()2A M A B A C 即 2 2 21 ( 2 )4A M A B A C A B A C u u u ur u u ur u u ur u u ur u u 所以 22 32c b ， 7 分 由 11 s i H B C A B A C A ， 得 3 32 bc a，即 2bc a ， 9 分 又根据余弦定理，有 2 2 2a b c ， 10 分 联立 ，得2( ) 3 2 22bc ， 解得 8 所以 面积 1 s i n 2 32S b c A 12 分 （ 18） 本小题主要考查 频率 分布直方图 、 茎叶图 、 n 次独立重复试验 、 独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想 满分 12 分 解：（ ） 根据 图示 ， 将 2 2 列联表补充完整如下 ： 2 分 假设0H：该学科成绩与性别无关， 2K 的观测值 22( ) 5 0 ( 9 9 1 1 2 1 ) 3 . 1 2 5( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 3 0 2 0 3 0n a d b ck a b c d a c b d ， 因为 ，所以 能 在犯错误概率不超过 10%的前提下认为该学科成绩与性别有关 6 分 （ ）由于有较大的把握 认为该学科成绩与性别有关 ， 因此需要将男女生成绩的优分频率20 视作概率 7 分 设 从高三年级中任意抽取 3 名学生的该学科成绩中，优分人数为 X ， 则 X 服从二项分布(3, ， 9 分 所求概率 2 2 3 333( 2 ) ( 3 ) 0 . 4 0 . 6 0 . 4 0 . 3 5 2P P X P X C C 12 分 （ 19）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等满分 12 分 （ ）证 明 ： 取 中点 F ，连结 ,如图所示 因为 D ，所以 P 1 分 因为 平面 平面 所以 F 又因为 B AI ， 所以 平面 3 分 因为点 E 是 点 ， 所以 /B ，且2 4 分 又因为 /D ，且2 所以 /D ，且 D ， 所以四 边形 平行四边形， 所以 /F ，所以 平面 6 分 （ ）解 ：设点 O， G 分别为 结 则 /B ， 因为 平面 平面 所以 D ，所以 D 7 分 因为 3，由 （ ） 知， 3, 又因为 4，所以 2， 所以 2 2 22 2 2 2 3 2 ,A P A F A D D F 所以 为正三角形，所以 D ， 因为 平面 平面 所以 O 又因为 B AI ，所以 平面 8 分 故 ,G 两垂直 ，可以点 O 为原点，分别以 ,G 方向为 ,的正方向，优分 非优分 总计 男生 9 21 30 女生 11 9 20 总计 20 30 50 建立空间直角坐标系 O ，如图所示 (0,0, 3)P ， ( 1 , 2 , 0 ) , ( 1 , 0 , 0 )， 13( , 2, )22E ， 所以 ( 1, 0 , 3 ) ( 1, 2 , 3 ) 33( , 0 , )22 9 分 设平面 法向量 ( , , )x y zn ， 则 0,0, 0 ,2 3 0 ,y z 取 1z ，则 ( 3, 0,1)n ， 10 分 设 平面 成的角为 ， 则 31s i n | c o s , | | |232 nu u 11 分 因为 0, 2，所以 6， 所以 平面 成角的大小为 6 12 分 （ 20）本小题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等满分 12 分 解法一： （）设点 P 坐标为 ,则 直线 斜率2AP yk x （ 2x ）； 直线 斜率2BP yk x （ 2x ） 2 分 由已知有 12 2 4 （ 2x ）， 3 分 化简得点 P 的轨迹 的方程为 22 14x y（ 2x ） 4 分 （注：没写 2x 或 2x 扣 1 分） （）设 00,P x y（0 2x ），则 220 0 14x y 5 分 直线 方程为 0022，令 4x ，得点 M 纵坐标为006 2x ； 6 分 直线 方程为 0022，令 4x ，得点 N 纵坐标为002 2x ； 7 分 设在点 P 处的切线方程为 00y y k x x ， 由 0022 ,4 4 ,y k x x 得 2220 0 0 01 4 8 4 4 0k x k y k x x y k x 8 分 由 0 ，得 22220 0 0 06 4 1 6 1 4 1 0k y k x k y k x ， 整理得 2 2 2 20 0 0 02 1 4y k x y k x k 将 22 2 200 0 01 , 4 14xy x y 代入上 式并整理得 200202，解得004xk y ， 9 分 所以切线方程为 00004xy y x 令 4x 得，点 Q 纵坐标为 220 0 00 0 0 000 0 0 04 4 14 4 14 4 4Qx x xy x x y y y 10 分 设 N， 所以 Q M N Qy y y y ， 所以0 0 0 00 0 0 01 6 2 122x y y xy x x y 11 分 所以 220 0 0 0 0 00 0 0 01 2 6 2 1 222x x y y x xy x y x 将 22 00 1 4代入上式，002 + ( 2 + )22 ， 解得 1 ，即1 12 分 解法二：（）同解法一 （）设 00,P x y（0 2x ），则 220 0 14x y 5 分 直线 方程为 0022，令 4x ，得点 M 纵坐标为006 2x ； 6 分 直线 方程为 0022，令 4x ，得点 N 纵坐标为002 2x ； 7 分 设在点 P 处的切线方程为 00y y k x x ， 由 0022 ,4 4 ,y k x x 得 2220 0 0 01 4 8 4 4 0k x k y k x x y k x 8 分 由 0 ，得 22220 0 0 06 4 1 6 1 4 1 0k y k x k y k x ， 整理 得 2 2 2 20 0 0 02 1 4y k x y k x k 将 22 2 200 0 01 , 4 14xy x y 代入上式并整理得 200202，解得004xk y ， 9 分 所以切线方程为 00004xy y x 令 4x 得，点 Q 纵坐标为 220 0 00 0 0 000 0 0 04 4 14 4 14 4 4Qx x xy x x y y y 10 分 所以 0 0 0 00 0 0220 0 0 0 08 1 8 16 2 1222 2 4 4M N Qx y x yy y xy y yx x x y y ， 11 分 所以 Q 为线段 中点，即1 12 分 （ 21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等满分 12 分 解：（ ） 1e xf x a ，设切 点为0( ,0)x， 1 分 依题意，00( ) 0,( ) 0, 即 001 01e 0,e 0, 解得0 1,1, 3 分 所以 1 当 1x 时， 0 ；当 1x 时， 0 故 ,1) ，单调递增区间为 (1, ) 5 分 （ ）令 ( ) ( ) ( 1 ) l ng x f x m x x ， 0x 则1 1( ) e ( l n ) 1x xg x m x x ， 令 ( ) ( )h x g x ， 则1 211( ) e ( )xh x m ， 6 分 （ ）若 12m， 因为当 1x 时 ， 1 ，211( ) 1m ， 所以 ( ) 0 ， 所以 () ()在 (1, ) 上 单调递增 又因为 (1) 0g ， 所以当 1x 时 ， ( ) 0 ， 从而 ()1, ) 上 单调递增， 而 (1) 0g ，所以 ( ) 0， 即 ( ) ( 1) x m x x成立 9 分 （ ）若 12m， 可得1 211( ) e ( )xh x m 在 (0, ) 上单调递增 因为 (1) 1 2 0 ，211( 1 l n ( 2 ) ) 2 01 l n ( 2 ) 1 l n ( 2 ) h m m m ， 所以存在1 (1,1 2 )， 使得1( ) 0， 且当1(1, ) ， ( ) 0 ， 所以 () ()在1(1, )调递减， 又因为 (1) 0g ， 所以当1(1, ) ， ( ) 0 ， 从而 (), )调递减， 而 (1) 0g ，所以 当1(1, ) ， ( ) 0， 即 ( ) ( 1) x m x x不成立 纵上所述 ， k 的取值范围是 1( , 2 12 分 请考生在第（ 22） ,（ 23） ,（ 24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号 （ 22） 选修 41 ：几何证明选讲 本小题主要 考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等满分 10 分 解： （ ） 设 外接圆的圆心为 O ， 连结 并延长交圆 O 于 G 点 ， 连结 则 90 ， 因为 分 所以 =C ，所以 ， 2 分 所以 1 8 0 9 0F B G F