苏州市2016年中考数学压轴题归类复习(十大类型附详细解答)

1 2016 年中考数学压轴题辅导（十大类型 ） 数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。 函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。 几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求 直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有 x、 变形写成 y f（ x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出 解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想 方法。 一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。 二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。 三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。 解中考压轴题技能技巧： 一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止 “捡 芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题， 尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。 二是解数学压轴题 做一问是一问 。第一问对绝大多数同学来说，不是问题； 如果第一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问 。过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的， 写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少，但是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。 三是解数学压轴题一般可以分为三个步骤。认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重 2 要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结 论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。 中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。所以，解数学压轴题，一要树立必胜的信心，要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 一、动点型 问题： 例 1（基础题） 如图，已知抛物线 y=2x 3 与 x 轴从左至右分别交于 A、 B 两点，与 点，顶点为 D （ 1）求与直线 行且与抛物线只有一个交点的直线解析式； （ 2）若线段 有一动点 E，过 E 作平行于 y 轴的直线交抛物线于 F，当线段 得最大值时，求点 E 的坐标 变式练习： （ 2012杭州模拟）如图，已知抛物线 经过点 A（ 2， 0），抛物线的顶点为 D，过 O 作射线 顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线 点 C， B 在 x 轴正半轴上，连接 （ 1）求该抛物线的解析式； （ 2）若动点 P 从点 O 出发，以每秒 l 个长度单位的速度沿射线 动，设点 P 运动的时间为 t（ s）问：当 t 为何值时，四边形 别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （ 3）若 B，动点 P 和动点 Q 分别从点 O 和点 B 同时出发，分别以每秒 l 个长度单位和 2 个长度单位的速度沿 动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们运动的时间为 t（ s），连接 t 为何值时，四边形 面积最小？并求出最小值 （ 4）在（ 3）中当 t 为何值时，以 O， P， Q 为顶点的三角形与 似？（直接写出答案） 3 苏州中考题： （ 2015 年苏州 ）如图，在矩形 ， AD=AB=a b 4）， 半径为 2 O 在矩形内且与 相切现有动点 P 从 A 点出发，在矩形边上沿着A B C D 的方向匀速移动，当点 P 到达 D 点 时停止移动； O 在矩形内部 沿 右匀速平移，移动到与 切时立即 沿原路按原速返回，当 O 回到出发时的位置（即再次与切）时停止移动已知点 P 与 O 同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置） （ 1）如图 ，点 P 从 A B C D，全程 共移动了 含 a、 b 的代数式 表示）； （ 2）如图 ，已知点 P 从 A 点出发，移动 2s 到达 B 点， 继续 移动 3s，到达 中点若点 P 与 O 的 移动速度相等，求在这 5s 时间内圆心 O 移动的距离； （ 3）如图 ，已知 a=20， b=10是否存在如下情形：当 O 到达 位置时（此时圆心 矩形对角线 ） ， 说明理由 （第 28 题） O 1 ） （图 ） 二几何图形的变换（平移、旋转、翻折） 例 2 （辽宁省铁岭市）如图所示，已知在直角梯形 ， x 轴于点 C，A（ 1， 1）、 B（ 3， 1） 动点 P 从 O 点出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度移动过P 点作 直于 直线 足为 Q设 P 点移动的时间为 t 秒（ 0 t 4）， 直角梯形 叠部分的面积为 S （ 1）求经过 O、 A、 B 三点的抛物线解析式； （ 2）求 S 与 t 的函数关系式； （ 3）将 着点 P 顺时针旋转 90，是否存在 t，使得 顶点 O 或 Q 在抛物线上？若存在，直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由 变式练习： 如图 1，在平面直角坐标系 ，直线 l： y 34x m 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 和点 B（ 0， 1），抛物线 经过点 B，且与直线 l 另一个交点为 C（ 4， n） （ 1）求 n 的值和抛物线的解析式； （ 2）点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 t（ 0 t 4） y 轴交直线 l 于点 E，点 l 上，且四边形 矩形（如图 2）若矩形 周长为 p，求 p 与 t 的函数关系式以及 p 的最大值； （ 3） M 是平面内一点，将 点 M 沿逆时针方向旋转 90后，得到 A、O、 B 的对应点分别是点 两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点 横坐标 2 O A B C x y 1 1 3 P Q 5 苏州中考题：（ 2014年第一学期期末高新区） 如图 1，在平面直角坐标系 ，直线 l： y 34x m 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 和点 B(0， 1)，抛物线 y c 经过点 B，且与直线 l 的另一个交点为 C(4， n) (1)求 n 的值和抛物线的解析式； (2)点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 t(0t4) y 轴交直线 l 于点 E，点 F 在直线 l 上，且四边形 矩形 (如图 2)若矩形 周长为 p，求 p 与 t 的函数关系式以及 p 的最大值； (3)将 平面内经过一定的平移得到 A、 O、 B 的对应点分别是点 直接写出点 横坐标为 12 6 三相似与三角函数问题 例 3（四川省遂宁市） 如图，二次函数的图象经过点 D(0， 397)，且顶点 C 的横坐标为 4，该图象在 x 轴上截得的线段 长为 6 （ 1） 求 该 二次函数的解析式； （ 2） 在该抛物线的对称轴上找一点 P，使 小，求出点 P 的坐标； （ 3） 在抛物线上是否存在点 Q，使 似？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由 变式练习： 如图 1，直角梯形 ， ， ， 5 （ 1） 长为 ； （ 2） D 是 一点，以 直径作 M， M 交 点 Q当 M 与 y 轴相切时， ； （ 3）如图 2，动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，从点 O 沿线段 点 A 运动；同时动点 D 以相同的速度，从点 B 沿折线 B C O 向点 O 运动当点 P 到达点 A 时，两点同时停止运动过点 P 作直线 折线 O B A 交于点 E设点 P 运动的时间为 t（秒）求当以 B、 D、 E 为顶点的三角形是直角三角形时点 E 的坐标 C D O B A y x 7 苏州中考题：（ 2013 年 28 题） 如图，点 O 为矩形 对称中心， 102 E， F， G 分别从 A， B， C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点 E 的运动速度为 1cm/s，点 F 的运动速度为 3s，点 G 的运动速度为 s当点F 到达点 C（即点 F 与点 C 重合）时，三个点随之停止运动在运动过程中， 于直线 对称图形是 ，设点 E， F， G 运动的时间为 t（单位： s） (1)当 t s 时，四边形 正方形； (2)若以点 E， B， F 为顶点的三角形与以点 F， C， G 为顶点的三角 形相似，求 t 的值； (3)是否存在实数 t，使得点 B与点 O 重合？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 面积与相似： （ 2012 苏州， 29）如图，已知抛物线与 x 轴的正半轴分别交于点 A、 B（点 的左侧），与 y 轴的正半轴交于点 C. 点 B 的坐标为 ，点 C 的坐标为 （用含 b 的代数式表示）； 请探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 面积等于 2b，且 以点 果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由； 请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得 的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由 . 四三角形问题（等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形等） 例 4（广东省湛江市）已知矩形纸片 长为 4，宽为 3，以长 在的直线为 x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系；点 P 是 上的动点（与点 重合），现将 C 翻折得到 在 上选取适当的点 D， 将 折，得到 得直线 合 （ 1）若点 E 落在 上，如图，求点 P、 C、 D 的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式； （ 2）若点 E 落在矩形纸片 内部，如图，设 x， y， 当 x 为何值时， （ 3）在（ 1）的情况下，过点 P、 C、 D 三点的抛物线上是否存在点 Q， 使 以 不存在，说明理由；若存在，求出点 Q 的坐标 变式 （ 广东省深圳市 ）已知： 斜边长为 5，斜边上的高为 2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边 x 轴重合（其中 直角顶点 C 落在y 轴正半轴上（如图 1） （ 1）求线段 长和经过点 A、 B、 C 的抛物线的关系式 （ 2）如图 2，点 D 的坐标为（ 2， 0），点 P（ m， n）是该抛物线上的一个动点（其中 m 0，n 0）， 连接 点 E 当 等腰三角形时， 直接写出 此时点 E 的坐标 又连接 图 3）， 否有最大面积？若有，求出 最大面积和此时点 P 的坐标；若没有，请说明理由 A B x y A B x y O P D E 图 2 C 图 P D E C O A B F x y 图 P D C O A B F x y E F 9 苏州中考题：（ 2013 年 29 题） 如图，已知抛物线 y c（ b， c 是常数，且 c0）与 x 轴分别交于点 A， B（点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴的负半轴交于点 C，点 A 的坐标为 ( 1， 0) (1)b ，点 B 的横坐标为 （上述结果均用含 c 的代数式表示）； (2)连接 点 A 作直线 抛物线 y c 交于点 E点 D 是 x 轴上一点，其坐标为 (2， 0)，当 C， D， E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式； (3)在 (2)的条件下，点 P 是 x 轴下方的抛 物线上的一动点，连接 所得 面积为 S 求 S 的取值范围； 若 面积 S 为整数，则这样的 有 个 1212 10 五、与四边形有关的二次函数问题 例 5 （ 内蒙古赤峰市 ）如图， 顶点坐标分别为 A（ 0， 3 ）， B（ 21，23），C（ 1， 0）， 90， y 轴的交点为 D， D 点坐标为（ 0，33），以点 D 为顶点、y 轴为对称轴的抛物线过点 B （ 1） 求该抛物线的解析式 ； （ 2） 将 叠后得到点 B 的对应点 B，求证 ： 四边形 矩形， 并 判断点B是否在（ 1）的抛物线上 ； （ 3）延长 抛物线于点 E，在线段 取一点 P，过 P 点作 x 轴的垂线，交抛物线于点 F，是否存在这样的点 P，使四边形 平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，说明理由 变式练习：（ 2011 年苏州 28 题） 已知四边形 边长为 4 的正方形，以 直径在正方形内作半圆， P 是半圆上的动点（不与点 A、 B 重合），连接 (1)如图 ，当 长度等于 时， 60 ； 当 长度等于 时， 等腰三角形； (2)如图 ，以 所在直线为 x 轴、 所在直线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系（点 A 即为原点 O），把 面积分别记为 标为（ a， b），试求 2 3 最大值，并求出此时 a， b 的值 C B D 11 苏州中考题：（ 2011 年 29 题） 已知二次函数 2 6 8 0y a x x a 的图象与 x 轴分别交于点 A、 B，与 y 轴交于点 C点 D 是抛物线的顶点 (1)如图 ，连接 直线 折，若点 O 的对应点 O恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数 a 的值； (2)如图 ，在正方形 ，点 E、 F 的坐标分别是（ 4， 4）、（ 4， 3），边 于边右侧小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点 P 是边 边 的任意一点，则四条线段 能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）”若点 P 是边 边 的任意一点，刚才的结论是否也成立？请 你积极探索，并写出探索过程； (3)如图 ，当点 P 在抛物线对称轴上时，设点 P 的纵坐标 t 是大于 3 的常数，试问：是否存在一个正数 a，使得四条线段 一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由 12 六、初中数学中的最值问题 例 6 （ 2014海南）如图，对称轴为直线 x=2 的抛物线经过 A（ 1， 0）， C（ 0， 5）两点，与 x 轴另一交点为 B已知 M（ 0， 1）， E（ a， 0）， F（ a+1， 0），点 P 是第一象限内的抛物线上的动点 （ 1）求此抛物线的解析式 ； （ 2）当 a=1 时，求四边形 面积的最大值，并求此时点 P 的坐标； （ 3）若 以点 P 为顶点的等腰三角形，求 a 为何值时，四边形 长最小？请说明理由 变式练习 （四川省眉山市） 如图，已知直线 y21x 1 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，抛物线 y21x 2 c 与直线 y21x 1 交于 A、 E 两点，与 x 轴交于 B、 C 两点，且 B 点坐标为 (1， 0) （ 1） 求该抛物线的解析式； （ 2） 动点 P 在 x 轴上移动，当 直角三角形时，求点 P 的坐标 ； （ 3） 在抛物 线的对称轴上找一点 M，使 |值最大，求出点 M 的坐标 y x C B A D O E y 13 苏州中考题： （ 2012 江苏苏州， 27， 8 分）如图，已知半径为 2 的 O 与直线 l 相切于点 A，点 P 是直径 侧半圆上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 C， O 交于点 D，连接 长为 . 当 时，求弦 长度； 当 x 为何值时，的值最大？最大值是多少？ 4 七、定值的问题 例 7 （ 湖南省株洲市 ）如图，已知 直角三角形， 90， 点 A、 C在 x 轴上，点 B 的 坐标为 (3， m)(m 0)，线段 y 轴相交于点 D，以 P(1， 0)为顶点的抛物线过点 B、 D （ 1）求点 A 的坐标（用 m 表示）； （ 2）求抛物线的解析式； （ 3）设点 Q 为抛物线上点 P 至点 B 之间的一动点，连结 延长交 点 E，连结 C 于点 F，试证明： C 定值 变式练习： （ 2012 江苏苏州， 28， 9 分）如图，正方形 边 矩形 边 正方形 1cm/s 的速度沿 向移动，移动开始前点 A 与点 F 重合 终与边 合，连接 点 A 作 平行线交线段 点 P，连接 边长为 1形 边 长分别为 4x（ s），线段 长为 y（ 其中 . 试求出 y 关于 x 的函数关系式，并求出 y =3 时相应 x 的值； 记 面积为， 面积为，试说明是常数； 当线段 在直线与正方形 对角线 直时，求线段 长 . Ay x F A O D B P C E Q 15 苏州中考题： （ 2014 年 苏州）如图，二次函数 y=a（ 23其中 a， m 是常数，且 a 0， m 0）的图象与 x 轴分别交于点 A、 B（点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴交于 C（ 0， 3），点 D 在二次函数的图象上， 接 点 A 作射线 二次函数的图象于点 E， 分 （ 1）用含 m 的代数式表示 a； （ 2）求证： 为定值； （ 3）设该二次函数图象的顶点为 F，探索：在 x 轴的负半轴上是否存在点 G，连接 线段 长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点 G 即可，并用含 m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由 16 八、存在性问题（如：平行、垂直，动点，面积等） 例 8、 (2008年浙江省绍兴市 )将一矩形纸片 在平面直角坐标系中， (00)O ， ， (60)A ， ，(03)C ， 动点 Q 从点 O 出发以每秒 1 个单位长的速度沿 终点 C 运动，运动 23 秒时，动点 P 从点 A 出发以相等的速度沿 终点 O 运动当其中一点到达终点时，另一点也停止运动设点 P 的运动时间为 t （秒） （ 1）用含 t 的代数式表示 Q， ； （ 2）当 1t 时，如图 1，将 沿 折，点 O 恰好落在 上的点 D 处，求点 （ 1） 连结 将 沿 折，得到 ，如图 2问： 否平行？ 否垂直？若能，求出相应的 t 值；若不能，说明理由 变式练习： 如图，已知抛物线 y= 与 x 轴交于 A（ 1， 0）， B（ 3， 0）两点，与 ，抛物线的顶点为 P，连接 （ 1）求此抛物线的解析式； （ 2）在抛物线上找一点 D，使得 直，且直线 x 轴交于点 Q，求直线 （ 3）抛物线对称轴上是否存在一点 M，使得 SS存在，求出 M 点的坐标；若不存在，请说明理由 17 苏州中考题： （ 2015 年苏州 本题满分 10 分）如图，已知二次函数 2 1y x m x m （其中 0 m 1）的图像与 x 轴交于 A、 B 两点 （点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 l 设 P 为 对称轴 l 上的点，连接 C （ 1） 度数为 ； （ 2）求 P 点坐标（用含 m 的代数式表示）； （ 3） 在坐标轴上是否存在点 Q（与原点 O 不重合），使得以 Q、 B、 C 为顶点的三角形与 线段 长度最小 ？如果存在，求出所有满足条件的点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由 模拟试题： 在如图的直角坐标系中，已知点 A（ 1， 0）、 B（ 0， 2），将线段 点 0至 抛物线 y= x2+ 经过点 C （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）如图，将抛物线平移，当顶点至原点时，过 Q（ 0， 2）作不平行于 x 轴的直线交抛物线于 E、 F 两点，问在 y 轴的正半轴上是否存在一点 P，使 内心在 y 轴上？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 （ 3）在抛物线上是否存在一点 M，使得以 M 为圆心，以 为半径的圆与直线 切？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 27 题） 18 九、与圆有关的二次函数综合题： 例 9. 如图，已知二次函数 y= x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A、 B，与 y 轴交于点 C，其顶点为 D，且直线 解析式为 y=x+3 （ 1） 求二次函数的解析式； （ 2）求 接圆的半径及外心的坐标； （ 3）若点 P 是第一象限内抛物线上一动点，求四边形 面积最大值 变式练习： 如图，已知抛物线 y=a（ x 2） 2+1 与 x 轴从左到右依次交于 A、 B 两点，与 ，点 B 的坐标为（ 3， 0），连接 （ 1）求此抛物线的解析式； （ 2）若 P 为抛物线的对称轴上的一个动点，连接 点 P 的纵坐标表示为 m 试探究： 当 m 为何值时， |值最大？并求出这个最大值 在 P 点的运动过程中， 否与 等？若能，请求出 P 点的坐标；若不能，请说明理由 19 中考题训练： （ 2014黔南州）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（ 4， 1）的抛物线交 点，交 x 轴于 B， C 两点（点 B 在点 C 的左侧），已知 A 点坐标为（ 0， 3） （ 1）求此抛物线的解析式； （ 2）过点 B 作线段 垂线交抛物线于点 D，如果以点 C 为圆心的圆与直线 切，请判断抛物线的对称轴 l 与 C 有怎样的位置关系，并给出证明； （ 3）已知点 P 是抛物线上的一个动点，且位于 A， C 两点之间，问：当点 P 运动到什么位置时， 面积最大？并求出此时 P 点的坐标和 最大面积 苏州中考题：（ 2015 年 27 题） 如图，已知二次函数 2 1y x m x m （其中 0 m 1）的图像与 x 轴交于 A、 B 两点 （点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 l 设P 为 对称轴 l 上的点，连接 （ 1） 度数为 ； （ 2）求 P 点坐标（用含 m 的代数式表示）； （ 3） 在坐标轴上是否存在点 Q（与原点 O 不重合），使得以 Q、 B、 C 为顶点的三角形与 线段 长度最小 ？如果存在，求出所有满足条件的点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由 27 题） 20 十、其它（如新定义型题、面积问题等）： 例 10. 定义：若抛物线的顶点与 x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为： “美丽抛物线 ”如图，直线 l： y= x+b 经过点 M（ 0， ），一组抛物线的顶点 1， 2， 3， n， （ n 为正整数），依次是直线 l 上的点，这组抛物线与 x 轴正半轴的交点依次是： 0）， 0）， 0）， （ ，0）（ n 为正整数）若 x1=d（ 0 d 1），当 d 为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线 A 或 B 或 C 或 D变式练习： 物线 y=x 3 与 x 轴交于 A、 B 两点，（点 A 在点 B 左侧）与y 轴交于点 C，顶点为 D，直线 x 轴交于点 E （ 1）请你画出此抛物线，并求 A、 B、 C、 D 四 点的坐标； （ 2）将直线 左平移两个单位，与抛物线交于点 F（不与 A、 B 两点重合），请你求出F 点坐标； （ 3）在点 B、点 F 之间的抛物线上有一点 P，使 面积最大，求此时 P 点坐标及 （ 4）若平行于 x 轴的直线与抛物线交于 G、 H 两点，以 直径的圆与 x 轴相切，求该圆半径 （第 1 题） （第 2题） 2. 练习： （ 2015 河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为 “ 整圆 ” 如图，直线 l： 43y 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B， 0 ，点 P 在 x 轴上， P与 l 相切，当 P 在线段 运动时，使得 P 成为整圆的点 P 个数是（ ） A 6 B 8 C 10 D 12。 21 苏州中考题：（ 2015 年 26 题） 如图，已知 角平分线， O 经过 A、 B、 点 B 作 O 于点 E，连接 （ 1）求证： （ 2）若 面积为1S， 面积为2S，且2121 6 4 0 ，求 面积 模拟试题： 如图 所示 ，在平面直角坐标系中， M 过点 O 且与 y 轴、 x 轴分别交于 A、 物线 y=x2+bx+c 经过 A、 B 两点，点 C 与点 M 关于 x 轴对称，已知点 M 的坐标为（ 2， 2） （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）判断直线 M 的位置关系，并证明； （ 3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 的动点，判断是否存在以点 P、 Q、 A、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出相应的 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由 26 题） 22 参考答案： 例 1 【考点】二次函数综合题【分析】（ 1）根据 x 等于零时，可得 C 点坐标，根据 y 等于零时，可得 A、 B 的坐标，根据待定系数法，可得直线 斜率，根据平行线的斜率相等，可得平行 直线的斜率，根据直线与抛物线有一个交点，可得直线与抛物线联立所得的一元二次方程有一对相等的实数根，可得判别式等于零；（ 2）根据待定系数法，可得直线解析式，根据 E 点在线段 ，可设出 E 点坐标，根据 y 轴， F 在抛物线上，可得 F 点的坐标，根据两点间的距离，可得二次函数，根据二次函数性质，可得答案 【解答】解：（ 1）当 y=0 时， 2x 3=0，解得 1， ，即 A（ 1， 0）， B（ 3， 0） 当 x=0 时， y= 3，即 C（ 0， 3）设直线 解析式为 y=kx+b，直线 过点 B，点C，得 ： ，解得 ，设平行于 与抛物线只有一个交点的直线解析式为y=x+b，由题意，得 ： ， ，得 ： 3x 3 b=0，只有一个交点，得 ： =（ 3） 2 4（ b 3） =0，解得 b= ，与直线 行且与抛物线只有一个交点的直线解析式 y=x ； （ 2） y=2x 3，当 x= = =1 时， y= = 4， 即 D（ 1， 4），设直线 解析式是 y=kx+b， 图象过点 A、 D，得 ， 解得 ，直线 解析式是 y= 2x 2，线段 有一动点 E，过 E 作平行于 ，设 E 点坐标是（ x， 2x 2）， F 点坐标是（ x， 2x 3）， 1x1， 长是： y=（ 2x 2）（ 2x 3） = 。 当 x=0 时， 大 =1，即点 E 的坐标是（ 0， 2），当线段 得最大值时，点 E 的坐标是（ 0， 2） 【点评】本题考查了二次函数的综合题，利用了直线与抛物线相切，利用了一元二次方程 的判别式，两点间的距离公式，二次函数的性质，综合性较强 变式练习： 【考点】二次函数综合题 。 【专题】压轴题 【分析】（ 1）将 A 的坐标代入抛物线 y=a（ x 1） 2+3 （ a0）可得 a 的值，即可得到抛物线的解析式；（ 2）易得 D 的坐标，过 D 作 N；进而可得 长，根据平行四边形，直角梯形，等腰梯形的性质，用 t 将其中的关系表示出来，并求解可得答案；（ 3）根据（ 2）的结论，易得 等边三角形，可得 于 t 的关系式，将四边形的面积用 t 表示出来，进而分析可得最小值及此时 t 的值，进而可求得 长（ 4）分别利用当 当 出对应边比值相等，进而求出即可 【解答】解：（ 1） 抛物线 y=a（ x 1） 2+3 （ a0）经过点 A（ 2， 0）， 0=9a+3 ， a= ， y= （ x 1） 2+3 ； （ 2） D 为抛物线的顶点， D（ 1， 3 ），过 D 作 N，则 ， 23 =6， 0 当 P 时，四边形 平行四边形， ， t=6 当 ，四边形 直角梯形，过 O 作 H， ，则 （如果没求出 0可由 ） H=5， t=5， 当 A 时，四边形 等腰梯形，易证： P， D 2 2=4， t=4 综上所述：当 t=6、 5、 4 时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形； （ 3） D 为抛物线的顶点坐标为： D（ 1， 3 ），过 D 作 N，则 ， =6， 0， 0， B， 等边三角形则 C=， OP=t， t， 2t（ 0 t 3） 过 P 作 E，则 ， 63 （ 6 2t） t， =，当 时， 面积最小值为 ， （ 4）当 = ， ， ， 2t， OP=t， = ， 解得： t= ，当 = ，即 = ，解得： t= ， 故 t= 或 时以 O， P， Q 为顶点的三角形与 似 【点评】本题考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质、平行四边形、直角梯形、等腰梯形的判定等知识，将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题是考查重点 苏州中考题： 解：（ 1）如图 ，点 P 从 A B C D，全程共移动了 a+2含 a、 （ 2） 圆心 O 移动的距离为 2（ a 4） 题意，得 ： a+2b=2（ a 4） ， 点 P 移动 2 秒到达 B，即点 动了 P 继续移动 3s 到达 中点， 即点 移动了 = 由 解得 ， 点 P 移动的速度为与 O 移动速度相同， O 移动的速度为 = =4cm/s） 24 这 5 秒时间内 O 移动的距离为 54=20（ （ 3）存在这种情况， 设点 P 移动速度为 s， 动的速度为 s，由题意，得 = = = ， 如图： 设直线 于 E 点，与 于 F 点， 切于 G 点， 若 切，切点为 H，则 1H 易得 P 设 BP= DP= 20 x） ，由勾股定理，得 （ 20 x） 2+102=得 x=，此时点 P 移动的距离为 10+ = （ = ，即 = ， 64 当 O 首次到达 位置时， O 移动的距离为 14 此时点 P 与 O 移动的速度比为 = ， ， 此时 能相切； 当 O 在返回途中到达 置时， O 移动的距离为 2（ 20 4） 14=18 此时点 P 与 O 移动的速度比为 = = ，此时 好相切 点评： 本题考查了圆的综合题，（ 1）利用了有理数的加法，（ 2）利用了 P 与 O 的路程相等，速度相等得出方程组是解题关键，再利用路程与时间的关系，得出速度，最后利用速度乘以时间得出结果；（ 3）利用了相等时间内速度的比等于路程的比，相似三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，利用相等时间内速度的比等于路程的比是解题关键 例 2. 【考点】二次函数综合题【专题】压轴题；动点型 【分析】（ 1）设抛物线解析式为 y=已知坐标代入求出抛物线的解析式 （ 2）求出 S 的面积，根据 t 的取值不同分三种情况讨论 S 与 t 的函数关系式 25 （ 3）根据旋转的性质，代入解析式，判断是否存在 【解答】解：（ 1）方法一：由图象可知：抛物线经过原点，设抛物线解析式为 y=a0） 把 A（ 1， 1）， B（ 3， 1）代入上式得： ，解得 所求抛物线解析式为 y= x 方法二： A（ 1， 1）， B（ 3， 1）， 抛物线的对称轴是直线 x=2 设抛物线解析式为 y=a（ x 2） 2+h（ a0）把 O（ 0， 0）， A（ 1， 1）代入 得 ，解得 ， 所求抛物线解析式为 y= （ x 2） 2+ （ 2）分三种情况： 当 0 t2，重叠部分的面积是 S点 A 作 x 轴于点 F， A（ 1， 1）， 在 ， F=1， 5，在 ， OP=t， 5， Q=5= t S= 当 2 t3，设 点 G，作 x 轴于点 H， 5， 则四边形 等腰梯形，重叠部分的面积是 S 梯形 H=t 2， S= （ P） （ t+t 2） 1=t 1 当 3 t 4，设 于点 M，交 点 N，重叠部分的面积是 S 五边形 叠部分的面积是 S 五边形 梯形 S B（ 3， 1）， OP=t， N=t 3， S= （ 2+3） 1 （ 4 t） 2， S= t （ 3）存在 当 O 点在抛物线上时，将 O（ t， t）代入抛物线解析式，解得 t=0（舍去）， t=1； 当 Q 点在抛物线上时， Q（ t， t）代入抛物线解析式得 t=0（舍去）， t=2故