2011年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（四川卷解析版）

1 20112011 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 四川卷 解析版 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 四川卷 解析版 本试题卷分第一部分 选择题 和第二部分 非选择题 两部分 第 1 部分 1 至 2 页 第二 部分 3 至 4 页 共 4 页 考生作答时 须将答案打在答题卡上 在本试题卷 草稿纸上答题 无效 满分 150 分 考试时间 120 分钟 考试结束后 将本试题卷和答题卡一并交回 参考公式 如果事件A B互斥 那么 球是表面积公式 P ABP AP B 2 4SR 如果事件A B相互独立 那么 其中 R R 表示球的半径 P A BP AP B 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P 那么 3 4 3 VR n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中 R R 表示球的半径 1 kkn k nn P kC PP 第一部分 选择题 共 60 分 1 选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上 2 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目的要求的 1 若全集 1 2 3 4 5 M 2 4 N 则 MN A B 1 3 5 C 2 4 D 1 2 3 4 5 答案 B 解析 1 2 3 4 5 M 则 MN 1 3 5 选 B 2 有一个容量为 66 的样本 数据的分组及各组的频数如下 11 5 15 5 2 15 5 19 5 4 19 5 23 5 9 23 5 27 5 18 27 5 31 5 1l 31 5 35 5 12 35 5 39 5 7 39 5 43 5 3 根据样本的频率分布估计 大于或等于 31 5 的数据约占 A 2 11 B 1 3 C 1 2 D 2 3 答案 B 解析 大于或等于 31 5 的数据共有 12 7 3 22 个 约占 221 663 选 B 3 圆 22 460 xyxy 的圆心坐标是 A 2 3 B 2 3 C 2 3 D 2 3 答案 D 解析 圆方程化为 22 2 3 13xy 圆心 2 3 选 D 4 函数 1 1 2 x y 的图象关于直线y x对称的图象像大致是 2 答案 A 解析 1 1 2 x y 图象过点 0 2 且单调递减 故它关于直线y x对称的图象过点 2 0 且单调递减 选 A 5 x 3 是 x2 9 的 A 充分而不必要的条件 B 必要而不充分的条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要的条件 答案 A 解析 若x 3 则x 2 9 反之 若x 2 9 则3x 选 A 6 1 l 2 l 3 l 是空间三条不同的直线 则下列命题正确的是 A 12 ll 23 ll 13 ll B 12 ll 23 ll 13 ll C 233 lll 1 l 2 l 3 l 共面 D 1 l 2 l 3 l 共点 1 l 2 l 3 l 共面 答案 B 解析 由 12 ll 23 ll 根据异面直线所成角知 1 l 与 3 l 所成角为 90 选 B 7 如图 正六边形ABCDEF中 BACDEF A 0 0 B BE C AD D CF 答案 D 解析 BACDEFCDDEEFCF 选 D 8 在 ABC中 222 sinsinsinsinsinABCBC 则A的取值范围是 A 0 6 B 6 C 0 3 D 3 答案 C 解析 由 222 sinsinsinsinsinABCBC 得 222 abcbc 即 222 1 22 bca bc 1 cos 2 A 0A 故0 3 A 选 C 9 数列 an 的前n项和为Sn 若a1 1 an 1 3Sn n 1 则a6 A 3 44 B 3 44 1 C 44 D 44 1 答案 A 3 解析 由an 1 3Sn 得an 3Sn 1 n 2 相减得an 1 an 3 Sn Sn 1 3an 则 an 1 4an n 2 a1 1 a2 3 则a6 a2 44 3 44 选 A 10 某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人 有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重 量为 6 吨的乙型卡车 某天需运往A地至少 72 吨的货物 派用的每辆车需满载且只运 送一次 派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人 运送一次可得利润 450 元 派用的每辆乙 型卡车需配 1 名工人 运送一次可得利润 350 元 该公司合理计划当天派用两类卡车的 车辆数 可得最大利润为 A 4650 元 B 4700 元 C 4900 元 D 5000 元 答案 C 解析 设派用甲型卡车x 辆 乙型卡车y 辆 获得的利润为u 元 450350uxy 由题意 x y满足关系式 12 219 10672 08 07 xy xy xy x y 作出相应的平面区域 45035050 97 uxyxy 在由 12 219 xy xy 确定的交点 7 5 处取得最大值 4900 元 选 C 11 在抛物线 2 5 0 yxaxa 上取横坐标为 1 4x 2 2x 的两点 过这两点引一条割线 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 22 5536xy 相切 则抛物线顶点的坐标 为 A 2 9 B 0 5 C 2 9 D 1 6 答案 A 解析 令抛物线上横坐标为 1 4x 2 2x 的点为 4 114 Aa 2 21 Ba 则 2 AB ka 由22yxaa 故切点为 1 4 a 切线方程为 2 60axy 该直线又和圆相切 则 2 66 5 2 1 d a 解得4a 或0a 舍去 则抛物线为 22 45 2 9yxxx 定点坐标为 2 9 选 A 12 在集合 1 2 3 4 5 中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量 a b 从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形 记所有作成的 平行四边形的个数为n 其中面积等于 2 的平行四边形的个数为m 则 m n A 2 15 B 1 5 C 4 15 D 1 3 答案 B 解析 以原点为起点的向量 a b 有 2 1 2 3 2 5 4 1 4 3 4 5 共 6 个 可作平行四边形的个数 2 6 15nC 个 结合图形进行计算 其中由 2 1 4 1 2 1 4 3 2 3 4 5 确定的平行四边形面积为 2 共有 3 个 则 31 155 m n 选 B 4 第二部分 非选择题 共 90 分 注意事项 1 必须使用 0 5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答 作图 题可先用铅笔绘出 确认后再用 0 5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚 答在试题卷上无效 2 本部分共 10 小题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 13 9 1 x 的展开式中 3 x的系数是 用数字作答 答案 84 解析 9 1 x 的展开式中 3 x的系数是 63 99 84CC 14 双曲线 22 1 6436 xy 上一点P到双曲线右焦点的距离是 4 那么P到左准线的距离是 答案 16 答案 16 解析 离心率 5 4 e 设P到右准线的距离是d 则 45 4d 则 16 5 d 则P到左准线的距离等于 26416 16 105 15 如图 半径为 4 的球O中有一内接圆柱 当圆柱的侧面积最大时 球的 表面积与该圆柱的侧面积之差是 答案 32 解析 如图 设球一条半径与圆柱相应的母线夹角为 圆柱侧面积 24sin24cosS 32 sin2 当 4 时 S取最大值32 此时球的表面积与 该圆柱的侧面积之差为32 16 函数 f x的定义域为A 若 12 x xA 且 12 f xf x 时总有 12 xx 则称 f x为单函 数 例如 函数 f x 2x 1 x R 是单函数 下列命题 函数 2 f xx x R R 是单函数 指数函数 2xf x x R R 是单函数 若 f x为单函数 12 x xA 且 12 xx 则 12 f xf x 在定义域上具有单调性的函数一定是单函数 其中的真命题是 写出所有真命题的编号 答案 解析 对于 若 12 f xf x 则 12 xx 不满足 是单函数 命题 实际上是单 函数命题的逆否命题 故为真命题 根据定义 命题 满足条件 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题共 l2 分 本着健康 低碳的生活理念 租自行车骑游的人越来越多 某自行车租车点的收费标准 是每车每次租车不超过两小时免费 超过两小时的部分每小时收费标准为 2 元 不足 1 小时的部分按 1 小时计算 有甲 乙人互相独立来该租车点租车骑游 各租一车一次 5 设甲 乙不超过两小时还车的概率分别为 1 4 1 2 两小时以上且不超过三小时还车的 概率分别为 1 2 1 4 两人租车时间都不会超过四小时 分别求出甲 乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率 求甲 乙两人所付的租车费用之和小于 6 元的概率 本小题主要考查相互独立事件 互斥事件等概念及相关概率计算 考查运用所学知识和 方法解决实际问题的能力 解 分别记甲 乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A B 则 111 1 424 P A 111 1 244 P A 答 甲 乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为 1 4 1 4 记甲 乙两人所付的租车费用之和小于 6 元为事件C 则 1111111111113 4244222442444 P C 答 甲 乙两人所付的租车费用之和小于 6 元的概率为 3 4 18 本小题共 l2 分 已知函数 73 sin cos 44 f xxx x R R 求 f x的最小正周期和最小值 已知 4 cos 5 4 cos 5 0 2 求证 2 20f 本小题考查三角函数的性质 同角三角函数的关系 两角和的正 余弦公式 诱导公式 等基础知识和基本运算能力 函数与方程 化归与转化等数学思想 解析 7733 sin coscos sincos cossin sin 4444 f xxxxx 2sin2cosxx 2sin 4 x f x的最小正周期2T 最小值 min 2f x 证明 由已知得 4 coscossinsin 5 4 coscossinsin 5 两式相加得2coscos0 0 2 cos0 则 2 22 24sin20 4 f 19 本小题共 l2 分 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 BAC 90 AB AC AA1 1 延长A1C1至点P 使 C1P A1C1 连接AP交棱CC1于D 求证 PB1 平面BDA1 求二面角A A1D B的平面角的余弦值 本小题主要考查直三棱柱的性质 线面关系 二面角等基本知 识 并考查空间想象能力和逻辑推理能力 考查应用向量知识 解决问题的能力 解法一 连结AB1与BA1交于点O 连结OD C1D 平面AA1 A1C1 AP AD PD 又AO B1O OD PB1 又OD 面BDA1 PB1 面BDA1 6 PB1 平面BDA1 过A作AE DA1于点E 连结BE BA CA BA AA1 且AA1 AC A BA 平面AA1C1C 由三垂线定理可知BE DA1 BEA为二面角A A1D B的平面角 在 Rt A1C1D中 22 1 15 1 22 AD 又 1 115 1 1 222 AA D SAE 2 5 5 AE 在 Rt BAE中 22 2 53 5 1 55 BE 2 cos 3 AH AHB BH 故二面角A A1D B的平面角的余弦值为 2 3 解法二 如图 以A1为原点 A1B1 A1C1 A1A所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐 标系A1 B1C1A 则 1 0 0 0 A 1 1 0 0 B 1 0 1 0 C 1 0 1 B 0 2 0 P 在 PAA1中有 11 1 2 C DAA 即 1 0 1 2 D 1 1 0 1 AB 1 0 1 ADx 1 1 2 0 B P 设平面BA1D的一个法向量为 1 a b c n 则 11 11 0 1 0 2 ABac ADbc n n 令1c 则 1 1 1 1 2 n 11 1 1 1 2 1 00 2 B P n PB1 平面BA1D 由 知 平面BA1D的一个法向量 1 1 1 1 2 n 又 2 1 0 0 n为平面AA1D的一个法向量 12 12 12 12 cos 3 3 1 2 nn nn nn 故二面角A A1D B的平面角的余弦值为 2 3 20 本小题共 12 分 已知 n a是以a为首项 q为公比的等比数列 n S为它的前n项和 当 1 S 3 S 4 S成等差数列时 求q的值 当 m S n S l S 成等差数列时 求证 对任意自然数k m k a n k a l k a 也成等 差数列 本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题 解决问题的 能力 解 由已知 1n n aaq 因此 1 Sa 2 3 1 Saqq 23 4 1 Saqqq 当 1 S 3 S 4 S成等差数列时 143 2SSS 可得 32 aqaqaq 化简得 2 10qq 解得 15 2 q 若1q 则 n a的每项 n aa 此时 m k a n k a l k a 显然成等差数列 7 若1q 由 m S n S l S 成等差数列可得2 mln SSS 即 1 1 2 1 111 mln a qa qa q qqq 整理得2 mln qqq 因此 11 22 kmln k m kl kn k aaaqqqaqa 所以 m k a n k a l k a 也成等差数列 21 本小题共 l2 分 过点C 0 1 的椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率为 3 2 椭圆与x轴交于两点 0 A a 0 Aa 过点C的直线l与椭圆交于另一点D 并与x轴交于点P 直线AC与直线BD交于点Q I 当直线l过椭圆右焦点时 求线段CD的长 当点P异于点B时 求证 OP OQ 为定值 本小题主要考查直线 椭圆的标准方程及基本性质等基本知识 考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力 解 由已知得 3 1 2 c b a 解得2a 所以椭圆方程为 2 2 1 4 x y 椭圆的右焦点为 3 0 此时直线l的方程为 3 1 3 yx 代入椭圆方程得 2 78 30 xx 解得 12 8 3 0 7 xx 代入直线l的方程得 12 1 1 7 yy 所以 8 31 77 D 故 22 8 3116 0 1 777 CD 当直线l与 x轴垂直时与题意不符 设直线l的方程为 1 1 0 2 ykxkk 且 代入椭圆方程得 22 41 80kxkx 解得 12 2 8 0 41 k xx k 代入直线l的方程得 2 12 2 14 1 41 k yy k 所以D点的坐标为 2 22 814 41 41 kk kk 又直线AC的方程为1 2 x y 又直线BD的方程为 12 2 24 k yx k 联立得 4 21 xk yk 因此 4 21 Qkk 又 1 0 P k 所以 1 0 4 21 4OP OQkk k 故OP OQ 为定值 22 本小题共 l4 分 已知函数 21 32 f xx h xx 设函数F x 18f x x2 h x 2 求F x 的单调区间与极值 设a R 解关于x的方程 33 lg 1 2lg 2lg 4 24 f xh axhx 8 设 n N 证明 1 1 2 6 f n h nhhh n 本小题主要考查函数导数的应用 不等式的证明 解方程等基础知识 考查数形结合 函数与方程 分类与整合等数学思想方法及推理运算 分析问题 解决问题的能力 解 223 18 129 0 F xf xx h xxxx 2 312F xx 令 0F x 得2x 2x 舍去 当 0 2 x 时 0F x 当 2 x 时 0F x 故当 0 2 x 时 F x为增函数 当 2 x 时 F x