北京市海淀区2015-2016学年高二下期中考试数学理试题含答案

海淀区高二年级第二学期期中练习 数 学（理科） 校 班级 姓名 成绩 本试卷共 100分 0分钟 . 一、选择题：本大题共 8小题 , 每小题 4分 ,共 32分 . 在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 . 2 的虚部是 A. 2 B. 2 C. 2i D. 2i 误 的是（ ） A. 21( ) 2 B. (co s ) C. ( 1 x x D. (2 ) 2 3. 函数 () () 值 点 的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 )导函数 ( ) ( 2 ) x x x ，则 下列关系一定成立的是（ ） A. (2) 0f B. (0) (1) C. (2) (1) D. (2) (3) 5. 已知两个命题： :p “若复数 12,20，则 1z 2z .” :q “存在唯一 的一个 实 数对 ( , )得 i i(2 i) .” 其真假情况是（ ） q 假 B. p 假 q 假 C. p 假 q 真 D. p 真 q 真 6若小球 自由落体的运动方程为 21()2s t g 为常数），该小球在 1t 到 3t 的平均速度为 v ，在 2t 的瞬时速度为 2v ，则 v 和 2v 关系为（ ） A 2 B 2 C 2 D不能确定 原点斜率为 k 的直线与 曲线 交于两点 11( , )A x y ， 22( , )B x y . k 的取值范围是 1(0, )e. 1211 . 1x 2x 当12( , )x x x时， ( ) x kx x 先减后增且恒为负 . 以上结论中所有正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 2()f x a x b x c x d ，其 导函数 的 图象如图所示，则函数()能是（ ） 二、填空题：本大题共 4小题 , 每小题 4分 ,共 16分 +2_. 10 20 ( 3)x _. )1x ，则 ( )_ 12. 方程 ( 1) 1的解 的 个数为 _. O 答题 :本大题共 5小题 ,共 52分 . 解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 . 13.（本小题 12分） 已知 函数 23)( ，其 导函数 为 )( 部 分 值 如下表所示 ： x 2 0 1 3 4 8 ()24 8 0 90 根据 表中数据 ，回答下列问题： （ ） 实数 c 的值 为 _； 当 x _时， ()大值 （ 将答案填写在横线上 ） . （ ） 求实数 a ， b 的值 . （ ）若 () , 2)上单调递减，求 m 的取值范围 . 14.（本小题 10分） 如图，四棱锥 B 的底面 足 ， （ ）若 平面 证：平面 平面 （ ）求证：在平面 不存在直线与 行； 某同学用分析法证明第（ 1）问，用反证法证明第 （ 2）问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容 . （ ）证明 ：欲证平面 平面 只需证 _， 由已知 需证 _， 由已知 平面 C 所以平面 平面 （ ）证明：假设 _， 又因为 平面 所以 /面 又因为平面 面 所以 _， 又因为 ， 所以 平行四边形， 所以 E ，这与 _矛盾， 所以假设错误，原结论正确 . 15.（本小题 12分） ) x x （ aR ） . （ ）若函数 )(点 )1(,1( f 处的切线与直线 平行，求实数 a 的值及该切线方程； （ ）若对任意 的 ),0( x ，都有 1)( 立，求实数 a 的取值范围 . 16. （本小题 8分） 请阅读问题 1的解答过程，然后借鉴问题 1的解题思路完成问题 2的解答： 问题 1：已知数集 1 2 1 2, , 1 , 2a a a a a a n ： 对任意的 ,1i j i j n ，少有一个属于 A 14, 2,3, ，求14, 解： 对于集合中最大的数4a，因为4 4 4a a a，443 ，442 . 所 以44 43a , 42a 都 属于 该集合 . 又因为141 2 3 ，所以444 44 32. 所以4141aa a,442, 332，故141, 6. 问题 2：已知数集 1 2 1 2, , 0 , 2a a a a a a n ： 对任意的 ,1i j i j n ，数中至少有一个属于 A 集 14,1,3, ， 求14, 17. （本小题 10分） 已知函数 1( ) ( 0 )f x ，对于正数1x，2x， ，nx(n N+)，记12x x x L，如图，由点 (0,0) ， ( ,0)( , ( )f x， (0, ( ) 1, 2, , )L，都满足4( 1, 2, , )L . （ ）求1x； （ ） 猜想用 n 表示） ，并用数学归纳法证明 . 海淀区高二年级第 二 学期期 中 练习参考答案 , ( )f 数 学（理科） 、选择题：本大题共 8小题， 每小题 4分，共 32 分 . 、填空题：本大题共 4小题， 每小题 4分，共 16 分 . 10. 4 11. 21( 1)x 12. 1 三、解答题 :本大题共 5小题 ,共 52分 . 解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 . 13.（本小题 12分） （ ） 6， 3. （ ） 解： 2( ) 3 2f x a x b x c ， 由已知表格可得 (1) 8,(3) 0,解得 2,（ ） 解： 由（ ）可得 2( ) 2 4 6 2 ( 3 ) ( 1 )f x x x x x ， 由 ( ) 0可得 ( , 1)x (3, )U ， 因为 () , 2)上单调递减， 所以 仅需 21m 或者 3m ， 所以 m 的取值范为 3m 或 3m 14.（本小题 10分） （ ）证明 ：欲证平面 平面 只需证 平面 由已知 需证 C ， 由已知 平面 C 所以平面 平面 （ ）证明：假设 在 平面 存在直线与 行 ， 又因为 平面 所以 /面 又因为平面 面 所以 /E ， 又因为 ， 所以 平行四边形， 所以 E ，这与 2E 矛盾， 所以假设错误，原结论正确 . 15.（本小题 12分） （ ） 解： 11( ) x ， 0x 由已知可得 (1) 1 2 ，解得 1a 因为 (1) 1f ，所以在点 )1(,1( f 处的切线方程为 21（ ）解 1：若对任意 ),0( x ，都有 1)( 立，即 1 ln 成立 设 1 ， 2( ) x ， 令 ( ) 0，解得 2， 则 ( ), ( )g x g x 的情况如下： x 2(0,e) 2e 2(e ) () 0 () Z 所以 ()2(e ) ， 所以 ，依题意 只需 实数 a 满足 2 ， 故所求 a 的取值范围是 2( , e . 解 2：当 0a 时， ( ) 0恒成立，所以函数 ()0, ) 又因为 11( 1 ) l n ( 1 ) 1 1 ，所以不符题意，舍 当 0a 时，令 ( ) 0，得 1所以 ( ), ( )f x f x 随 x 的变化如下表所示： x 1(0, )a 1a 1( , )a () 0 () 所以 ()为 1() 所以，依题意 只需 11( ) l n ( ) 1 1 即可，解得 2 综上 ， a 的取值范围是 2( , e 16. （本小题 8分） 解： 对于集合中最大的数4a，因为4 4 4a a a，443 ，441 所以444 3a,4 1a,41 属于 该集合 又因为140 1 3 ，所以444 3a 4 1a 41所以1 4 4 0a a a,4 31a ,即140, 417. （本小题 10分） （ ）解： 由题意知， 12 ( ( ) ) 2 ( )i i i x f x x x ( 1, 2, , )L， 所以 12 ( 1, 2, , )令 i 1，得11112 ， 又 11，且 1x 0，故 1 1x （ ）解： 令 i 2，得22212 ， 又 2 1 2S x x ， 1 1x ，且2x 0，故2 21x ； 令 i 3，得33312 ， 又 3 1 2 3S x x x ， 1 1x ，2 21x ，且3x 0，故3 32x ； 由此猜想， 1nx n n (n N+)下面用数学归纳法证明： 当 n 1时， 1 1