数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题

1 高中数学课题研究 几何体与球切 接的问题几何体与球切 接的问题 纵观近几年高考对于组合体的考查 与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一 高考命题小题 综合化倾向尤为明显 要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力 才能顺利解答 从实际教学来看 这部分知识学生掌握较为薄弱 认识较为模糊 看到就头疼的题目 分析原因 除了这类题目的入手确实不 易之外 主要是学生没有形成解题的模式和套路 以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理 下面结合近几 年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究 以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路 力争 在这部分内容不失分 从近几年全国高考命题来看 这部分内容以选择题 填空题为主 大题很少见 首先明确定义 1 若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上 则称这个多面体是这个球的内接多面体 这个球是这个多面体的外接球 定义 2 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切 则称这个多面体是这个球的外切多面体 这个球是 这个多面体的内切球 1 球与柱体的切接球与柱体的切接 规则的柱体 如正方体 长方体 正棱柱等能够和球进行充分的组合 以外接和内切两种形态进行结合 通过球的半径和棱柱的棱产生联系 然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题 1 11 1 球与正方体球与正方体 如图所示 正方体 设正方体的棱长为 为棱的中点 为球的球心 常 1111 ABCDABC D a E F H GO 见组合方式有三类 一是球为正方体的内切球 截面图为正方形和其内切圆 则 二EFGH 2 a OJr 是与正方体各棱相切的球 截面图为正方形和其外接圆 则 三是球为正方体的EFGH 2 2 GORa 外接球 截面图为长方形和其外接圆 则 通过这三种类型可以发现 解决正方 11 ACAC 1 3 2 AORa 体与球的组合问题 常用工具是截面图 即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面 通过两个截面图的 位置关系 确定好正方体的棱与球的半径的关系 进而将空间问题转化为平面问题 2 1 正方体的内切球 如图 1 位置关系 正方体的六个面都与一个球都相切 正方体中心与球心重合 数据关系 设正方体的棱长为 球的半径为 这时有 ar2ra 2 正方体的外接球 如图 2 位置关系 正方体的八个顶点在同一个球面上 正方体中心与球心重合 数据关系 设正方体的棱长为 球的半径为 这时有 ar23ra 3 正方体的棱切球 如图 3 位置关系 正方体的十二条棱与球面相切 正方体中心与球心重合 数 3 据关系 设正方体的棱长为 球的半径为 这时有 ar22ra 例例 1 1 棱长为 1 的正方体的 8 个顶点都在球的表面上 分别是棱 1111 ABCDABC D OEF 1 AA 的中点 则直线被球截得的线段长为 1 DDEFO A B C D 2 2 1 2 1 2 2 思路分析 思路分析 由题意推出 球为正方体的外接球 平面截面所得圆面的半径得知直 11 AADD 1 2 22 AD R 线被球截得的线段就是球的截面圆的直径 EFO 解析 由题意可知 球为正方体的外接球 平面截面所得圆面的半径 11 AADD 1 2 22 AD R 直线被球截得的线段为球的截面圆的直径 11 EFAADD 面 EFO22R 点评 本题考查球与正方体 接 的问题 利用球的截面性质 转化成为求球的截面圆直径 1 21 2 球与长方体球与长方体 例例 2 2 自半径为的球面上一点 引球的三条两两垂直的弦 求的RMMCMBMA 222 MCMBMA 值 思路分析 思路分析 此题欲计算所求值 应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算 所以应引导学生构造熟悉 的几何体并与球有密切的关系 便于将球的条件与之相联 解析 以为从一个顶点出发的三条棱 将三棱锥补成一个长方体 则另外四MCMBMA ABCM 个顶点必在球面上 故长方体是球的内接长方体 则长方体的对角线长是球的直径 222 MCMBMA 22 4 2 RR 4 点评 此题突出构造法的使用 以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算 例例 3 3 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4 体积为 16 则这个球的表面积为 A 16 B 20 C 24 D 32 思路分析 思路分析 正四棱柱也是长方体 由长方体的体积 16 及高 4 可以求出长方体的底面边长为 2 可得长方体 的长 宽 高分别为 2 2 4 长方体内接于球 它的体对角线正好为球的直径 解析 正四棱柱也是长方体 由长方体的体积 16 及高 4 可以求出长方体的底面边长为 2 因此 长方体 的长 宽 高分别为 2 2 4 因为长方体内接于球 所以它的体对角线正好为球的直径 长方体体对角线 长为 故球的表面积为 故选 C 2 624 点评 本题考查球与长方体 接 的问题 利用长方体的性质 转化成为求其体对角线 2 2 球与锥体的切接球与锥体的切接 规则的锥体 如正四面体 正棱锥 特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合 以外接和内切两种形态 进行结合 通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系 然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题 2 12 1 正四面体与球的切接问题正四面体与球的切接问题 1 正四面体的内切球 如图 4 位置关系 正四面体的四个面都与一个球相切 正四面体的中心与球 心重合 数据关系 设正四面体的棱长为 高为 球的半径为 这时有 可以利用体积桥ahR 6 4 3 Rha 证明 2 正四面体的外接球 如图 5 位置关系 正四面体的四个顶点都在一个球面上 正四面体的中心与 球心重合 数据关系 设正四面体的棱长为 高为 球的半径为 这时有 可ahR436Rha 用正四面体高减去内切球的半径得到 h 5 3 正四面体的棱切球 如图 6 位置关系 正四面体的六条棱与球面相切 正四面体的中心与球心重 合 数据关系 设正四面体的棱长为 高为 球的半径为 这时有 ahR 6 432 3 Rha ha 例例 4 4 设正四面体中 第一个球是它的内切球 第二个球是它的外接球 求这两个球的表面积之比及体积之 比 思路分析 思路分析 此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系 第二个关键是两个球的半径之 间的关系 依靠体积分割的方法来解决的 解析 如图 正四面体的中心为 的中心为 则第一个球半径为正四面体的中心到ABCDOBCD 1 O 各面的距离 第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离 设 正四面体的一个面的面积为 ROArOO 1 S 6 依题意得 又 3 1 rRSV BCDA SrVV BCDOBCDA 3 1 44 即 rrR4 rR3 所以 9 1 4 4 2 2 R r 外接球的表面积 内切球的表面积 27 1 3 4 3 4 3 3 R r 外接球的体积 内切球的体积 点评 正四面体与球的接切问题 可通过线面关系证出 内切球和外接球的两个球心是重合的 为正四面 体高的四等分点 即定有内切球的半径 为正四面体的高 且外接球的半径 hr 4 1 hrR3 2 22 2 其它棱锥与球的切接问题其它棱锥与球的切接问题 球与正棱锥的组合 常见的有两类 一是球为三棱锥的外接球 此时三棱锥的各个顶点在球面上 根据截 面图的特点 可以构造直角三角形进行求解 二是球为正棱锥的内切球 例如正三棱锥的内切球 球与正三 棱锥四个面相切 球心到四个面的距离相等 都为球半径 这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面R 的距离 故可采用等体积法解决 即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积 球与一些特殊的棱锥进行组合 一定要抓住棱锥的几何性质 可综合利用截面法 补形法等进行求解 例如 四个面都是直角三角形的三棱锥 可利用直角三角形斜边中点几何特征 巧定球心位置 例例 5 5 正三棱锥的高为 1 底面边长为 正三棱锥内有一个球与其四个面相切 求球的表面积与体积 62 思路分析 思路分析 此题求解的关键是搞清球的半径与正三棱锥的高及底面边长的关系 由等体积法可得 得到 ABCOPBCOPACOPABOABCP VVVVV 26 332 32 R 解析 如图 球是正三棱锥的内切球 到正三棱锥四个面的距离都是球的半径 OABCP OR 7 是正三棱锥的高 即 是边中点 在上 1 PHBCHAE 的边长为 ABC 62262 6 3 HE3 PE 可以得到 23 2 1 PEBCSSS PBCPACPAB 36 62 4 3 2 ABC S 由等体积法 ABCOPBCOPACOPABOABCP VVVVV 得 RR 36 3 1 323 3 1 136 3 1 26 332 32 R 625 8 26 44 22 RS球 33 26 3 4 3 4 RV球 点评 球心是决定球的位置关键点 本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径来求出 RR 以球心的位置特点来抓球的基本量 这是解决球有关问题常用的方法 例例 6 6 若三棱锥的三条侧棱两两垂直 且侧棱长均为3 则其外接球的表面积是 思路分析 思路分析 此题用一般解法 需要作出棱锥的高 然后再设出球心 利用直角三角形计算球的半径 而作 为填空题 我们更想使用较为便捷的方法 三条侧棱两两垂直 使我们很快联想到长方体的一个角 马上 构造长方体 由侧棱长均相等 所以可构造正方体模型 解析 此题用一般解法 需要作出棱锥的高 然后再设出球心 利用直角三角形计算球的半径 而作为 填空题 我们更想使用较为便捷的方法 所以三条侧棱两两垂直 使我们很快联想到长方体的一个角 马 上构造长方体 且侧棱长均相等 所以可构造正方体模型 如图 1 则AC BC CD3 那么三棱锥 的外接球的直径即为正方体的体对角线 故所求表面积是9 如图 1 8 点评 此题突出构造法的使用 以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中计算问题 这是解决几何体 与球切接问题常用的方法 例例 7 7 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上 是边长为 1 的正三角形 是球的SABC OABC SCO 直径 且 则此棱锥的体积为 2SC A B C D 2 6 3 6 2 3 2 2 思路分析 思路分析 的外接圆是球面的一个小圆 由已知可得其半径 从而得到点到面的距离 由ABC OABC 为球的直径点到面的距离即可求得棱锥的体积 SCO SABC 解析 的外接圆半径为 点到面的距离为球的直径ABC 3 r 3 OABC 22 6 d 3 Rr SCO 点到面的距离此棱锥的体积为选 SABC 2 6 2d 3 1132 62 2 33436 ABC VSd A 点评 本题难度不大 主要是利用转化与化归思想 将棱锥高应用球的几何性质计算得到 3 3 球与球相切问题球与球相切问题 对于球与球的相切组合成复杂的几何体问题 要根据丰富的空间想象力 通过准确确定各个小球的球心的 位置 或者巧借截面图等方法 将空间问题转化平面问题求解 例例 8 8 已知有半径分别为2 3 的球各两个 且这四个球彼此相外切 现有一个球与此四个球都相外切 则此 球的半径为 思路分析 思路分析 结合图形 分析四个球的球心A B C D 的位置 知AD AC BD BC 5 AB 6 CD 4 设 AB 中点为 E CD 中点为F 连结EF 在 ABF 中可得 在 EBF 中可得 BF 21EF 2 3 由于对称性可得第五个球的球心O 在 EF 上 连结OA OD 设第五个球的半径为r 根据OE OF EF 建立的方r A D CB 图 1 A E D CB 图 2 9 程 解析 如图 设四个球的球心分别为A B C D 则AD AC BD BC 5 AB 6 CD 4 设 AB 中点为E CD 中 点为 F 连结EF 在 ABF 中求得BF 在 EBF 中求得EF 212 3 由于对称性可得第五个球的球心O 在 EF 上 连结OA OD 设第五个球的半径为r 则 OA r 3 OD r 2 于是 OE OF OE OF EF 2 22 33 6rrr 2 22 22 4rrr 平方整理再平方得 22 6 4 2 3rrrr 22 6 2 3 4rrrr 解得或 舍掉 故答案为 2 11 6036 0rr 6 11 r6 6 11 5 4 5 6 5 5 F E A C D B O 点评 本题通过分析球心的位置 根据它们构成的几何体特征 转化成平面几何中三角形边角关系 利用 方程思想得解 例例 9 9 把四个半径都是 1 的球中的三个放在桌面上 使它两两外切 然后在它们上面放上第四个球 使它与 前三个都相切 求第四个球的最高点与桌面的距离 思路分析 思路分析 关键在于能根据要求构造出相应的几何体 由于四个球半径相等 故四个球一定组成正四面体 的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和 2 解析 四球心组成棱长为 2 的正四面体的四个顶点 则正四面体的高 3 62 3 3 2 2 22 h 而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径 1 且三个球心到桌面的距离都为 1 故第四个球 的最高点与桌面的距离为 3 62 2 10 点评 本题难度不大 主要是利用转化与化归思想 将棱锥高应用球的几何性质计算得到 4 4球与几何体的各条棱相切问题球与几何体的各条棱相切问题 球与几何体的各条棱相切问题 关键要抓住棱与球相切的几何性质 达到明确球心的位置为目的 然后通 过构造直角三角形进行转换和求解 如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半 2 4 ra 例例 10 把一个皮球放入如图 10 所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内 使皮球的表面与 8 根铁丝都有接触点 则皮球的半径为 A l0cm B 10 cm3 C 10cm D 30cm2 思路分析 思路分析 根据题意球心 O 在图中 AP 上 过 O 作 BP 的垂线 ON 垂足为 N ON R OM R 由各个棱都 为 20 得到 AM 10 BP 20 BM 10 AB 设 在BPM 中 由10 2BPA Rt 得 在PAM 中 由 得 在ABP 222 BPBMPM 10 3PM Rt 222 PMAMAP 10 2PA Rt 中得 在ONP 中得 从而 在 10 22 sin 202 AB BP Rt sin ONR OPOP 2 2 R OP 2OPR OAM 中 由 建立方程即可得解 Rt 222 OMAOAM 22 10 22 100RR 解析 如图所示 由题意球心在 AP 上 球心为 O 过 O 作 BP 的 垂线 ON 垂足为 N ON R OM R 因为各个棱都为 20 所以 AM 10 BP 20 BM 10 AB 设 10 2BPA 在BPM 中 所以 在PAM 中 所以Rt 222 BPBMPM 10 3PM Rt 222 PMAMAP 11 在ABP 中 在ONP 中 所以10 2PA Rt 10 22 sin 202 AB BP Rt sin ONR OPOP 所以 在OAM 中 所以 解 2 2 R OP 2OPR Rt 222 OMAOAM 22 10 22 100RR 得 或 30 舍 所以 故选 B 10R 10 Rcm 点评 本题难度较大 主要是利用转化与化归思想 将问题转化成平面几何问题 应用三角形中的边角关 系 建立的方程 R 5 5球与旋转体切接问题球与旋转体切接问题 首先画出球及其它旋转体的公共轴截面 然后寻找几何体与几何体几何元素之间的关系 例例 11 求球与它的外切圆柱 外切等边圆锥的体积之比 思路分析思路分析 首先画出球及它的外切圆柱 等边圆锥 它们公共的轴截面 然后寻找几何体与几何体之间元 素的关系 解析 如图 等边为圆锥的轴截面 此截面截圆柱得正方形 截球面得球的大圆圆 SAB 11CDD C 1 O 设球的半径 则它的外切圆柱的高为 底面半径为 ROO 1 R2R ROOOB330cot 1 RROBSO33360tan 3 3 4 RV 球 32 22RRRV 柱 32 33 3 3 1 RRRV 锥 964 锥柱球 VVV 点评 本题充分利用轴截面 将问题转化成平面几何问题 应用三角形中的边角关系 建立与球半径的R 12 联系 例例 1212 在棱长为 1 的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切 1 求两球半径之和 2 球的半 径为多少时 两球体积之和最小 思