概率论课后习题一详解(修)答案

1 习习 题题 一一 A A 1 1 解解 1 若 有枚正面朝上 则 i i2 1 0 i 210 2 用表示 第一次投出点 第二次投出点 则 yxxy 6 2 1 yxyx 3 若 射击次才命中目标 则 为自然数集 i i 2 1 i Ni i N 2 2 解解 令表示 抽得一张标号为的卡片 则ii9 1 0 i 3 2 1 0 A 8 6 4 2 0 B 9 7 5 3 1 C 因此 8 6 4 3 2 1 0 BA 2 0 AB 9 7 5 3 1 CB 3 1 BA 8 6 4 AB BC CB 3 1 CBA 3 3 解解 1 或ABCCBA 2 或CBACBACBACBA CBCABA 4 4 判断下列结论是否正确 1 2 BAABABA AB BA 3 4 AB BA CB AC BA 解解 1 2 3 4 5 5 先用图示法简化下列各式 在利用定义或运算律证明 1 2 CBBA BABA 3 BABABA 解解 1 图示略 ACBCBBA 证明 CBBCBACBBA BACAB ACBAB ACBAB ACB 2 图示略 ABABA 证明 BABBAABABA BBBAA BAA A 3 图示略 ABBABABA 证明 BBABABAABABABABA ABABBA ABBBABABAAAB ABAB AB 6 6 先后抛两枚匀称的硬币 求至少出现一个正面的概率 解 4 3 AP 7 7 盒中有个白球 及个黑球 从中任取 求所取的球恰有个白球和个黑球的概率 abmn bman nm 解 mn ba m b n a C CC AP 8 8 盒中有个白球 及个黑球 从中任意接连取次 球被取出后不还原 求最后取出的球是白球的概ab1 kbak 1 率 解 ba a P PC AP k ba k baa 1 1 1 9 9 有封信随机地投入个邮筒 求下列事件的概率 rn 2 1 某指定个邮筒中各只有一封信 k rk 2 有个邮筒中各只有一封信 k rk 3 某指定的一个邮筒中恰有封信 rkk 解 因为每一封信都有个邮筒可供选择 所以封信投放到个邮筒共有种 nrn r n 1 某指定个邮筒中各只有一封信 其可能的总数为 于是 所求的概率为k rk krk r knkC r krk r n knkC P 1 2 有个邮筒中各只有一封信 其可能的总数为 于是 所求的概率为k rk krk r k n knkCC r krk r k n n knkCC P 2 3 某指定的一个邮筒中恰有封信 其可能的总数为 于是 所求的概率为 rkk krk r nC 1 r krk r n nC P 1 3 1010 从正整数 1 2 N 中有放回地抽取个数 求抽到的最大数恰好是的概率nk 解 所取数不大于 与 所取数不大于 的差额即 所取数的最大者 k1 kk 因此 所求的概率 p n nn N kk 1 1111 自前个正整数中随意取出两个数 求两个数之和是偶数的概率 np 解解 这是一道古典型概率的题 引进事件 取出的两个数之和是偶数 若为偶数 则自前个正整数中随意取出两个数 Akn2 n 有种不同取法 其中导致事件的有种 取到两个偶数 和 取到两个奇数 各种 因此 2 CnA 2 C2 k 2 Ck 1 2 2 C 2C 2 2 n n A n k P 若为奇数 则自前个正整数中随意取出两个数有种不同取法 其中导致事件的有种 取到两个偶12 knn 2 CnA 2 1 2 CC kk 数 的种 取到两个奇数 的种 因此 2 Ck 2 1 C k n n nn k A n kk 2 1 1 2 C CC 2 2 2 1 2 P 于是 两个数之和是偶数的概率为 为奇数 若 为偶数 若 n n n n n n p 2 1 1 2 2 1212 从双不同的手套中任取只 求其中恰有只配成双的概率 nk2 2kmm m 解 k n mkmk mn m n C CC p 2 2 2 2 2 13 解 设 A 每一个乘客等车时间不多于 2 分钟 乘客到该站时刻为 为前一列车开出时刻 为后一列车到达时 21 TTT 1 T 2 T 刻 由几何概型的概率得5 12 TT 2 2 TTA 5 2 AP 1414 设事件与互不相容 且 求 ABpAP qBP ABP BAP BAP BAP 解解 0 ABPqpBAP pBAP qpBAP 1 1515 盒中有 10 个球 6 个白球 4 个黑球 从中一次任取 3 球 求至少有一个白球的概率 解 记 至少有一个白球 则 均为黑球 A A 30 29 11 3 10 3 4 C C APAP 3 1616 投两颗匀称的骰子 求至少有一颗的点数大于 3 的概率 解 记 第 颗的点数大于 3 i Ai21 i 2 1 6 3 21 APAP 4 1 6 3 2 2 21 AAP 4 3 4 1 2 1 2 1 212121 AAPAPAPAAP 1717 设为事件 证明 CBA ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP CPBPAPCBAP 提示 利用两个事件的广义可加性 1818 将一枚硬币重复掷次 试求正面出现的次数多于反面出现的次数的概率 12 kn 解解 设 正面出现的次数多于反面 则 正面出现的次数不多于反面 由于掷的次数是奇数 可见 正面 A A12 kn A 出现的次数小于正面 于是 由对称性知和的概率相等 AA 2 1 AAPP 19 在某铁路编组站需要编组发往三个不同地区 和的各 2 节 3 节和 4 节车皮 假设编组的顺序是完全随机的 求发 1 E 2 E 3 E 往同一地区的车皮恰好相邻的概率 解解用乘法公式来解 引进事件 发往的车皮相邻 将发往和三个不同地区统一编组 且使发往同 i B i E 3 2 1 i 21 E E 3 E 一地区的车皮恰好相邻的总共有 3 6 种不同情形 其中每种情形对应 和的一种排列 且 6 种排列都是等可能的 因此 1 B 2 B 3 B 由乘法公式 有 6 321 BBBpP 1260 1 1 567 3 89 2 213121321 BBBBBBBBBPPPP 0048 0 210 1 1260 6 6 321 BBBP 2020 某市一项调查表明 该市有 30 的学生视力有缺陷 7 学生听力有缺陷 3 学生视力与听力都有缺陷 记 学生视力有缺陷 E 学生听力有缺陷 学生视力与听力都有缺陷 H EH 1 已知学生视力有缺陷 问他听力有缺陷条件概率 2 已知学生听力有缺陷 问他视力缺陷条件概率 3 随意找一个学生 他视力没有缺陷但听力有缺陷的概率 4 随意找一个学生 他视力有缺陷但听力没有缺陷的概率 5 随意找一个学生 他视力和听力都没有缺陷的概率 解 1 1 0 3 0 03 0 EP HEP EHP 2 7 3 07 0 03 0 HP EHP HEP 3 04 0 07 0 7 3 1 1 HPHEPHPHEPHEP 4 270030101 EPEHPHEP 5 66 0 1 1 EHPHPEPHEPHEPHEP 2121 10 件产品 其中 6 件合格品 4 件次品 从中依次取两次 取后不还原 求第二次才取到正品的概率 解 令 A 第一次取到正品 B 第二次取到正品 则 第二次才取到正品 BA 15 4 9 6 10 4 ABPAPBAP 2222 设 10 件产品中有 4 件不合格品 从中任意取两件 已知所取两件产品中有一件是不合格品 求另一件也不合格的概率 解 设任取两件恰有 件不合格品 i Ai2 1 i 5 1 1 2 10 2 6 2 10 2 4 21 2 21 212 212 C C C C AAP AP AAP AAAP AAAP 或 设表示第 件不合格 i Ai2 1i 4 5 1 1 2 10 2 6 2 10 2 4 21 21 2121 C C C C AAP AAP AAAAP 23 10 个考签中有 4 个难签 甲 已 丙 3 人依次参加抽签 不放回 求下列事件的概率 1 甲抽到难签 2 甲 已都抽到 难签 3 甲没抽到难签 已抽到难签 4 甲 已 丙都抽到难签 解 设分别表示甲 已 丙抽到难签 CBA 1 10 4 AP 2 15 2 9 3 10 4 ABPAPABP 3 15 4 9 4 10 6 ABPAPBAP 4 30 1 8 2 9 3 10 4 ABCPABPAPABCP 2424 盒中有一个红球和一个白球 先从盒中任取一球 若为红球 则试验终止 若取到白球 则把白球放回的同时再加进一个白球 然后再取下一球 如此下去 直到取得红球为止 求第次取到红球的概率n 解 设 第 次取球取得白球 i Aini 2 1 则 第次取到红球 nn AAAA 121 k 在第次取球时 盒中共有个白球和一个红球 所以kk 121nn AAAAP 1212211121 nnnn AAAAPAAAAPAAPAP 1 1 1 11 3 2 2 1 nnnn n 25 设是三个相互独立的随机事件 且 判断下列给定的四对事件是否相互独立 CBA 1 0 CP 1 与 2 与 BA CACC 3 与 4 与BA CABC 解 1 独立 2 不独立 3 独立 4 独立 2626 设 A B 相互独立 求下列条件概率 3 0 2 0 BPAP 1 2 3 4 BAABP BAAP BABAP BABAP 解 1 BAABP 22 3 BA P AB P 2 BAAP 11 5 BA P A P 3 BABAP 22 7 BA P BA P 4 BABAP 1 BA P BA P 27 一架飞机有二个发动机 向该机射击时 仅当击中驾驶舱或同时击中二个发动机时 飞机才被击落 又知击中驾驶舱概率为 击中每个发动机概率为 求飞机被击落的概率 解 记 击中驾驶舱 A 击中第一个发动机 B 击中第二个发动机 C 飞机被击落 E 则 BCAE ABCPBCPAPEP 因相互独立 得CBA 22 CPBPAPCPBPAPEP 28 甲 乙 丙 3 部机床独立的工作 流水线上 由一人看管 某段时间内各机床不需要看管的概率分别是 0 9 0 8 0 85 求下 列事件的概率 5 1 在这段时间内有机床需要看管 2 因机床看管不过来而停工 解 令分别表示甲 乙 丙机床不需要照顾 CBA 表示有机床需要看管E 表示机床看管不过来而停工F 则 ABCE CBACBACBACBAF 1 CPBPAPABCPABCPEP 11 388085080901 2 CBAPCBAPCBAPCBAPFP 0590 CPBPAPCPBPAPCPBPAPCPBPAP 29 某型号的高射炮 每门命中敌机的概率为 0 4 现若干门炮同时射击 欲以 99 的把握击中敌机 问至少要配置几门高射炮 解 设配置门炮同时射击 令 第 门射击命中 n i Aini 21 则 击中敌机 n i i A 1 n n i i n i i n i n i ii APAPAPAP 601111 1111 欲以 99 的把握击中敌机 须满足 990601 n 即 01060 n 029 22180 2 60 010 lg lg n 可见需要配置 10 门炮 才能以 99 把握击中敌机 30 用晶体管装配某仪表要用 128 个元器件 改用集成电路元件后 只要用 12 个就够了 如果每个元器件能用 2000 小时以上的概 率是 0 996 假如只有当每一个元器件都完好时 仪表才能正常工作 试分别求出上面两种场合下仪表能正常工作 2000 小时的概率 解 设事件为 仪表正常工作 2000 小时 事件为 第 个元器件能工作到 2000 小时 A i Ai 1 使用晶体管装配仪表时 应有 5990 9960 128 12821 12821 APAPAP AAAPAP 2 使用集成电路装配仪表时 应有 9530 9960 12 1221 1221 APAPAP AAAPAP 比较上面两个结果可以看出 改进设计 减少元器件数能提高仪表正常工作的概率 31 甲 乙两人进行乒乓球比赛 根据以往经验每局甲胜的概率为 问对甲而言 采取三局二胜制有利 还是采用五p 2 1 p 局三胜制有利 设各局胜负相互独立 解 采用三局二胜制最终甲获胜的概率为 pppp 12 22 1 采用五局三胜制最终甲获胜的概率为 232 4 32 3 3 2 1 1 ppCppCpp 而01213 22 12 ppppp 可见 采用五局三胜制对甲有利 3232 有甲 乙两口袋 甲袋中盛有两个白球 一个黑球 乙袋中盛有一个白球 两个黑球 由甲袋任取一球放入乙袋 再从乙袋任 取一球 1 求取到白球的概率 6 2 若从乙袋取出白球 问从甲袋中取到哪种颜色的可能性大 解 1 令 A 从甲袋中取出的是白球 B 从乙袋中取出的是白球 则 12 5 ABPAPABPAPBP 2 5 4 BP ABPAP BAP 5 1 BP ABPAP BAP 故从甲袋中取出的球是白球的可能性大 3333 玻璃杯成箱出售 每箱 20 只 设每箱含 0 1 2 只残品的概率分别为 0 8 0 1 和 0 1 顾客购买时 售货员随意取一箱 而 顾客随意查看 4 只 若无残品 则买下 否则 退回 求 1 售货员随意取一箱 顾客买下的概率 2 在顾客买下一箱中 没有残 品的概率 解 令 任取一箱中有 只残品 任取一箱 顾客买下 i Ai2 1 0 iB 已知 且不难算出80 0 AP10 1 AP10 2 AP 1 0 ABP80 1 ABP 19 12 2 ABP 1 由全概率公式得 BP940 2 0 ii i ABPAP 2 由逆概率公式得 850 00 0 0 BP ABPAP BP BAP BAP 3434 一大批产品 次品率为 0 1 每次任取一件 取后不还原 求三次中恰有两次取到次品的概率 解 0 027 122 323 9010 CBP 3535 某工厂每天用水量保持正常的概率为 求一周内用水量至少 5 天保持正常的概率 4 3 解 7440 4 1 4 3 4 1 4 3 4 1 4 3 077 7 166 7 255 7 CCCP B B 1 1 设有个质点 每个质点都以概率落入 个盒子中的每一个里 对质点和盒子在以下三种假定下 求事件 n N 1 NNn A 某预先指定的个盒中各含一质点 的概率 n 1 麦克斯韦尔 波尔茨曼 Maxwell Boltzmann 假定 n 个质点是可以分辨的 还假定每个盒子能容纳的质点数不限 2 包泽 爱因斯坦 Bose Einstein 假定 n 个质点是不可分辨的 还假定每个盒子至多只能容纳一个质点 3 费米 笛瑞司 Fermi Dirac 假定 n 个质点是不可分辨的 还假定每个盒子能容纳的质点数不限 解解 1 麦克斯韦尔 波尔茨曼 Maxwell Boltzmann 假定 n 个质点是可以分辨的 还假定每个盒子能容纳的质点数不限 n N n AP 2 包泽 爱因斯坦 Bose Einstein 假定 n 个质点是不可分辨的 还假定每个盒子至多只能容纳一个质点 n N C AP 1 3 费米 笛瑞司 Fermi Dirac 假定 n 个质点是不可分辨的 还假定每个盒子能容纳的质点数不限 n nN C AP 1 1 提示 从个不同的元素可重复任取个元素的组合数是 nr r rn C 1 2 假设事件的概率为 问BA 7 0 5 0 BAPP 1 在什么条件下概率最大 最大值等于什么 ABP 2 在什么条件下概率最小 最小值等于什么 ABP 7 解解 1 由于 可见 从而BABAAB BABAABPPPP min BAABPPP 由于 可见 BAPP 5 0 min ABAABPPPP 于是当概率时最大 5 0 ABP ABP 2 由加法公式可见 ABBABAPPPP BABAAB PPPP 显然当时 达到最小值 1 BAP ABP 2 01 BAABPPP 3 3 设事件满足 证明与独立 BA 1 0 AP1 0 BP1 BAPBAPAB 证明 因为 即 1 BAPBAP1 1 BP BAP BP ABP 则 1 BP ABPAP BP ABP 整理后 有 BPAPABP 因此 与独立 AB 4 证明 1 1n n A 23121 AAAAA 由可列可加性有 1n n AP 23121 APAPAPAPAP lim n n AP 2 1 1 1 n n AP 1n n AP lim n n n n APAP 1 1 lim n n AP 11 lim n n AP 5 假设在 6 张同样的卡片上分别写有 从 6 张同样的卡片先后随意取出两张 求后取出的数比先取出的数小的概率 6 2 1 解解 以和分别表示先后取出的卡片上的数 XY kYkXAYXA k 6 2 k 易见 先后取出两张卡片 总共有种不同情形 其中导致的相应为 1 2 3 4 5 种 于是 632 AAAA 3056 62 AA 2 1 30 15 30 5 30 4 30 3 30 2 30 1 632 AAAAPPPP 6 6 匹配问题 个战士的枪混放在一起 紧急集合时每个战士随意拿一支枪 问至少有一战士拿到自己枪的概率 n 解 令 第名战士拿到了自己的枪 由广义加法公式得到 i Aini 21 1 1 3 1 2 1 1 1 1 n AP n n n n 7 7 解 由题意知每回比赛与上回是独立的 令 甲胜 第一 二回甲胜 第一 二回各胜一局 B 1 A 2 A 2211 ABPAPABPAPBP 易知 1 1 ABP BPABP 2 故 BPBP 2 2 即 21 2 BP 8 8 8 解 设