基本不等式及其应用

精品文档 1欢迎下载 基本不等式及其应用基本不等式及其应用 1 基本不等式 ab a b 2 1 基本不等式成立的条件 a 0 b 0 2 等号成立的条件 当且仅当a b时取等号 2 几个重要的不等式 1 a2 b2 2ab a b R R 2 2 a b同号 b a a b 3 ab 2 a b R R 4 2 a b R R a b 2 a2 b2 2 a b 2 以上不等式等号成立的条件均为a b 3 算术平均数与几何平均数 1 设a 0 b 0 则a b的算术平均数为 几何平均数为 a b 2ab 2 基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数 也可以叙述为两个正数 的等差中项不小于它们正的等比中项 4 利用基本不等式求最值问题 已知x 0 y 0 则 1 若x y s 和为定值 则当x y时 积xy取得最大值 s2 4 精品文档 2欢迎下载 2 若xy p 积为定值 则当x y时 和x y取得最小值 2 p 选择题 选择题 设x 0 y 0 且x y 18 则xy的最大值为 A 80 B 77 C 81 D 82 解析 x 0 y 0 即xy 2 81 当且仅当x y 9 时 xy max 81 x y 2xy x y 2 若正数x y满足 4x2 9y2 3xy 30 则xy的最大值是 A B C 2 D 4 3 5 3 5 4 解析 由x 0 y 0 得 4x2 9y2 3xy 2 2x 3y 3xy 当且仅当 2x 3y时等号成立 12xy 3xy 30 即xy 2 xy的最大值为 2 若 2x 2y 1 则x y的取值范围是 A 0 2 B 2 0 C 2 D 2 解析 2 2x 2y 1 2x y 即 2x y 2 2 x y 2 2x y 1 4 若实数x y满足xy 0 则 的最大值为 x x y 2y x 2y A 2 B 2 C 4 2 D 4 2 2222 解析 精品文档 3欢迎下载 1 1 1 x x y 2y x 2y x x 2y 2y x y x y x 2y x2 4xy 2y2 x2 3xy 2y2 xy x2 3xy 2y2 1 x y 3 2y x 4 2 当且仅当 即x2 2y2时取等号 1 3 222 x y 2y x 若函数 x x 2 在x a处取最小值 则a等于 f x 1 x 2 A 1 B 1 C 3 D 4 23 解析 当x 2 时 x 2 0 f x x 2 2 2 2 4 当且仅当 1 x 2 x 2 1 x 2 x 2 x 2 即x 3 时取等号 即当f x 取得最小值时 x 3 即a 3 1 x 2 已知x y 0 2x 3 y 若 m 0 的最小值为 3 则m等于 1 2 1 x m y A 2 B 2 C 3 D 4 2 解析 由 2x 3 y得x y 3 x y 1 m 1 m 2 当且 1 2 1 x m y 1 3 1 x m y 1 3 y x mx y 1 3m 仅当 时取等号 1 m 2 3 解得m 4 y x mx y 1 3m 已知直线ax by c 1 0 b c 0 经过圆x2 y2 2y 5 0 的圆心 则 的最小值是 4 b 1 c A 9 B 8 C 4 D 2 解析 圆x2 y2 2y 5 0 化成标准方程 得x2 y 1 2 6 圆心为C 0 1 精品文档 4欢迎下载 直线ax by c 1 0 经过圆心C a 0 b 1 c 1 0 即b c 1 b c 5 4 b 1 c 4 b 1 c 4c b b c b c 0 2 4 当且仅当 时等号成立 4c b b c 4c b b c 4c b b c 由此可得b 2c 且b c 1 即b c 时 取得最小值 9 2 3 1 3 4 b 1 c 已知各项均为正数的等比数列 an 满足a7 a6 2a5 若存在两项am an使得 4a1 则 的 aman 1 m 4 n 最小值为 A B C D 3 2 5 3 9 4 25 6 解析 由各项均为正数的等比数列 an 满足a7 a6 2a5 可得a1q6 a1q5 2a1q4 q2 q 2 0 解得q 2 或q 1 舍去 4a1 qm n 2 16 2m n 2 24 m n 6 aman m n 5 5 2 1 m 4 n 1 6 1 m 4 n 1 6 n m 4m n 1 6 n m 4m n 3 2 当且仅当 时 等号成立 故 的最小值等于 n m 4m n 1 m 4 n 3 2 在等差数列 an 中 an 0 且a1 a2 a10 30 则a5a6的最大值是 A 3 B 6 C 9 D 36 解析 a1 a2 a10 30 5 a1 a10 30 即 精品文档 5欢迎下载 a1 a10 a5 a6 6 a5 a6 2 6 2 即a5a6 9 当且仅当a5 a6时取等号 a5a6a5a6 a5a6的最大值为 9 若实数a b满足 则ab的最小值为 1 a 2 bab A B 2 C 2 D 4 22 解析 依题意知a 0 b 0 则 2 当且仅当 即b 2a时 成立 1 a 2 b 2 ab 22 ab 1 a 2 b 即ab 2 ab的最小值为 2 1 a 2 babab 22 ab22 已知a 0 b 0 a b的等比中项是 1 且m b n a 则m n的最小值是 1 a 1 b A 3 B 4 C 5 D 6 解析 由题意知 ab 1 m b 2b n a 2a m n 2 a b 4 4 1 a 1 bab 若a b都是正数 则 的最小值为 1 b a 1 4a b A 7 B 8 C 9 D 10 解析 a b都是正数 5 5 2 9 当且仅当b 2a 0 时取 1 b a 1 4a b b a 4a b b a 4a b 等号 精品文档 6欢迎下载 已知a 0 b 0 若不等式 恒成立 则m的最大值为 3 a 1 b m a 3b A 9 B 12 C 18 D 24 解析 由 得m a 3b 6 3 a 1 b m a 3b 3 a 1 b 9b a a b 又 6 2 6 12 m 12 m的最大值为 12 9b a a b9 已知a 0 b 0 a b 则 的最小值为 1 a 1 b 1 a 2 b A 4 B 2 C 8 D 16 2 解析 由a 0 b 0 a b 得ab 1 则 2 2 当且仅当 即 1 a 1 b a b ab 1 a 2 b 1 a 2 b2 1 a 2 b a b 时等号成立 2 22 已知a 0 b 0 a b 2 则y 的最小值是 1 a 4 b A B 4 C D 5 7 2 9 2 解析 依题意 得 a b 5 5 2 1 a 4 b 1 2 1 a 4 b 1 2 b a 4a b 1 2 b a 4a b 9 2 当且仅当Error Error 即a b 时取等号 即 的最小值是 2 3 4 3 1 a 4 b 9 2 精品文档 7欢迎下载 若 log4 3a 4b log2 则a b的最小值是 ab A 6 2 B 7 2 C 6 4 D 7 4 3333 解析 由题意得Error Error Error Error 又 log4 3a 4b log2 log4 3a 4b log4ab 3a 4b ab 故 1 ab 4 a 3 b a b a b 7 7 2 7 4 当且仅当 时取等号 4 a 3 b 3a b 4b a 3a b 4b a3 3a b 4b a 若正数a b满足 1 则 的最小值是 1 a 1 b 1 a 1 9 b 1 A 1 B 6 C 9 D 16 解析 正数a b满足 1 b 0 解得a 1 同理可得b 1 1 a 1 b a a 1 1 a 1 9 b 1 1 a 1 9 a 1 2 6 当且仅当 9 a 1 即a 时等号成立 9 a a 1 1 1 a 1 1 a 1 9 a 1 1 a 1 4 3 最小值为 6 设 lnx 0 a b 若p f q f r f a f b 则下列关系式中正确的 f x ab a b 2 1 2 是 A q r p B q r p C p r q D p r q 解析 0 a b a b 2ab 精品文档 8欢迎下载 又 f x lnx在 0 上为增函数 故f f 即q p a b 2 ab 又r f a f b lna lnb lna lnb ln ab f p 故p r q 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2ab 已知函数 x p为常数 且p 0 若f x 在 1 上的最小值为 4 则实数p的值 f x p x 1 为 A 1 B 2 C D 9 4 7 4 解析 由题意得x 1 0 f x x 1 1 2 1 当且仅当x 1 时取等号 p x 1pp f x 在 1 上的最小值为 4 2 1 4 解得p p 9 4 填空题 填空题 已知x y R R 且x 4y 1 则xy的最大值为 解析 1 x 4y 2 4 xy 2 当且仅当x 4y 即Error Error 时 xy max 4xyxy 1 4 1 16 1 2 1 16 已知实数m n满足m n 0 m n 1 则 的最大值为 1 m 1 n 解析 m n 0 m n 1 m 0 n 0 m n 1 m 1 n 2 2 4 当且仅当m n 时 取得最大值 4 1 m 1 n 2 n m m n n m m n 1 2 1 m 1 n 精品文档 9欢迎下载 已知x 则 4x 2 的最大值为 5 4 f x 1 4x 5 解析 x0 则f x 4x 2 5 4x 3 2 3 1 5 4 1 4x 5 1 5 4x 当且仅当 5 4x 即x 1 时 等号成立 故f x 4x 2 的最大值为 1 1 5 4x 1 4x 5 函数y x 1 的最小值为 x2 2 x 1 解析 y x 1 x2 2 x 1 x2 2x 1 2x 2 3 x 1 x 1 2 2 x 1 3 x 1 2 2 2 3 x 13 当且仅当 x 1 即x 1 时 等号成立 3 x 1 3 函数y 的最大值为 x 1 x 3 x 1 解析 令t 0 则x t2 1 y x 1 t t2 1 3 t t t2 t 4 当t 0 即x 1 时 y 0 当t 0 即x 1 时 y 1 t 4 t 1 精品文档 10欢迎下载 t 2 4 当且仅当t 2 时取等号 y 即y的最大值为 当t 2 即 4 t4 1 t 4 t 1 1 5 1 5 x 5 时y取得最大值 若正数x y满足x 3y 5xy 则 3x 4y的最小值是 解析 由x 3y 5xy可得 1 3x 4y 3x 4y 5 1 5y 3 5x 1 5y 3 5x 9 5 4 5 3x 5y 12y 5x 13 5 12 5 已知x 0 y 0 x 3y xy 9 则x 3y的最小值为 解析 由已知得x x 0 y 0 yg 3 g x min x 3 a 故a的取值范围是 17 3 8 x 8 3 8 3 8 3 已知x 0 y 0 且 1 则x y的最小值是 1 x 2 y 解析 x 0 y 0 x y x y 3 3 2 当且仅当y x时取等号 1 x 2 y y x 2x y22 当x 1 y 2 时 x y min 3 2 222 函数y 1 2x x 0 的最小值为 3 x 解析 x0 则 取最小值时 a的值为 1 2 a a b 解析 a b 2 2 1 2 a a b 2 4 a a b a b 4 a a b a 4 a b 4 a a b a 4 a 精品文档 12欢迎下载 1 b 4 a a b a 4 a 当且仅当 时等号成立 b 4 a a b 又a b 2 b 0 当b 2a a 2 时 取得最小值 1 2 a a b 若当x 3 时 不等式a x 恒成立 则a的取值范围是 2 x 3 解析 设f x x x 3 3 2 x 3 2 x 3 x 3 所以x 3 0 故f x 2 3 2 3 x 3 2 x 32 当且仅当x 3 时等号成立 a的取值范围是 2 3 22 若对于任意x 0 a恒成立 则a的取值范围是 x x2 3x 1 解析 x 0 x 2 当且仅当x 1 时取等号 x x2 3x 1 1 3 x 1 x 1 x 则 即的最大值为 故a 1 3 x 1 x 1 3 2 1 5 x x2 3x 1 1 5 1 5 解答题 解答题 已知x 0 y 0 且 2x 5y 20 1 求u lgx lgy的最大值 精品文档 13欢迎下载 2 求 的最小值 1 x 1 y 解 1 x 0 y 0 由基本不等式 得 2x 5y 2 10 xy 2x 5y 20 2 20 xy 10 10 xy 当且仅当 2x 5y时 等号成立 因此有Error Error 解得Error Error 此时xy有最大值 10 u lgx lgy lg xy lg10 1 当x 5 y 2 时 u lgx lgy有最大值 1 2 x 0 y 0 1 x 1 y 1 x 1 y 2x 5y 20 1 20 7 5y x 2x y 1 20 7 2 5y x 2x y 7 210 20 当且仅当 时 等号成立 由Error Error 解得Error Error 5y x 2x y 的最小值为 1 x 1 y 7 210 20 专项能力提升专项能力提升 设x y均为正实数 且 1 则xy的最小值为 3 2 x 3 2 y A 4 B 4 C 9 D 16 3 解析 由 1 得xy 8 x y 3 2 x 3 2 y x y均为正实数 xy 8 x y 8 2 当且仅当x y时等号成立 xy 即xy 2 8 0 解得 4 即xy 16 xy的最小值为 16 xyxy 设正实数x y z满足x2 3xy 4y2 z 0 则当取得最大值时 的最大值为 xy z 2 x 1 y 2 z 精品文档 14欢迎下载 A 0 B 1 C D 3 9 4 解析 由已知得z x2 3xy 4y2 则 1 当且仅当x 2y时取等 xy z xy x2 3xy 4y2 1 x y 4y x 3 号 把x 2y代入 式 得z 2y2 2 1 1 2 x 1 y 2 z 1 y 1 y 1 y2 1 y 1 已知m 0 a1 a2 0 则使得 aix 2 i 1 2 恒成立的x的取值范围是 m2 1 m A 0 B 0 C 0 D 0 2 a1 2 a2 4 a1 4 a2 解析 m 2 当且仅当m 1 时等号成立 要使不等式恒成立 m2 1 m 1 m 则 2 aix 2 i 1 2 恒成立 即 2 aix 2 2 0 aix 4 a1 a2 0 Error Error 即 0 x 使不等式恒成立的x的取值范围是 0 4 a1 4 a1 已知x y R R 且满足x2 2xy 4y2 6 则z x2 4y2的取值范围为 解析 2xy 6 x2 4y2 而 2xy 6 x2 4y2 x2 4y2 2 x2 4y