21.1二次根式

22 1 二次根式二次根式 一 教学目标一 教学目标 1 了解二次根式的意义 2 掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题 3 掌握二次根式的性质 和 并能灵活应用 4 掌握二次根式的计算的运算法则 通过二次根式的计算培养学生的逻辑思维能力 5 通过二次根式性质 和 的介绍渗透对称性 规律性的 数学美 二 教学重点和难点二 教学重点和难点 重点 1 二次根的意义 2 二次根式中字母的取值范围 难点 确定二次根式中字母的取值范围 三 教学方法三 教学方法 启发式 讲练结合 四 教学过程四 教学过程 一 复习提问 1 什么叫平方根 算术平方根 2 说出下列各式的意义 并计算 通过练习使学生进一步理解平方根 算术平方根的概念 观察上面几个式子的特点 引导学生总结它们的被平方数都大于或等于零 其中 表示的是算术平方根 2 8 二 引入新课 我们已遇到的 这样的式子是我们这节课研究的内容 引出 新课 二次根式 定义 式子 叫做二次根式 对于 请同学们讨论论应注意的问题 引导学生总结 1 式子 只有在条件 a 0 时才叫二次根式 是二次根式吗 呢 若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零 因此字母范围的限制也是根式的 一部分 2 是二次根式 而 提问学生 2 是二次根式吗 显然不是 因此二 次 根式指的是某种式子的 外在形态 请学生举出几个二次根式的例子 并说明为什么 是二次根式 下面例题根据二次根式定义 由学生分析 回答 例 1 当 a 为实数时 下列各式中哪些是二次根式 分析 四个是二次根式 因为 a 是实数时 a 10 a2 1 不能保证是非负数 即 a 10 a2 1 可以是负数 如当 a 10 时 a 10 0 又如当 0 a 1 时 a2 1 0 因此 与 不是二次根式 例 2 x 是怎样的实数时 式子 在实数范围有意义 解 略 说明 这个问题实质上是在 x 是什么数时 x 3 是非负数 式子 有意义 例 3 当字母取何值时 下列各式为二次根式 1 2 3 4 分析 由二次根式的定义 被开方数必须是非负数 把问题转化为解不等 式 解 1 a b 为任意实数时 都有 a2 b2 0 当 a b 为任意实数时 是二 次根式 2 3x 0 x 0 即 x 0 时 是二次根式 3 且 x 0 x 0 当 x 0 时 是二次根式 4 即 故 x 2 0 且 x 2 0 x 2 当 x 2 时 是二次 根式 例 4 下列各式是二次根式 求式子中的字母所满足的条件 1 2 3 4 分析 这个例题根据二次根式定义 让学生分析式子中字母应满足的条件 进一步巩 固二次根式的定义 即 只有在条件 a 0 时才叫二次根式 本题已知各式都为二次根 式 故要求各式中的被开方数都大于等于零 解 1 由 2a 3 0 得 2 由 得 3a 1 0 解得 3 由于 x 取任何实数时都有 x 0 因此 x 0 1 0 于是 式子 是二次根式 所以所求字母 x 的取值范围是全体实数 4 由 b2 0 得 b2 0 只有当 b 0 时 才有 b2 0 因此 字母 b 所满足的条件是 b 0 三 小结 引导学生做出本节课学习内容小结 1 式子 叫做二次根式 实际上是一个非负的实数 a 的算术平方根的表达 式 2 式子中 被开方数 式 必须大于等于零 四 练习和作业 练习 1 判断下列各式是否是二次根式 分析 2 中 是二次根式 5 是二次根式 因为 x 是实 数时 x x 1 不能保证是非负数 即 x x 1 可以是负数 如 x 0 时 又如当 x 1 时 因此 1 3 4 不是二次根式 6 无意义 2 a 是怎样的实数时 下列各式在实数范围内有意义 16 2 2二次根式的乘法二次根式的乘法 陈媛慧 一 教学目标 1 会进行简单的二次根式的乘法运算 2 会利用积的算术平方跟的性质化简二次根式 二 教学重点 1 使学生正确理解 a 0 b 0 abab 2 正确运用 a 0 b 0 进行二次根式的化简abab 三 教学难点 1 在运用 a 0 b 0 时 注意 a 0 b 0abab 2 二次根式的化简 三 教学准备 电脑及 POWERPOINT 课件 实物投影仪 四 教学过程 一 复习 时间 5钟 师 我们上节课学习了二次根式的概念 现在我们来回顾一下 什么叫做二次根式 提问 学生 形如 a 0 的式子叫做二次根式 a 师 二次根式有什么性质呢 学生 1 0 a 0 2 2 a a 0 aa 师 上节课我们还学了一个重要的公式 有谁记得呢 学生 当 a 0时 a 当 a 0时 a 也就是说 2 a 2 a 2 a 二 新课引入 时间 30分钟 1 提出问题 时间 5分钟 A 二次根式的乘法 学校决定在每一间教室前面的长方形空地上都种植草皮 按国家教委和国家基建委规 定的标准 中学每间教室的使用面积为54平方米 假定教室是正方形的 那么教室的每边 长则为 米 也就是说长方形空地长为米 如果空地的宽为 米 问铺满一块546 长方形空地 需要购买多少平方米的草皮 POWERPOINT 分析 因为长方形的面积等于长 宽 所以草坪的面积为654 我们查表计算 和 的值 然后再相乘 虽然可以得到草场的面积 但是计算繁琐 又不能得到准确值 如果手边没有数学用表和计算器 就无法进行计算 因此 必须另想 其他计算办法 要想不查表又能算出草坪面积的准确值 就必须研究二次根式54和6的乘法 法则 因为 所以利用一个非负数平方根的平方等于它的本身 我们有 由上式得 a 0 b 0 abab 总结 引导学生自己得到文字表述 算术平方根的积 等于各个被开方数积的算术平方根 分析 也就是说 两个非负数算术平方根的积 等于他们积算术平方根 只要把 算术平 方根 五个字改成 平方 二个字便是乘方法则 可见二次根式的乘法则都可以并入乘方 的知识系统 2 例题讲解 时间 5分钟 大家看课本 P11 例题2 老师讲解 3 变式训练 时间 5分钟 大家拿出课堂练习本做一做 请四位同学上黑板写一写 例1 abababab3232332332 2 例2 yxyxxyxxyx 2 10 1 10 10 1 10 例4 1089 12 3 12 33 12 327 2 6 32 276 43 B 积的算术平方根 即二次根式的化简 1 例题讲解 时间 5分钟钟 由等式 a 0 b 0 也可以写成 a 0 b 0 abababab 我们可以利用它进行二次根式的化简 大家看课本 P11例三 老师讲解 最简二次根式 被开方数的因数是整数 因式是正式 被开方数中不含能开得尽的因数或因式 2 变式训练 时间 5分钟 大家拿出课堂练习本做一做 请四位同学上黑板写一写 例 3 化简 369481168116 例 4 化简babbbaba224 22232 三 课堂检验 时间 10 分钟 I 讲评 3 分钟 一课三练 P6 课前预习 答案 1 1 4 正确 5 错 理由 二次根式 a 0 a 6 错 理由 52516943 22 2 202 xx 3 5 5 1 x 因为 011 1 2 xxx II 课堂练习 10 分钟 做 一课三练 课堂练习 4 5 老师用 POWERPOINT 打出答案 大家对照改错 在做题时老师下班巡视 找出大多数同学都错的题目讲评 四 知识回顾 时间 1 分钟 乘法法则 1 算术平方根乘法的计算 abab 2 二次根式的化简 abab 五 作业 时间 1 分钟 1 P12练习1 2 2 一课三练 P7 8 课后测试 3 提高题 想一想 判断下列各式是否成立 10 522 6 321 1 2 3 4 3 2 2 3 2 2 8 3 3 8 3 3 15 4 4 15 4 4 3 2 3 3 2 3 积的算术平方根 教学目的 1 使学生掌握积的算术平方根的性质 a 0 b 0 baab 2 使学生会用积的算术平方根的性质对式子进行化简 3 使学生掌握 a a 0 并能加以初步应用以化简二次根式 2 a 教学分析 重点 会利用积的算术平方根的性质及简单的二次根式的乘法运算公式对一些式子进行化简 难点 二次根式中乘法与积的算术平方根的性质的关系及应用 教学方法 运用类比的方法 学习二次根式的乘法与积的算术平方根公式 并采用从具体到抽象的方法增强学生对 两公式的理解 教学过程 一 复习提问 1 什么叫二次根式 2 说出下列式子中字母或符号的意义 二 思考探究 1 思考 计算下列各式 观察计算结果 4994 16252516 用你发现的规律填空 并用计算器验算 提问 你能得到什么规律 老师引导学生进行总结 得出公式 0 b 0 a bab 用语言该怎样叙述 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根 学生根据公式试着进行计算 教师巡视检查 个别辅导 师述 我们知道等式有互逆性 把上面的公式反过来 就得到 0 b 0 aba b a 27 3 1 2 531 1 计算例 2000281161 32 4ba 224 yxx 12149 225 18 y4 1527 3 3x 22 8nm 32 16cab 积的算术平方根 等于积中各因式的算术平方根 例 2 化简 想一想 为什么 学生思考讨论后老师总结并强调 要注意 a 0 b 0 这个条件 因为只有 a b 都是非负数 公式才能 成立 本章中 如果没有特殊说明 我们可以将任何字母看成是非负数 例 3 化简 1 2 解法略 例 4 计算 1 2 3 2 3 147510 x3 xy 3 1 指导学生进行计算时 对于 这道题 可以让学生尝试把它变成以后再计算 让学生比14798 较两种方法的优劣 从而掌握较好的方法 提问 化简二次根式的一般有哪些步骤 引导学生总结 1 把被开方数分解因式 或因数 2 把各因式 或因数 积的算术平方根化为每个因式 或因数 的算术平方根的积 3 如果因式中有平方式 或平方数 应用关系式 a2 a a 0 把这个因式 或因数 开出来 将二次根式 化简 三 课堂练习 1 课本第 11 页练习 2 补充练习 化简 1 2 3 4 5 6 7 8 3 已知一个直角三角形的斜边 c 21 一条直角边 b 4 求另一条直角边 a 四 课堂小结 1 本节课学习了积的算术平方根和算术平方根的积 0 b 0 a bab 0 b 0 aba b 2 会利用积的算术平方根的性质 化简二次根式 3 会进行简单的二次根式的乘法运算 五 作业 P15 1 题 3 题 1 2 8116 1 解8116 3694 2000 2 5210 22 5210 22 5210 520 9 4 9 4 22 222 2 二次根式的除法二次根式的除法 学习目标 学习目标 了解二次根式的除法法则 会进行简单的二次根式除法运算 学习重点 学习重点 二次根式的除法法则 学习过程 学习过程 一 温故知新 一 温故知新 1 二次根式的性质 1 0 a 0 2 a 0 a 2 a 3 4 0 0 0 2 a a a aab 2 二次根式的乘法 ba 3 成立的条件是 33 2 xx 二 学习新知 二 学习新知 1 计算 1 2 8 4 64 16 4 64 2 9 225 9 225 3 81 25 2 81 25 2 小结 在第 1 小题的计算中 观察每个小题的左 右两边 你可以得到一个怎样的结论 并把结果写在下列横线上 用字母表示 3 例 4 计算 1 2 24 3 31 28 解 1 24 3 2 31 28 即时练习 计算 1 2 182 72 6 4 在第 2 小题的结论中 把等号左 右两边互换位置得到以下的结论 用字母表示 特别提醒 要时刻注意法则成立的条件 并与乘法法则进行比较 特别提醒 要时刻注意法则成立的条件 并与乘法法则进行比较 思考 当 a 0 b 时 成立 b a b a 5 例 5 化简 1 2 3 100 2 25 9 y x 解 1 2 3 100 2 25 9 y x 即时练习 1 2 9 49 2 2 4 a b c 三 巩固练习 三 巩固练习 A A 组 组 1 计算 并把结果化简 1 2 3 54 12 0 4 8 3 4 36 63 6 1 2 1 1 5 6 5 3 1 5 1 3 6 5 3 2 1 B B 组 组 化简 1 2 2 2 16 a cb 1785 四 作业四 作业 P12习题 21 2 第 2 题 五 预习 五 预习 1 最简二次根式满足的两个特点是 1 2 2 在二次根式的运算中 一般要把最后结果化为 第四课时 21 2 二次根式的乘除 2 学习目标 了解二次根式的除法法则 会进行简单的二次根式除法运算 学习重点 二次根式的除法法则 学习过程 一 温故知新 1 二次根式的性质 1 0 a 0 2 a 0 3 4 2 二次根式的乘法 3 成立的条件是 二 学习新知 1 计算 1 2 3 2 小结 在第 1 小题的计算中 观察每个小题的左 右两边 你可以得到一个怎样的结论 并把结果写在下列横线上 用字母表示 3 例 4 计算 1 2 解 1 2 即时练习 计算 1 2 4 在第 2 小题的结论中 把等号左 右两边互换位置得到以下的结论 用字母表示 特别提醒 要时刻注意法则成立的条件 并与乘法法则进行比较 思考 当 a 0 b 时 成立 5 例 5 化简 1 2 解 1 2 即时练习 1 2 三 巩固练习 A 组 1 计算 并把结果化简 1 2 3 4 5 6 B 组 化简 1 2 四 作业 P12 习题 21 2 第 2 题 五 预习 1 最简二次根式满足的两个特点是 1 2 2 在二次根式的运算中 一般要把最后结果化为 22 322 3 二次根式的加减法二次根式的加减法 2 2 第二课时 教学内容教学内容 利用二次根式化简的数学思想解应用题 教学目标教学目标 运用二次根式 化简解应用题 重难点关键重难点关键 讲清如何解答应用题既是本节课的重点 又是本节课的难点 关键点 教学方法教学方法 三疑三探三疑三探 教学过程教学过程 一 设疑自探一 设疑自探 解疑合探解疑合探 上节课 我们已经学习了二次根式如何加减的问题 我们把它归为两个步骤 第一步 先将二次根 式化成最简二次根式 第二步 再将被开方数相同的二次根式进行合并 下面我们研究三道题以做巩 固 自探自探 1 如图所示的 Rt ABC 中 B 90 点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 厘米 秒的速度向点 A 移 动 同时 点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 厘米 秒的速度向点 C 移动 问 几秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米 PQ 的距离是多少厘米 结果用最简二次根式表示 BA C Q P 分析 分析 设 x 秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米 那么 PB x BQ 2x 根据三角形面积公式就可 以求出 x 的值 21 世纪教育网 解 设 x 后 PBQ 的面积为 35 平方厘米 则有 PB x BQ 2x 依题意 得 x 2x 35 x2 35 x 1 2 35 所以秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米 35 PQ 5 22222 455 35PBBQxxx 7 答 秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米 PQ 的距离为 5厘米 357 自探自探 2 要焊接如图所示的钢架 大约需要多少米钢材 精确到 0 1m 分析 分析 此框架是由 AB BC BD AC 组成 所以要求钢架的钢材 只需知道这四段的长度 B AC 2m 1m4m D 解 由勾股定理 得 AB 2 2222 4220ADBD 5 BC 所需钢材长度为 21 世纪教育网 2222 21BDCD 5 AB BC AC BD 2 5 2 3 7 3 2 24 7 13 7 m 555 答 要焊接一个如图所示的钢架 大约需要 13 7m 的钢材 三 质疑再探 同学们 通过学习你还有什么问题或疑问 与同伴交流一下 三 质疑再探 同学们 通过学习你还有什么问题或疑问 与同伴交流一下 四 应用拓展四 应用拓展 若最简根式与根式是同类二次根式 求 a b 的值 同类二次根 3 43 a b ab 232 26abbb 式就是被开方数相同的最简二次根式 分析分析 同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后 被开方数相同 事实上 根式 不是最简二次根式 因此把化简成 b 才由同类二 232 26abbb 232 26abbb 26ab 次根式的定义得 3a b 2 2a b 6 4a 3b 解 首先把根式化为最简二次根式 232 26abbb b 232 26abbb 2 2 16 ba 26ab 由题意得 a 1 b 1 4326 32 abab ab 246 32 ab ab 五 归纳小结 师生共同归纳 五 归纳小结 师生共同归纳 本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题 六 作业设计六 作业设计 一 选择题一 选择题 1 已知直角三角形的两条直角边的长分别为 5 和 5 那么斜边的长应为 结果用最简二 次根式 A 5 B C 2 D 以上都不对2505 2 小明想自己钉一个长与宽分别为 30cm 和 20cm 的长方形的木框 为了增加其稳定性 他沿长 方形的对角线又钉上了一根木条 木条的长应为 米 结果同最简二次根式表示 A 13 B C 10 D 510013001313 二 填空题二 填空题 1 某地有一长方形鱼塘 已知鱼塘的长是宽的 2 倍 它的面积是 1600m2 鱼塘的宽是 m 结果用最简二次根式 2 已知等腰直角三角形的直角边的边长为 那么这个等腰直角三角形的周长是2 结果用最简二次根式 三 综合提高题三 综合提高题 1 若最简二次根式与是同类二次根式 求 m n 的值 2 2 32 3 m 2 12 410 n m 2 同学们 我们以前学过完全平方公式 a2 2ab b2 a b 2 你一定熟练掌握了吧 现在 我们又学 习了二次根式 那么所有的正数 包括 0 都可以看作是一个数的平方 如 3 2 5 2 35 你知道是谁的二次根式呢 下面我们观察 1 2 2 2 1 12 2 2 1 3 2 22222 反之 3 2 2 2 1 1 2 3 2 1 2 来源 21 世纪教育网 22222 132 2 2 求 1 2 3 你会算吗 32 2 42 3 412 4 若 则 m n 与 a b 的关系是什么 并说明理由 21 世纪教育网2ab mn 教后反思 教后反思 21 世纪教育网 22 322 3 二次根式的加减法二次根式的加减法 3 3 第三课时 教学内容教学内容 含有二次根式的单项式与单项式相乘 相除 多项式与单项式相乘 相除 多项式与多项式相乘 相除 乘法公式的应用 教学目标教学目标 含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用 21 世纪教育网 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除 乘方等运算 重难点关键重难点关键 重点 二次根式的乘除 乘方等运算规律 难点关键 由整式运算知识迁移到含二次根式的运算 教学方法教学方法 三疑三探三疑三探 教学过程教学过程 一 设疑自探一 设疑自探 解疑合探解疑合探 自探自探 1 学生活动 请同学们完成下列各题 1 计算 1 2x y zx 2 2x2y 3xy2 xy 2 计算 1 2x 3y 2x 3y 2 2x 1 2 2x 1 2 老师点评 这些内容是对八年级上册整式运算的再现 它主要有 1 单项式 单项式 2 单 项式 多项式 3 多项式 单项式 4 完全平方公式 5 平方差公式的运用 如果把上面的 x y z 改写成二次根式呢 以上的运算规律是否仍成立呢 仍成立 来源 21 世纪教育网 整式运算中的 x y z 是一种字母 它的意义十分广泛 可以代表所有一切 当然也可以代表二 次根式 所以 整式中的运算规律也适用于二次根式 自探自探 2 计算 1 2 4 3 2683622 分析分析 刚才已经分析 二次根式仍然满足整式的运算规律 所以直接可用整式的运算规律 自探自探 3 计算 1 6 3 2 55107107 分析 刚才已经分析 二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立 三 质疑再探 同学们 通过学习你还有什么问题或疑问 与同伴交流一下 三 质疑再探 同学们 通过学习你还有什么问题或疑问 与同伴交流一下 四 应用拓展四 应用拓展 已知 2 其中 a b 是实数 且 a b 0 xb a xa b 化简 并求值 1 1 xx xx 1 1 xx xx 分析分析 由于 1 因此对代数式的化简 可先将分母有理化 再通1x x1x x 过解含有字母系数的一元一次方程得到 x 的值 代入化简得结果即可 解 原式 2 1 1 1 xx xxxx 2 1 1 1 xx xxxx 2 1 1 xx xx 2 1 1 xx xx x 1 x 2 x 2 1 x x 1 x x 4x 2 2 b x b 2ab a x a bx b2 2ab ax a2 来源 21 世纪教育网 xb a xa b a b x a2 2ab b2 a b x a b 2 a b 0 x a b 原式 4x 2 4 a b 2 五 归纳小结 师生共同归纳 五 归纳小结 师生共同归纳 本节课应掌握二次根式的乘 除 乘方等运算 六 作业设计六 作业设计 一 选择题一 选择题 1 3 2 的值是 2415 2 2 3 2 A 3 B 3 20 3 33030 2 3 3 C 2 D 30 2 3 3 20 3 330 2 计算 的值是 x1x x1x A 2 B 3 C 4 D 1 二 填空题二 填空题 1 2的计算结果 用最简根式表示 是 21 世纪教育网 1 2 3 2 2 1 2 1 2 2 1 2的计算结果 用最简二次根式表示 是 333 3 若 x 1 则 x2 2x 1 21 世纪教育网2 4 已知 a 3 2 b 3 2 则 a2b ab2 22 三 综合提高题三 综合提高题 1 化简 57 10141521 2 当 x 时 求 的值 结果用最简二次根式表示 1 21 2 2 1 1 xxx xxx 2 2 1 1 xxx xxx 教后反思 教后反思 第第 2222 章章 二次根式复习教案二次根式复习教案 二次根式二次根式 2 a的意义 一 的意义 一 目的要求 1 使学生通过本章的引言了解学习的必要性 明确学习目的 增强数形结合和用数学的意识 2 使学生了解二次根式的概念 能根据二次根式的概念 求出二次根号下的一次式中字母的取值范围 教学重点 会求出二次根号下的一次式中字母的取值范围 教学难点 理解二次根式的概念 教学方法 启发式 教学过程 复习提问 1 什么叫代数式 举出代数式的例子 2 16是一个数吗 是一个有理数 是一个实数 是一个式子 是一个代数式 呢 3 什么是勾股定理 在直角三角形中 已知两条直角边为 3 和 4 那么斜边长为多少 新课讲解 在前一章中 我们已经遇到过16 0 a这样的式子 知道符号 叫做二次根号 二 次根号下的数叫做被开方数 因为在实数范围内 负数没有平方根 所以被开方数只能是正数或 0 也 就是说 被开方数只能是非负数 一般的 式子a a 0 叫做二次根式 由于二次根式的被开方数只能取非负值 因此二次根式要有意义就必须被开方数大于等于 0 从形式上看 二次根式必须具备以下两个条件 1 必须有二次根号 2 被开方数不能小于 0 例 1 x 是怎样的实数时 式子3 x在实数范围内有意义 解 由 x 3 0 得 x 3 当 x 3 时 式子3 x在实数范围内有意义 课堂练习 教科书第 171 页 练习 1 代数同步精练 42 页第 1 2 题 补充例题 例 x 是怎样的实数时 下列各式实数范围内有意义 1 2 1 x 2 1 1 x 解 1 由 2 1 x 0 解得 x 取任意实数 当 x 取任意实数时 二次根式 2 1 x在实数范围内都有意义 2 由 x 1 0 且 x 1 0 解得 x 1 当 x 1 时 二次根式 1 1 x 在实数范围内都有意义 课堂练习 教科书第 172 页 B 组 1 题 代数同步精练 43 页 第 4 题 课堂小结 这节课我们介绍了本章可以解决的一些新问题和二次根式的概念 课外作业 教科书第 172 页 11 1 A 组 1 2 题 代数同步精炼 第 42 页 第 3 题 二次根式二次根式 2 a的化简 二 的化简 二 目的要求 1 使学生复习和巩固二次根式 2 a性质 0 0 2 aa aa aa 2 使学生会根据二次根式 2 a性质以及积的算术平方根的性质化简某些二次根式 被开方数除了含 有二项式的完全平方外 不含其他加减运算 教学重点 二次根式 2 a性质以及运用 教学难点 二次根式 2 a性质的运用 教学方法 教学过程 复习提问 1 二次根式 2 a有什么性质 2 怎样运用二次根式 2 a的性质化简二次根式呢 3 设 x 为任意实数 下面的化简对吗 如果不对 应怎样改正 1 xa 2 2 24 xa 3 36 xa 4 化简 1 2 37 2 2 6 1 5 3 nm281 m 0 4 6 48t t 0 5 把第 4 题第 3 4 小题中的限定条件 m 0 和 t 0 去掉 这两个小题的 答案是什么 新课讲解 1 请同学们看教科书第 208 页上的 例 2 分析 当 a 3 时 a 3 0 被开方数是一个负数的平方 所以可以运用二次根式 的 性质将原式进行化简 即 2 a 2 3 x a 3 a 3 3 a 注意 在解这道题时 要防止学生出现 2 3 x a 3 a 3 2 例 2 还有其他解法吗 当 m 0 时 m 的相反数是大于 0 还是小于 0 当 m n 0 时 m n 的相反数是什么 那么 n m 0 另外 根据 m n 2 n m 2 这就启发我们用 一种新的解 法 课堂练习 教科书第 209 页上的练习 课堂小结 在这节课里 我们复习和巩固了二次根式 2 a的性质 并利用这一性质以及积的算术平方根的性 质对某些二次根式进行了化简 在化简时 一定要弄清题目中对被开放数所含字母怎样取值的限制条件 如果被开方数是一个二项式的完全平方 也可以利用以下公式来进行化简 a b 2 b a 2 也就是说 把取负值的 a b 换成正值的 b a 或者把 b a 换成正值的 a b 经过这样一交换 我们就可以直接运用 x x 0 的性质 课外作业 教科书习题 11 7A 组的第 1 题和第 2 题 在这些题目中 除了特别规定的以外 所有字母都表示正数 二次根式二次根式 2 a的性质 三 的性质 三 目的要求 1 使学生复习 巩固和掌握二次根式 2 a的性质 2 a a 0 0 aa aa 2 使学生会根据二次根式 2 a的性质以及积与商的算术平方根的性质对某些稍复杂的二次根式进行化 简 教学重点 复习 巩固和掌握二次根式 2 a的性质 教学难点 复习 巩固和掌握二次根式 2 a的性质运用 教学过程 复习提问 1 二次根式 2 a有什么性质 2 化简 1 2 1514 2 2 4 1 3 1 3 2 14 3 4 2 732 1 3 3 化简 1 2 nmnm 2 2 44 2 aaa 3 5 2510 2 mmm 4 3 1 144 2 bbb 新课讲解 1 请同学们看教科书第 208 页上的例 3 分析 这道题中的被开方数是一个分式 经过认真观察 可以发现分母 1 2x x 是一个二项式 的完全平方 即 2 1 x 再看题目对于被开方数所含字母怎样取值的限制条件 即 x 1 所以我们 不妨把 2 1 x 改写成 2 1 x 于是得到本题的解法 解 x 1 x 0 x 1 0 1 2 1 2 1 2 21 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x xx x 要求学生注意以下两点 1 当被开方数是一个分式时 通常先将这个分母和分子进行因式分解 然后运用商与积的算术 平方根的性质和二次根式 2 a的性质进行化简 这样做 就能有效地防止出错 为了简便和减少错误 还可以利用 2 ba 2 ab 3 ba 3 ab 等公式 2 在例 3 中 经过对题目的观察 要同时运用商与积的算术平方根的性质 还要用运用 x 0 与 x 1 0 这两个条件 x 0 与 x 1 0 这两个条件缺一不可 要在解的过程中通过推理确认 这两个条件是具备的 x 1 x 0 x 1 0 这个推理步骤必须写出来 课堂练习 教科书 209 页上的练习 课堂小结 在这节课里 我们再次复习和巩固二次根式 2 a的性质 并利用这一性质以及商与积的算术平方根的 性质对某些稍复杂的二次根式进行了化简 在化简时 一定把被开方数进行因式分解 而且要注意题目 中对被开方数所含字母怎样取值的限制条件 并善于利用 2 ba 2 ab 3 ba 3 ab 等公式 就能使化简过程简便一些 并且少出错误 课外作业 教科书习题 11 7 A 组 第 2 题 商商 的算术平方根的性质的算术平方根的性质 教学目的 使学生通过学习 商 的算术平方根的性质 进一步加深对二次根式意义的理解 初步掌握 被开方数 中含有分母的二次根式 的化简 提高运算能力 观察分析问题的能力 通过向学生渗透 转化 类比 等数学思想 培养学生发现知识 归纳推理的能力 教学重点 学习 被开方数中含分母 分母中不含字母 的二次根式的化简 教学难点 化去根式内的分母 教改实验设想 根据教学过程的 普遍性和特殊原理 通过学生在课堂上有效学习实践活动设计 贯彻 主体参与 分层指导 及时反馈 激励评价 原则 创设学习情境 优化学习过程 提高学习效率 探索代数课教 学中 公式 性质 课的素质教育型课堂教学模式 教学过程 教 学 环 节 学习内容教师活动学生活动 学生智 能 心 的培养与发展 设 1 回忆已学过的有关二次根式 的内容 公式 1 0 2 aaa 公式 2 aa 2 任何实数 上述公式的特点 从左至右 削去 性质 积的算术平方根 0 0 babaab 推论 0 0 2 yxyxyx 提问 板书 回忆思考 举手回答 重点由 C 组学生回答 其他组学生 准备补充 复习巩固旧知识 做好学习新内容 的知识及心理准 备 设 2 求 问题 1 已知 甲正方形和乙正 方 形的面积 分别为 3 和 5 求 甲乙两个正方形边长的比 设甲的边长为 x 乙的边长为 y 解 方法 1 5 3 y x 方法 2 5 3 y x 5 3 5 3 问题 2 计算 16 9 16 9 25 121 25 121 问题 3 1 从以上问题中能发现什 么 答案 0 0 ba b a b a 2 怎么证明这个发现 1 证明 当 0 0 ba时 b a b a 2 b a b a 2 22 b a b a b a b a 放投影片 指导学生思 考并填写投 影片 板书 板书 思考并 举手回答问 题 1 由 A B 组同学 答 问题 2 由 C 组同学 答 问题 3 由同学举手 回答 通过具体实 例感知新知识 对 新知识发生兴趣 通过类比联 想发现知识 渗 透转化思想 培养 推理能力 使发 现上升为理性认 识 练 1 直观上看 你认为这个等式有 什么作用呢 计算 你认为可以 引导学 生由简单到 由学生举手 发言 注意 巩固知识 加深认识 提高 2 创 1 练 2 创 2 练 3 什么计算题 请几个同学每人出 一个题 大家来计算 类型及难度 仿张士充实验教材 86 例 1 2 针对上面出现的如 5 3 5 3 问 如何能消去分母中 的根号呢 最好从开始采取措施 方法示意 5 15 55 53 5 3 如何用等式概括上述方法的过 程 ab b b ba b a1 2 练习 1 化去下列各式中根号内的 分母 2 1 3 2 5 1 1 8 9 30 问题 为什么 8 9 的分子 分母 同乘以 2 而不乘以 8 练习 2 化去下列各式中根号内的 分母 a b 2 a b 2 3 2 b9 25 2 5x y 3 3 a a ba 较复杂出 5 个题 并板 书 带领同 学评判黑板 上的习作 提出 问题 下去 加入小组讨 论 发现结 果 板 书 放投 影片 指导 个别差生 带领学生评 判 引导学生发 言 放投影 片提问 C 组 学生 领全 班校对答案 多让 C 组学 生发言 全班在练习 本上练习 5 位同学到黑 板上做 学生发言 小组讨论 小组代表发 言 处理上 面遗留题 个别学生 举手发言 全班在 练习本上做 5 位同学上 黑板 学生思 考举手发言 除 C 组外 的学生完成 这个练习 C 组同学由老 师带领做实 材4 89P 兴趣 引起注意 激发积极性 加深对知识 的理解 扩大性质 的作用 渗透转化 思想 完善认知 结构 巩固知识 提高计算能力与 技巧 巩固方法形成技 能 结 学习内容 给出名称 注意 化去分母应乘以 最小数 学生 举手 发言 整理知识 形成认知结构 凑成最小平方数 分母经开方后 到外仍 做 分母 3 要求学生 结合自己实 际情况 出难易程度不同的 5 道 题 课前发纸 课后检查 每个学 生自己出 5 个小题自做 交小组长批 阅 以小组 为单位上交 检查学习效果 增强自主学习意 识 布 置 作 业 4 89 p 自己课后炼熟 2 1 90 p 中的单数题 板书安排 投影屏 幕 所占部 分 证明 练习 复习 公式 1 2 性质 1 推论 性质 2 课前准备 书写投影片 准备验收用纸 注 本人将这个班的学生在数学学习方面分为 A 组 优秀生 B 组 一般学生 和 C 组 学 习困难生 10 人左右 三组 以便分层指导 1 实际课堂上学生樊小光又提出了下列作法 证明 根据 baab ab b a b b a ab b a b a b a 2 实际教学中 学生出的题 8 3 5 2 2 1 1 2 5 a b 22 22 2 2 baba baba 三 对教学设计的评价 对本教学模式的教学设计拟从以下几个方面给予评价 满分 100 分 1 教学目标的确定 10 其中 知识 0 4 能力 0 4 德育 0 2 2 教学过程的设计 60 1 教学内容及重点 难点的确定 10 2 教师活动的设计 10 学生活动的设计 20 学生心理 能力发展内容的设定 10 3 教学手段的运用 10 3 教学效果的检测 30 其中 学生测验成绩 0 6 听课教师评议 0 4 这节课 通过教学过程的设计 加强了学生在课堂上的有效学习实践活动 既突出和保证了学生 的主体地位 又较好发挥了教师的主导作用 整堂课中 学生不是在教师的讲授中被动的接受知识 而 是在教师的引导下 由教师设计好的各环节的学习活动 通过参与学习全过程来完成学习任务 这堂课 较好体现了 活动性 自主性 创造性 如 学生通过实例自己发现知识并加以证明 自己出题进行 练习 自己出题进行验收 小组讨论突破难点等 特别是在实现分层指导上的一些作法值得借鉴 如 对不同程度的学生的复习提问 学生自己给自己出验收题 课堂练习时 教师按不同程度 分别组织学 生进行不同的练习等 从而使这节课达到了教学目的和教改实验目的 教师的教学严谨 课堂上注重创造热烈 和谐的学习氛围 师生关系融洽 教学中注意渗透了 数 形结合 转化 类比 等数学思想并注意培养学生的能力 这常课的教学过程设计是成功的 存在的不足是 发现知识时 对于作为引例的两个问题利用的不够好 其中问题 中的 边 长的比 的表述不准确 应为 边长的比值 否则会给学生造成一定程度的思维障碍 教学过程中 一个学生曾提出另一证法 见 1 而教师没有意识到 对于学生所出的 22 22 2 2 baba baba 一题仅 指导学生补充了条件 a b 而未加以分类讨论 使学生失去了提高的机会 教学过程中 对 商的 算术平方根性质的实质揭示的不够 尤其是小结时 不够深入 最简二次根式教材分析最简二次根式教材分析 作用与地位作用与地位 作为二次根式乘 除法与加减法的过渡桥梁的 最简二次根式 这一节课在本章中起着承上启下的作用 必须先复习与巩固已学过的乘 除法知识 另一方面 本小节的内容 显然是下一小节 二次根式的加 减法 的基础 因为加减法就是在识别 同类的 最简二次根式的前提下进行的 目的与要求目的与要求 本课的内容比较单纯 就是要求学生掌握化简一个二次根式成最简二次根式的方法 当然 这首先需要 知道什么是最简二次根式 即本节课的重点 让学生了解最简二次根式的概念 不在于能否背出定义 关键还是遇到实际式子能够加以判断 也就是本节课的难点 所以应在练习中让学生熟悉这个概念 我采用启发式教学并借助实物投影以扩充教学容量 背景背景 在实际问题中 遇到二次根式 一般应把它先化简 这会给解决问题带来方便 把二次根式化简 至少 有以下三种用途 1 把一个二次根式化简后 可避免因误差积累而造成的结果不准确 2 把两个二次根式化简后 它们的乘除法运算可能变得简单 例如 61233242732 1512 245 532 3215 5 35 15 3 把一组二次根式化简成最简二次根式后 可以对同类二次根式进行加法 减法运算 这将在下一 小节中学习 学生们在前面已经看到了这些用途 实际上 看到这些用途是第二位的 最重要的是从这些用途中领会 把复杂化为简单 把未知化为已知 从而使问题得以解决的思想方法 教学过程教学过程分成以下几个步骤 一 提出问题 一 提出问题 投影显示 两个问题首先是对二次根式乘 除法的复习 其次通过两种解法对 比得出将繁杂的二次根式化为简单的二次根式后 使解决问题更加容易 二 问题解决 二 问题解决 依照学生的认知规律引导学生从从简单的问题中发现规律 突出本 节课的重点 并由此引出新课 最简二次根式 达到本课的第一个教学目的 理解最简二次根式的定 义 对于最简二次根式的定义以开门见山的方式直接给出 三 解决问题 三 解决问题 接着通过训练将最简二次根式的定义加以熟练并总结出化简最简二 次根式的步骤 从而达到本课的第二个教学目的 会将不是最简二次根式的根式化成最简二次根式 在训练内容的选择上考虑到学生接受新知识的能力一是以常用运算 为主 采用由浅入深 层层递进的方式 二是以基本技能为主 而不追求繁难式子化简的特殊技巧 在 进行最简二次根式的化简时 始终围绕二次根式的概念和性质 抓住学生问题的症结培养学生独立学习 思考解决问题的能力 四 总结问题 四 总结问题 采用学生小结教师补充的方式来概括本节课的知识 最简二次根式最简二次根式 教学目的教学目的 1 理解最简二次根式的定义 2 会将不是最简二次根式的根式化成最简二次根式 教学重点教学重点 最简二次根式的定义 教学难点教学难点 最简二次根式的识别 教学方法教学方法 启发 讨论 教学媒体教学媒体 实物投影仪 教学过程教学过程 一 复习提问 一 复习提问 练习 1 二次根式的乘法运算法则是什么 在黑板上写出来 用文字语言怎么表达 对于运算的结果有什 么要求 要尽量化简 二次根式的除法运算法则是什么 在黑板上写出来 用文字语言怎么表达 对于运算的结果有什 么要求 练习 2 计算计算 1 2710 2 1512 245 解 1 方法 1 2710 2710 2 3310 330 方法 2 2710 10 33 330 解 2 方法 1 1512 245 45452 451215 452 353215 22 452 153215 15 方法 2 1512 245 532 3215 5 35 15 从这两个题目中 都可看出先化简再计算的好处 练习 3 已知 2 1 414 如何求 2 1 与8的近似值 结果保留二位有效数字 解解 1 2 1 2 1 22 2 2 2 1 414 2 0 71 2 8 22 2 1 414 2 8 小结 从这个问题又可以看出 遇到一个二次根式将它化简会给解决问题带来方便 说到化简总是希望 能化简到最简形式 那么什么样的二次根式是 最简二次根式 呢 二 问题解决二 问题解决 板书 课题 板书 课题 11 4 11 4 最简二次根式最简二次根式 定义 定义 它要求满足以下两条 1 被开方数中的因数是整数 因式是整式 2 被开方数中不含能开得尽方的因式或因数 我们把符合这两个条件的二次根式 叫做最简二次根式最简二次根式 例如 问题 4 中的 2 1 化成最简二次根式就是 2 2 8化成最简二次根就是 22 判断下列各式是否为最简二次根式 1 12 2 ba 2 45 3 x30 4 x 3 x y 5 4 2 1 1 6 5m9 2 m 7 24 22525mm 三 解决问题 三 解决问题 例例 1 1 把下列各式化成最简二次根式 1 12 2 ba 2 45 分析分析 化简时 往往需要把被开方数分解因式或分解因数把被开方数分解因式或分解因数 把被开方数中能开得尽方的因数或因式用它把被开方数中能开得尽方的因数或因式用它 的算术平方根代替后移到根号外的算术平方根代替后移到根号外 解解 1 12 322 23 2 ba 2 45 ba 22 53 3aa5 练习练习 1 1 1 32 2 2 33b a 答案 1 42 2 2abab 例例 2 2 把下列各式化成最简二次根式 1 4 2 1 1 2 x 3 x y 分析分析 1 把被开方数中的带分数化成假分数把被开方数中的带分数化成假分数 2 化去根号下的分母化去根号下的分母 3 化去分母中的根号化去分母中的根号 解解 1 4 2 1 1 4 2 3 2 34 22 234 2 64 26 2 x 3 x y 3 x yx xx yx xx xy x xy 注意注意 第 1 题中根号外面的 4 与根号里的带分数的整数部分 1 在运 算的意义上是有区别的 练习练习 2 2 1 8 0 2 2 1 4 3 c ba 2 20 4 x 2 3 8 1 x 分析分析 把被开方数中的小数化成分数把被开方数中的小数化成分数 答案 1 5 2 5 2 2 3 2 3 c bca 52 4 4 2x 练习练习 3 3 判断下列各等式是否成立 若不成立请说出正确的解法和答案 1 916 4 3 2 2 3 2 3 3 2 1 4 2 2 1 4 2 9 5 5 9 2 练习练习 4 4 1 448 2 2 24 22525mm 3 01 0 04 0 4 aaaa a 23 2 11 a 1 分析分析 化简时 当被开方数是和的形式时先将它化为积的形式当被开方数是和的形式时先将它化为积的形式 答案 1 45 2 5m9 2 m 3 10 5 4 2 a a 四 问题总结 四 问题总结 采用学生小结教师补充的方式 本节课学习了哪些知识 本节课学习了最简二次根式的概念 知道了它的一些用途 同时还知道了如何化二次根式为最简二次根 式 即如何辨析最简二次根式 课外作业 课外作业 187 页 A 组 1 2 3 的偶数题 B 组 1 2 学有余力的同学做 二次根式的加减法 一 二次根式的加减法 一 目的要求 1 使学生知道什么是同类二次根式 会辨别两个根式是否是同类二次根式 2 使学生通过同类二次根式 培养从特殊中找出一般 从个性中找出共性的对立统一观点的数 学思想方法 教学重点 最简二次根式的化简 教学难点 辨别同类二次根式 教学过程 复习提问 1 什叫最简二次根式 它必须满足那几个条件 把学生回答的