证明线线平行的方法

精品文档 1欢迎下载 证明线线平行的方法证明线线平行的方法 1 垂直于同一平面的两条直线平行 2 平行于同一直线的两条直线平行 3 一个平面与另外两个平行平面相交 那么 2 条交线也平行 4 两条直线的方向向量共线 则两条直线平行 5 线面平行的性质定理 一条直线和一个平面平行 则过这条直线的任一平面 与此平面的交线与该直线平行 证明线面平行的方法 证明线面平行的方法 1 直线与平面平行的判定性定理 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的 一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 2 平面与平面平行的性质定理 如果两个平面是平行 那么在其中一个平面内 的直线和另一个平面平行 证明面面平行的方法 证明面面平行的方法 1 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 2 面面平行的传递性 如果两个平面都和第三个平面平行 则这两个平面平行 3 垂直与同一直线的两个平面平行 4 利用向量法证明 证明线线垂直的方法证明线线垂直的方法 1 定义法 两直线夹角 90 度 2 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平 面内的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 3 直线与平面的定义 若 1 条直线垂直于一个平面 则它垂直于这个平面的所 有直线 4 法向量 在空间直角坐标系中 三点两向量确定一个平面 分别于这两个向量 垂直的向量也就是分别与这两个向量乘积为 0 的向量垂直于这个平面 也就叫 这个平面的法向量 证明线面垂直的方法证明线面垂直的方法 1 直线垂直于平面内两条相交直线 则线与面垂直 2 两条平行线一条垂直于平面 则另一条也垂直于这个平面 3 如果两个面垂直 则其中一个面内垂直交线的线垂直另一个平面 4 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面 那么它也垂直于另一个平 面 5 向量法 就是用向量乘积为零则两向量垂直来证线线垂直 再用方法 1 来证 向量法一般不用来证线面垂直 多用于求二面角 线面角等 6 直线于平面的法向量共线 证明面面垂直的方法证明面面垂直的方法 1 定义 两个平面相交 它们所成的二面角是直二面角 精品文档 2欢迎下载 2 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面垂直 12 设 1 A 2 A 3 A 4 A是平面直角坐标系中两两不同的四点 若 1312 A AA A R 1412 A AA A R 且 11 2 则称 3 A 4 A调和分割 1 A 2 A 已知点 C c o D d O c d R 调和分割点 A 0 0 B 1 0 则下面说法正确的是 A C 可能是线段 AB 的中点 B D 可能是线段 AB 的中点 C C D 可能同时在线段 AB 上 D C D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 答案 D 解析 由 1312 A AA A R 1412 A AA A R 知 四点 1 A 2 A 3 A 4 A在 同一条直线上 因为 C D 调和分割点 A B 所以 A B C D 四点在同一直线上 且 11 2 cd 故选 D 如图 在四棱台 1111 ABCDABC D 中 1 D D 平面 ABCD 底面ABCD是平行四边形 AB 2AD 11 AD A B BAD 60 证明 1 AABD 证明 11 CCA BD 平面 解析 证明 因为AB 2AD 所以设 AD a 则 AB 2a 又因为BAD 60 所以在ABD 中 由余弦定理得 2222 2 22cos603BDaaaaa 所以 BD 3a 所以 222 ADBDAB 故 BD AD 又因为 1 D D 平面ABCD 所以 1 D D BD 又因为 1 ADD DD 所以BD 平面 11 ADD A 故1 AABD 2 连结 AC 设 AC BD 0 连结 1 AO 由底面ABCD是平行四边形得 O 是 AC 的中点 由四 棱台 1111 ABCDABC D 知 平面 ABCD 平面 1111 ABC D 因为这两个平面同时都和平面 精品文档 3欢迎下载 11 ACAC相交 交线分别为 AC 11 AC 故 11 ACACA 又因为 AB 2a BC a ABC 120 所以可由余弦定理计算得 AC 7a 又因为 A1B1 2a B1C1 3 2 a 111 A B C 120 所以可由余弦定理计算得 A1C1 7 2 a 所以 A1C1 OC 且 A1C1 OC 故四 边形 OCC1A1是平行四边形 所以 CC1 A1O 又 CC1 平面 A1BD A1O 平面 A1BD 所以 11 CCA BD 平面 20 本小题满分 12 分 等比数列 n a中 123 a a a分别是下表第一 二 三行中的某一个数 且 123 a a a中 的任何两个数不在下表的同一列 第一列第二列第三列 第一行 3210 第二行 6414 第三行 9818 求数列 n a的通项公式 若数列 n b满足 1 ln nnn baa 求数列 n b的前2n项和 2n S 解析 由题意知 123 2 6 18aaa 因为 n a是等比数列 所以公比为 3 所以 数列 n a的通项公式 1 2 3n n a 因为 1 ln nnn baa 1 2 3n 1 1 ln2 3n 所以 12nn Sbbb 1212 lnlnln nn aaaaaa 2 1 3 1 3 n 12 ln n a a a 31 n 121 ln 21 333 nn 31 n 1 2 ln 23 n n n 所以 2n S 2 31 n 2 21 2 2 ln 23 nn n 91 n 2 2 ln2 2 ln3nnn 15 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系中 点 A 1 2 B 2 3 C 2 1 xOy 1 求以线段 AB AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 2 设实数 t 满足 0 求 t 的值 OCtAB OC 精品文档 4欢迎下载 16 本小题满分 14 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PD 平面 ABCD PD DC BC 1 AB 2 AB DC BCD 900 1 求证 PC BC 2 求点 A 到平面 PBC 的距离 19 本小题满分 16 分 设各项均为正数的数列的前 n 项和为 已知 数列是公差 n a n S 312 2aaa n S 为的等差数列 d 1 求数列的通项公式 用表示 n adn 2 设为实数 对满足的任意正整数 不等式cnmknm 且3knm 都成立 求证 的最大值为 knm cSSS c 2 9 精品文档 5欢迎下载 精品文档 6欢迎下载 10 已知 21 e e是夹角为 3 2 的两个单位向量 2 2121 eekbeea 若0 ba 则 k 的值为 13 设 721 1aaa 其中 7531 aaaa成公比为 q 的等比数列 642 aaa成公 差为 1 的等差数列 则 q 的最小值是 精品文档 7欢迎下载 16 如图 在四棱锥ABCDP 中 平面 PAD 平面 ABCD AB AD BAD 60 E F 分别是 AP AD 的中点 求证 1 直线 EF 平面 PCD 2 平面 BEF 平面 PAD 20 设 M 为部分正整数组成的集合 数列 n a的首项1 1 a 前 n 项和为 n S 已知对任 意整数 k 属于 M 当 n k 时 2 knknkn SSSS 都成立 1 设 M 1 2 2 a 求 5 a的值 2 设 M 3 4 求数列 n a的通项公式 1 F E A C D B P 精品文档 8欢迎下载 如图 在长方体中 1111 ABCDABC D 则四棱锥3ABADcm 1 2AAcm 的体积为 11 ABB D D 3 cm 答案 答案 6 2 在平面直角坐标系中 若双曲线xOy 的离心率为 则的值为 22 2 1 4 xy mm 5m 答案 答案 2 3 如图 在矩形中 点为的中点 点在边上 ABCD2AB 2BC EBCFCD 若 则的值是 2ABAF AAEBF A 答案 答案 2 4 本小题满分 14 分 在中 已知 ABC 3ABACBA BC AA 1 求证 tan3tanBA A B C E F D D AB C 1 C 1 D 1 A 1 B D AB C 1 C 1 D 1 A 1 B 第 7 题 精品文档 9欢迎下载 2 若求的值 5 cos 5 C A 解 解 1 1 3AB ACBA BC AA 3ABAC cos ABABC cosB AAAA 3AC cos ABC cosB AA 由正弦定理得 由正弦定理得 ACBC sinBsin A 3sinB cos Asin A cosB AA 3tanBtan A 2 2 且 且 5 5 cosC 0C 2 5 5 sinC 2tanC 2tan AB 又又 3tanBtan A 2 34 2 111 3 tan AtanBtan Atan Atan A tan AtanBtan A tanBtan A A 或或1tan A 1 3 3tanBtan A 必为锐角 否则必为锐角 否则 同时为钝角 这与三角形的内角和小于同时为钝角 这与三角形的内角和小于矛盾矛盾ABAB180 0tan A 1tan A 4 A 精品文档 10欢迎下载 5 本小题满分 14 分 如图 在直三棱柱中 分别是棱上的点 111 ABCABC 1111 ABAC DE 1 BCCC 点D 不同于点C 且为的中点 ADDEF 11 BC 求证 1 平面平面 ADE 11 BCC B 2 直线平面 1 AFADE 证明 证明 1 1 三棱柱三棱柱是直三棱柱是直三棱柱 111 ABCABC 1 CCABC 平面 ADABC 平面 1 CCAD 且 且ADDE 1 DECCE 11 ADBCC B 平面 ADABC 平面 11 ADEBCC B 平面平面 2 2 11 ADBCC B 平面 11 BCBCC B 平面 ADBC 直三棱柱直三棱柱中 中 111 ABCABC 1111 ABAC ABAC 是是的中点的中点DBC 精品文档 11欢迎下载 是是的中点的中点F 11 BC 且 且 1 DFAAA 1 DFAA 四边形四边形是平行四边形是平行四边形 1 AAFD 1 AFADA 1 DFAAE 平面 1 DFAAE 平面 平面平面 1 AFADE 6 本小题满分 16 分 已知各项均为正数的两个数列和满足 n a n b 1 22 nn n nn ab an ab N 1 设 求证 数列是等差数列 1 1 n n n b bn a N 2 n n b a 2 设 且是等比数列 求和的值 1 2 n n n b bn a N n a 1 a 1 b 解 解 1 1 2 2 2222 2 1 22 1 2 1 1 nn n n nnnnn nnnn n nn n ab ab b bbabb nN a ab aaaa 2 2 0 n a 0 n b 2 2 22 2 nn nnnn ab abab 1 22 12 nn n nn ab a ab 是各项都为正数的等比数列是各项都为正数的等比数列 n a 设其公比为设其公比为 则 则q0q 精品文档 12欢迎下载 当当时 时 1q 0 n a 数列数列是单调递增的数列 必定存在一个自然数 使得是单调递增的数列 必定存在一个自然数 使得 n a 1 2 n a 当当时时01q 0 n a 数列数列是单调递减的数列 必定存在一个自然数 使得是单调递减的数列 必定存在一个自然数 使得 n a 1 1 n a 由由 得 得 1q 1 n aanN 1 22 12 nn n nn ab a ab 得 得 且 且 1 1 22 1 n n ab a ab 1 12a 22 111 2 1 2 1 n aaa b a 1 1 2 2 n nn n b bbnN aa 数列数列是公比为是公比为的等比数列的等比数列 n b 1 2 a 1 12a 1 2 1 a 当当时时 1 2 1 a 数列数列是单调递增的数列 这与是单调递增的数列 这与矛盾矛盾 n b 22 111 2 1 2 1 n aaa b a 当当时时 1 2 1 a 精品文档 13欢迎下载 数列数列是常数数列 符合题意是常数数列 符合题意 n b 1 2a 2 n b 1 2b 1 如图 在三棱柱中 分别是的中点 设三棱锥ABCCBA 111 FED 1 AAACAB 的体积为 三棱柱的体积为 则 ADEF 1 VABCCBA 1112 V 21 V V 解析 1122 11111 334224 ADEABC VShShV 所以 12 1 24 V V 2 3 设分别是的边上的点 若ED ABC BCAB ABAD 2 1 BCBE 3 2 为实数 则的值为 ACABDE 21 21 21 解析 易知 121212 232363 DEABBCABACABABAC 所以 12 1 2 4 在正项等比数列中 则满足 n a 2 1 5 a3 76 aa 的最大正整数的值为 nn aaaaaaaa 321321 n 解析 A B C 1 A D E F 1 B 1 C 精品文档 14欢迎下载 2 2 5 2 55 2 6 67 123123 11 55 2 11 55 2 2 3 1 222 2220 11 5 2 1312913 2 3 60 0 2 29 2 2 1 2 nn nn n nn n n n aa aaaaa a a a qa q q aa nn q n q n q a nN 112 nnN 又时符合题意 所以的最大值为12n n12 15 本小题满分 14 分 已知 cossina cossinb 0 1 若 求证 2ab ab 2 设 若 求 的值 0 1c abc 解 1 cos sin cos sin 0ab 2ab 2 2ab 22 22abab 1 1 22a b 0a b ab 2 精品文档 15欢迎下载 0 1 coscos sinsin0 1 coscos0 sinsin1 cabc 得 22 2 2cos1 1 cos 2 0 0 2 3 又 coscos0 5 66 16 本小题满分 14 分 如图 在三棱锥中 平面平面 过作SABC SAB SBCABBC ASAB A 垂足为 点 分别是侧棱 的中点 AFSB FEGSASC 求证 1 平面平面 EFG ABC 2 BCSA 解 1 分别是侧棱的中点 E G SA SC EGAC 在平面中 在平面外AC ABCEG 平面EG ABC ASAB AFSB 为中点F SB EFAB 在平面中 在平面外 ABABCEF 平面EF ABC 精品文档 16欢迎下载 与相交于 EFEGE 在平面中 EF EGEFG 平面平面 EFG ABC 2