上海八年级上一元二次方程专题复习

1 八年级秋季班期末复习讲义二八年级秋季班期末复习讲义二 课课 题题 一元二次方程一元二次方程 教学目标教学目标一元二次方程 重点 难点重点 难点 考点及考试要求考点及考试要求 教学内容教学内容 第一部分 一元二次方程解法 第一部分 一元二次方程解法 一 知识结构 一 知识结构 一元二次方程 二 考点精析二 考点精析 考点一 概念考点一 概念 1 1 定义 定义 只含有一个未知数 并且 未知数的最高次数是 2 这样的 整式方程就是一元二次方程 2 2 一般表达式 一般表达式 0 0 2 acbxax 难点难点 如何理解 未知数的最高次数是 2 该项系数不为 0 未知数指数为 2 若存在某项指数为待定系数 或系数也有待定 则需建立方程或不等式加以讨论 典型例题 典型例题 例 1 下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是 A B 1213 2 xx02 11 2 xx C D 0 2 cbxax12 22 xxx 变式 当 k 时 关于 x 的方程是一元二次方程 32 22 xxkx 例 2 方程是关于 x 的一元二次方程 则 m 的值为 0132 mxxm m 针对练习 针对练习 1 方程的一次项系数是 常数项是 78 2 x 2 若方程是关于 x 的一元一次方程 02 1 m xm 求 m 的值 写出关于 x 的一元一次方程 3 若方程是关于 x 的一元二次方程 则 m 的取值范围是 11 2 xmxm 4 若方程 nxm xn 2x2 0 是一元二次方程 则下列不可能的是 2 A m n 2 B m 2 n 1 C n 2 m 1 D m n 1 考点二 方程的解考点二 方程的解 概念 概念 使方程两边相等的未知数的值 就是方程的解 应用应用 利用根的概念求代数式的值 典型例题 典型例题 例例 1 已知的值为 2 则的值为 32 2 yy124 2 yy 例例 2 关于 x 的一元二次方程的一个根为 0 则 a 的值为 042 22 axxa 例例 3 已知关于 x 的一元二次方程的系数满足 则此方程 00 2 acbxaxbca 必有一根为 例例 4 已知是方程的两个根 是方程的两个根 ba 04 2 mxxcb 058 2 myy 则 m 的值为 针对练习 针对练习 1 已知方程的一根是 2 则 k 为 另一根是 010 2 kxx 2 已知关于 x 的方程的一个解与方程的解相同 02 2 kxx3 1 1 x x 求 k 的值 方程的另一个解 3 已知 m 是方程的一个根 则代数式 01 2 xx mm2 4 已知是的根 则 a013 2 xx aa62 2 5 方程的一个根为 0 2 acxcbxba A B 1 C D 1 cb a 6 若 yx yx324 0352 考点三 解法考点三 解法 方法 方法 直接开方法 因式分解法 配方法 公式法 关键点 关键点 降次 类型一 直接开方法 类型一 直接开方法 mxmmx 0 2 对于 等形式均适用直接开方法 max 2 22 nbxmax 典型例题 典型例题 例 1 解方程 0 0821 2 x 2 16252x 0913 2 x 例 2 若 则 x 的值为 22 21619 xx 3 针对练习 针对练习 下列方程无解的是 A B C D 123 22 xx 02 2 xxx 13209 2 x 类型二 因式分解法类型二 因式分解法 0 21 xxxx 21 xxxx 或 方程特点 左边可以分解为两个一次因式的积 右边为 0 方程形式 如 22 nbxmax cxaxbxax 02 22 aaxx 典型例题 典型例题 例例 1 的根为 3532 xxx A B C D 2 5 x3 x3 2 5 21 xx 5 2 x 例例 2 若 则 4x y 的值为 04434 2 yxyx 变式变式 1 2222 2 22 06b ababa 变式变式 2 若 则 x y 的值为 032 yxyx 变式变式 3 若 则 x y 的值为 14 2 yxyx28 2 xxyy 例例 3 方程的解为 06 2 xx A B C D 23 21 xx23 21 xx33 21 xx22 21 xx 例例 4 解方程 0432132 2 xx 例例 5 已知 则的值为 0232 22 yxyx yx yx 变式 已知 且 则的值为 0232 22 yxyx0 0 yx yx yx 针对练习 针对练习 1 下列说法中 方程的二根为 则0 2 qpxx 1 x 2 x 21 2 xxxxqpxx 4 2 86 2 xxxx 3 2 65 22 aababa 4 22 yxyxyxyx 方程可变形为07 13 2 x0 713 713 xx 正确的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 以与为根的一元二次方程是 71 71 A B 062 2 xx062 2 xx C D 062 2 yy062 2 yy 3 写出一个一元二次方程 要求二次项系数不为 1 且两根互为倒数 写出一个一元二次方程 要求二次项系数不为 1 且两根互为相反数 4 若实数 x y 满足 则 x y 的值为 023 yxyx A 1 或 2 B 1 或 2 C 1 或 2 D 1 或 2 5 方程 的解是 2 1 2 2 x x 6 已知 且 求的值 066 22 yxyx0 x0 y yx yx 3 62 7 方程的较大根为 r 方程的较小根为 01200019981999 2 xx0120082007 2 xx s 则 s r 的值为 类型三 配方法类型三 配方法 00 2 acbxax 2 2 2 4 4 2a acb a b x 在解方程中 多不用配方法 但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题 典型例题 典型例题 例例 1 试用配方法说明的值恒大于 0 32 2 xx 例例 2 已知 x y 为实数 求代数式的最小值 742 22 yxyx 例例 3 已知为实数 求的值 x yyxyx01364 22 y x 例例 4 分解因式 3124 2 xx 针对练习 针对练习 1 试用配方法说明的值恒小于 0 4710 2 xx 5 2 已知 则 04 11 2 2 x x x x x x 1 3 若 则 t 的最大值为 最小值为 91232 2 xxt 4 如果 那么的值为 4122411 bacbacba32 类型四 公式法类型四 公式法 条件 条件 04 0 2 acba且 公式 公式 a acbb x 2 4 2 04 0 2 acba且 典型例题 典型例题 例 1 选择适当方法解下列方程 6 13 2 x 8 63 xx014 2 xx 0143 2 xx 5211313 xxxx 例 2 在实数范围内分解因式 1 2 322 2 xx184 2 xx 22 542yxyx 说明 对于二次三项式的因式分解 如果在有理数范围内不能分解 cbxax 2 一般情况要用求根公式 这种方法首先令 0 求出两根 再写成cbxax 2 cbxax 2 21 xxxxa 分解结果是否把二次项系数乘进括号内 取决于能否把括号内的分母化去 类型五 类型五 降次思想降次思想 的应用的应用 求代数式的值 解二元二次方程组 典型例题 例例 1 已知 求代数式的值 023 2 xx 1 11 2 3 x xx 例例 2 如果 那么代数式的值 01 2 xx72 23 xx 6 例例 3 已知是一元二次方程的一根 求的值 a013 2 xx 1 152 2 23 a aaa 例例 4 用两种不同的方法解方程组 2 0 65 1 62 22 yxyx yx 说明 解二元二次方程组的具体思维方法有两种 先消元 再降次 先降次 再 消元 但都体现了一种共同的数学思想 化归思想 即把新问题转化归结为我们已 知的问题 考点四 根的判别式acb4 2 根的判别式的作用 根的判别式的作用 定根的个数 求待定系数的值 应用于其它 典型例题 典型例题 例例 1 若关于的方程有两个不相等的实数根 则 k 的取值范围是 x012 2 xkx 例例 2 关于 x 的方程有实数根 则 m 的取值范围是 021 2 mmxxm A B C D 10 mm0 m1 m1 m 例例 3 已知关于 x 的方程 022 2 kxkx 1 求证 无论 k 取何值时 方程总有实数根 2 若等腰ABC 的一边长为 1 另两边长恰好是方程的两个根 求ABC 的周长 例例 4 已知二次三项式是一个完全平方式 试求的值 2 6 9 2 mxmxm 例例 5 为何值时 方程组有两个不同的实数解 有两个相同的实数解 m 3 62 22 ymx yx 针对练习 1 当 k 时 关于 x 的二次三项式是完全平方式 9 2 kxx 7 2 当取何值时 多项式是一个完全平方式 这个完全平方式是什么 kkxx243 2 3 已知方程有两个不相等的实数根 则 m 的值是 02 2 mxmx 4 为何值时 方程组k 0 124 2 2 yxy kxy 1 有两组相等的实数解 并求此解 2 有两组不相等的实数解 3 没有实数解 5 当取何值时 方程的根与均为有理数 k042344 22 kmmxmxxm 考点五 方程类问题中的考点五 方程类问题中的 分类讨论分类讨论 典型例题 典型例题 例例 1 关于 x 的方程 0321 2 mxxm 有两个实数根 则 m 为 只有一个根 则 m 为 例例 2 不解方程 判断关于 x 的方程根的情况 32 22 kkxx 例例 3 如果关于 x 的方程及方程均有实数根 问这两方程02 2 kxx02 2 kxx 是否有相同的根 若有 请求出这相同的根及 k 的值 若没有 请说明理由 考点六 应用解答题考点六 应用解答题 碰面 问题 复利率 问题 几何 问题 最值 型问题 图表 类问题 典型例题 1 五羊足球队的庆祝晚宴 出席者两两碰杯一次 共碰杯 990 次 问晚宴共有多少人出席 2 某小组每人送他人一张照片 全组共送了 90 张 那么这个小组共多少人 3 北京申奥成功 促进了一批产业的迅速发展 某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场 根据计 划 第一年投入资金 600 万元 第二年比第一年减少 第三年比第二年减少 该产品第一年收入资 3 1 2 1 8 金约 400 万元 公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回 还要盈利 要实现这一目标 该产 3 1 品收入的年平均增长率约为多少 结果精确到 0 1 61 3 13 4 某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品 据市场分析 若按每千克 50 元销售 一个月能售 出 500 千克 销售单价每涨 1 元 月销售量就减少 10 千克 针对此回答 1 当销售价定为每千克 55 元时 计算月销售量和月销售利润 2 商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下 使得月销售利润达到 8000 元 销售单价应定为多少 5 将一条长 20cm 的铁丝剪成两段 并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形 1 要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2 那么这两段铁丝的长度分别为多少 2 两个正方形的面积之和可能等于 12cm2吗 若能 求出两段铁丝的长度 若不 能 请说明理由 3 两个正方形的面积之和最小为多少 6 A B 两地间的路程为 36 千米 甲从 A 地 乙从 B 地同时出发相向而行 两人相遇后 甲再走 2 小时 30 分到达 B 地 乙再走 1 小时 36 分到达 A 地 求两人的速度 考点七 根与系数的关系考点七 根与系数的关系 前提 对于而言 当满足 时 0 2 cbxax0 a0 才能用韦达定理 主要内容 a c xx a b xx 2121 应用 整体代入求值 典型例题 例例 1 已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根 则这个直角三0782 2 xx 角形的斜边是 A B 3 C 6 D 36 例例 2 已知关于 x 的方程有两个不相等的实数根 0112 22 xkxk 21 x x 1 求 k 的取值范围 2 是否存在实数 k 使方程的两实数根互为相反数 若存在 求出 k 的值 若不 存在 请说明理由 例例 3 小明和小红一起做作业 在解一道一元二次方程 二次项系数为 1 时 小明因看错 常数项 而得到解为 8 和 2 小红因看错了一次项系数 而得到解为 9 和 1 你知道 原来的方程是什么吗 其正确解应该是多少 9 例例 4 已知 求 ba 012 2 aa012 2 bb ba 变式 若 则的值为 012 2 aa012 2 bb a b b a 例例 5 已知是方程的两个根 那么 01 2 xx 3 4 针对练习 针对练习 1 解方程组 2 5 1 3 22 yx yx 2 已知 求的值 47 2 aa47 2 bb ba b a a b 3 已知是方程的两实数根 求的值 21 x x09 2 xx6637 2 2 2 3 1 xxx 第二部分 一元二次方程应用题经典题型汇总第二部分 一元二次方程应用题经典题型汇总 一 增长率问题一 增长率问题 例 1 恒利商厦九月份的销售额为 200 万元 十月份的销售额下降了 20 商厦从十一月份起加强管 理 改善经营 使销售额稳步上升 十二月份的销售额达到了 193 6 万元 求这两个月的平均增长率 解 设这两个月的平均增长率是 x 则根据题意 得 200 1 20 1 x 2 193 6 即 1 x 2 1 21 解这个方程 得 x1 0 1 x2 2 1 舍去 答 这两个月的平均增长率是 10 说明 这是一道正增长率问题 对于正的增长率问题 在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的 意义 即可利用公式 m 1 x 2 n 求解 其中 m n 对于负的增长率问题 若经过两次相等下降后 则有 公式 m 1 x 2 n 即可求解 其中 m n 二 商品定价二 商品定价 例 2 益群精品店以每件 21 元的价格购进一批商品 该商品可以自行定价 若每件商品售价 a 元 则可卖出 350 10a 件 但物价局限定每件商品的利润不得超过 20 商店计划要盈利 400 元 需要 进货多少件 每件商品应定价多少 解 根据题意 得 a 21 350 10a 400 整理 得 a2 56a 775 0 解这个方程 得 a1 25 a2 31 因为 21 1 20 25 2 所以 a2 31 不合题意 舍去 所以 350 10a 350 10 25 100 件 答 需要进货 100 件 每件商品应定价 25 元 10 说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题 也是各种考试的热点 三 储蓄问题三 储蓄问题 例 3 王红梅同学将 1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入 少儿银行 到期后将本金和利息取 出 并将其中的 500 元捐给 希望工程 剩余的又全部按一年定期存入 这时存款的年利率已下调到第一 次存款时年利率的 90 这样到期后 可得本金和利息共 530 元 求第一次存款时的年利率 假设不计 利息税 解 设第一次存款时的年利率为 x 则根据题意 得 1000 1 x 500 1 0 9x 530 整理 得 90 x2 145x 3 0 解这个方程 得 x1 0 0204 2 04 x2 1 63 由于存款利率不能为负数 所以将 x2 1 63 舍去 答 第一次存款的年利率约是 2 04 说明 这里是按教育储蓄求解的 应注意不计利息税 四 趣味问题四 趣味问题 例 4 一个醉汉拿着一根竹竿进城 横着怎么也拿不进去 量竹竿长比城门宽 4 米 旁边一个醉汉嘲 笑他 你没看城门高吗 竖着拿就可以进去啦 结果竖着比城门高 2 米 二人没办法 只好请教聪明人 聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿 二人一试 不多不少刚好进城 你知道竹竿有多长吗 解 设渠道的深度为 xm 那么渠底宽为 x 0 1 m 上口宽为 x 0 1 1 4 m 则根据题意 得 x 0 1 x 1 4 0 1 x 1 8 整理 得 x2 0 8x 1 8 0 1 2 解这个方程 得 x1 1 8 舍去 x2 1 所以 x 1 4 0 1 1 1 4 0 1 2 5 答 渠道的上口宽 2 5m 渠深 1m 说明 求解本题开始时好象无从下笔 但只要能仔细地阅读和口味 就能从中找到等量关系 列出 方程求解 五 古诗问题五 古诗问题 例 5 读诗词解题 通过列方程式 算出周瑜去世时的年龄 大江东去浪淘尽 千古风流数人物 而立之年督东吴 早逝英年两位数 十位恰小个位三 个位平方与寿符 哪位学子算得快 多少年华属周瑜 解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为 x 则十位数字为 x 3 则根据题意 得 x2 10 x 3 x 即 x2 11x 30 0 解这个方程 得 x 5 或 x 6 11 当 x 5 时 周瑜的年龄 25 岁 非而立之年 不合题意 舍去 当 x 6 时 周瑜年龄为 36 岁 完全符合题意 答 周瑜去世的年龄为 36 岁 说明 本题虽然是一道古诗问题 但它涉及到数字和年龄问题 通过求解同学们应从中认真口味 六 象棋比赛六 象棋比赛 例 6 象棋比赛中 每个选手都与其他选手恰好比赛一局 每局赢者记 2 分 输者记 0 分 如果平局 两个选手各记 1 分 领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数 分别是 1979 1980 1984 1985 经核实 有一位同学统计无误 试计算这次比赛共有多少个选手参加 解 设共有 n 个选手参加比赛 每个选手都要与 n 1 个选手比赛一局 共计 n n 1 局 但两个选 手的对局从每个选手的角度各自统计了一次 因此实际比赛总局数应为n n 1 局 由于每局共计 2 分 1 2 所以全部选手得分总共为 n n 1 分 显然 n 1 与 n 为相邻的自然数 容易验证 相邻两自然数乘积的末 位数字只能是 0 2 6 故总分不可能是 1979 1984 1985 因此总分只能是 1980 于是由 n n 1 1980 得 n2 n 1980 0 解得 n1 45 n2 44 舍去 答 参加比赛的选手共有 45 人 说明 类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题 都可以仿照些方法求解 七 情景对话七 情景对话 例 7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游 推出了如图 1 对话中收费标准 某单位组织员工去天水湾风景区旅游 共支付给春秋旅行社旅游费用 27000 元 请问该单位这次共有多少 员工去天水湾风景区旅游 解 设该单位这次共有 x 名员工去天水湾风景区旅游 因为 1000 25 25000 27000 所以员工人数 一定超过 25 人 则根据题意 得 1000 20 x 25 x 27000 整理 得 x2 75x 1350 0 解这个方程 得 x1 45 x2 30 当 x 45 时 1000 20 x 25 600 700 故舍去 x1 当 x2 30 时 1000 20 x 25 900 700 符合题意 答 该单位这次共有 30 名员工去天水湾风景区旅游 说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系 求得的解还要注意分类讨论 从中找出符合题意 的结论 图 1 如果人数超过 25 人 每增加 1 人 人均旅游费用降低 20 元 但人均旅游费用不得低于 700 元 如果人数不超过 25 人 人 均旅游费用为 1000 元 12 八 等积变形八 等积变形 例 8 将一块长 18 米 宽 15 米的矩形荒地修建成一个花园 阴影部分 所占的面积为原来荒地面积 的三分之二 精确到 0 1m 1 设计方案 1 如图 2 花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路 2 设计方案 2 如图 3 花园中每个角的扇形都相同 以上两种方案是否都能符合条件 若能 请计算出图 2 中的小路的宽和图 3 中扇形的半径 若不能符 合条件 请说明理由 解 都能 1 设小路宽为 x 则 18x 16x x2 18 15 即 x2 34x 180 0 2 3 解这个方程 得 x 即 x 6 6 34436 2 2 设扇形半径为 r 则 3 14r2 18 15 即 r2 57 32 所以 r 7 6 2 3 说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积 面积公式 其原则是形变积不变 或形变积也 变 但重量不变 等等 九 动态几何问题九 动态几何问题 例 9 如图 4 所示 在 ABC 中 C 90 AC 6cm BC 8cm 点 P 从点 A 出发沿边 AC 向点 C 以 1cm s 的速度移动 点 Q 从 C 点出发沿 CB 边向点 B 以 2cm s 的速度移动 1 如果 P Q 同时出发 几秒钟后 可使 PCQ 的面积为 8 平方厘米 2 点 P Q 在移动过程中 是否存在某一时刻 使得 PCQ 的面积等于 ABC 的面积的一半 若 存在 求出运动的时间 若不存在 说明理由 图 2 Q P C B A 图 4 图 3 13 解 因为 C 90 所以 AB 10 cm 22 ACBC 22 68 1 设 xs 后 可使 PCQ 的面积为 8cm2 所以 AP xcm PC 6 x cm CQ 2xcm 则根据题意 得 6 x 2x 8 整理 得 x2 6x 8 0 解这个方程 得 x1 2 x2 4 1 2 所以 P Q 同时出发 2s 或 4s 后可使 PCQ 的面积为 8cm2 2 设点 P 出发 x 秒后 PCQ 的面积等于 ABC 面积的一半 则根据题意 得 6 x 2x 6 8 整理 得 x2 6x 12 0 1 2 1 2 1 2 由于此方程没有实数根 所以不存在使 PCQ 的面积等于 ABC 面积一半的时刻 说明 本题虽然是一道动态型应用题 但它又要运用到行程的知识 求解时必须依据路程 速度 时 间 十 梯子问题十 梯子问题 例 10 一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上 梯子的底端距墙角 6m 1 若梯子的顶端下滑 1m 求梯子的底端水平滑动多少米 2 若梯子的底端水平向外滑动 1m 梯子的顶端滑动多少米 3 如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离 那么滑动的距离是多少米 解 依题意 梯子的顶端距墙角 8 m 22 106 1 若梯子顶端下滑 1m 则顶端距地面 7m 设梯子底端滑动 xm 则根据勾股定理 列方程 72 6 x 2 102 整理 得 x2 12x 15 0 解这个方程 得 x1 1 14 x2 13 14 舍去 所以梯子顶端下滑 1m 底端水平滑动约 1 14m 2 当梯子底端水平向外滑动 1m 时 设梯子顶端向下滑动 xm 则根据勾股定理 列方程 8 x 2 6 1 2 100 整理 得 x2 16x 13 0 解这个方程 得 x1 0 86 x2 15 14 舍去 所以若梯子底端水平向外滑动 1m 则顶端下滑约 0 86m 3 设梯子顶端向下滑动 xm 时 底端向外也滑动 xm 则根据勾股定理 列方程 8 x 2 6 x 2 102 整理 得 2x2 4x 0 解这个方程 得 x1 0 舍去 x2 2 所以梯子顶端向下滑动 2m 时 底端向外也滑动 2m 说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动 梯子始终与墙上 地面构成直角三角形 十一 航海问题十一 航海问题 14 例 11 如图 5 所示 我海军基地位于 A 处 在其正南方向 200 海里处有 一重要目标 B 在 B 的正东方向 200 海里处有一重要目标 C 小岛 D 恰好位于 AC 的中点 岛上有一补给码头 小岛 F 位于 BC 上且恰好处于小岛 D 的正南 方向 一艘军舰从 A 出发 经 B 到 C 匀速巡航 一艘补给船同时从 D 出发 沿南偏西方向匀速直线航行 欲将一批物品送往军舰 1 小岛 D 和小岛 F 相距多少海里 2 已知军舰的速度是补给船的 2 倍 军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处 那么相遇时补 给船航行了多少海里 精确到 0 1 海里 解 1 F 位于 D 的正南方向 则 DF BC 因为 AB BC D 为 AC 的中点 所以 DF AB 100 海 1 2 里 所以 小岛 D 与小岛 F 相距 100 海里 2 设相遇时补给船航行了 x 海里 那么 DE x 海里 AB BE 2x 海里 EF AB BC AB BE CF 300 2x 海里 在 Rt DEF 中 根据勾股定理可得方程 x2 1002 300 2x 2 整理 得 3x2 1200 x 100000 0 解这个方程 得 x1 200 118 4 x2 200 不合题意 舍去 100 6 3 100 6 3 所以 相遇时补给船大约航行了 118 4 海里 说明 求解本题时 一定要认真地分析题意 及时发现题目中的等量关系 并能从图形中寻找直角 三角形 以便正确运用勾股定理布列一元二次方程 十二 图表信息十二 图表信息 例 12 如图 6 所示 正方形 ABCD 的边长为 12 划分成 12 12 个小正方形格 将边长为 n n 为整 数 且 2 n 11 的黑白两色正方形纸片按图中的方式 黑白相间地摆放 第一张 n n 的纸片正好盖住正 方形 ABCD 左上角的 n n 个小正方形格 第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为 n 1 n 1 个小正 方形 如此摆放下去 直到纸片盖住正方形 ABCD 的右下角为止 请你认真观察思考后回答下列问题 1 由于正方形纸片边长 n 的取值不同 完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同 请填写下 表 纸片的边长 n23456 使用的纸片张数 2 设正方形 ABCD 被纸片盖住的面积 重合部分只计一次 为 S1 未被盖住的面积为 S2 当 n 2 时 求 S1 S2的值 F E D C B A 图 5 15 是否存在使得 S1 S2的 n 值 若存在 请求出来 若不存在 请说明理由 解 1 依题意可依次填表为 11 10 9 8 7 2 S1 n2 12 n n2 n 1 2 n2 25n 12 当 n 2 时 S1 22 25 2 12 34 S2 12 12 34 110 所以 S1 S2 34 110 17 55 若 S1 S2 则有 n2 25n 12 122 即 n2 25n 84 0 1 2 解这个方程 得 n1 4 n2 21 舍去 所以当 n 4 时 S1 S2 所以这样的 n 值是存在的 说明 求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表 及时挖掘其中的隐含条件 对于求解第 3 小题 可以先假定问题的存在 进而构造一元二次方程 看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判 断 十三 探索在在问题十三 探索在在问题 例 13 将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段 并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形 1 要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2 那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少 2 两个正方形的面积之和可能等于 12cm2吗 若能 求出两段铁丝的长度 若不能 请说明理由 解 1 设剪成两段后其中一段为 xcm 则另一段为 20 x cm 则根据题意 得 17 解得 x1 16 x2 4 2 4 x 2 20 4 x 当 x 16 时 20 x 4 当 x 4 时 20 x 16 答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是 4cm 和 16cm 2 不能 理由是 不妨设剪成两段后其中一段为 ycm 则另一段为 20 y cm 则由题意得 2 4 y 12 整理 得 y2 20y 104 0 移项并配方 得 y 10 2 4 0 所以此方程无解 即不 2 20 4 y 能剪成两段使得面积和为 12cm2 说明 本题的第 2 小问也可以运用求根公式中的 b2 4ac 来判定 若 b2 4ac 0 方程有两个实数 根 若 b2 4ac 0 方程没有实数根 本题中的 b2 4ac 16 0 即无解 十四 平分几何图形的周长与面积问题十四 平分几何图形的周长与面积问题 例 14 如图 7 在等腰梯形 ABCD 中 AB DC 5 AD 4 BC 10 点 E 在下底边 BC 上 点 F 在腰 AB 上 图 6 16 1 若 EF 平分等腰梯形 ABCD 的周长 设 BE 长为 x 试用含 x 的代数式表示 BEF 的面积 2 是否存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时平分 若存在 求出此时 BE 的长 若 不存在 请说明理由 3 是