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第二十二章曲面积分 习题课 一 对面积的曲面积分 二 对坐标的曲面积分 主要内容 三 Gauss公式与斯托克斯公式 第十章习题课 1 一 对面积的曲面积分的计算法 则 按照曲面的不同情况分为以下三种 则 则 计算方法 一投 二代 三换 第十章习题课 2 说明 1 这里积分曲面的方程必须是单值显函数 否则可利用可加性 分块计算 结果相加 2 把曲面投影到哪一个坐标面 取决于曲面方程即方程的表达形式 3 将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是把被积函数化为二元函数 4 切记任何时候都要换面积微元 第十章习题课 3 解 例1 第十章习题课 4 例2 解 第十章习题课 5 的计算步骤 第十章习题课 6 例3 解 说明 当S只取平面x y z 1时 即为P 282习题1 4 第十章习题课 7 解将 分解为 1 2 其中 D2 x2 y2 1 1 z 1 D1 x2 y2 1 dS dxdy 例4 P 282习题1 2 第十章习题课 8 第十章习题课 9 利用对称性计算对面积的曲面积分 第十章习题课 10 解 依对称性知 第十章习题课 11 第十章习题课 12 解 Dxy x2 y2 2ax 例6 第十章习题课 13 第十章习题课 14 二 对坐标的曲面积分 决定了侧的曲面称为有向曲面 曲面取下侧 曲面取上侧 曲面取左侧 曲面取右侧 曲面取后侧 曲面取前侧 曲面法向量的指向决定了曲面的侧 第十章习题课 15 注意 对坐标的曲面积分 必须注意曲面所取的侧 一投 二代 三定号 方法一 定义法 第十章习题课 16 y z Dyz y z 0 y 1 0 z 3 故 1 在xOy面的投影为零 故 解 2 可表示为 第十章习题课 17 3 可表示为 z x Dzx z x 0 z 3 0 x 1 故 所以 第十章习题课 18 方法二 利用两类曲面积分之间的联系 方法三 将对三个坐标面的积分转化到一个坐标面 第十章习题课 19 第十章习题课 20 方法 这就把三个坐标的积分转化为一个 坐标面上的积分 代入下式 第十章习题课 21 方法四 高斯公式 第十章习题课 22 使用Guass公式时应注意 Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系 Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系 第十章习题课 23 对坐标的曲面积分的计算方法 定义法或 闭合 闭合 补加曲面使得 闭合利用高斯公式或用公式 两类曲面积分之间的关系 第十章习题课 24 练习 P 296题1 5 其中 为半球面 的上侧 且取下侧 提示 以半球底面 原式 记半球域为 高斯公式有 计算 为辅助面 利用 第十章习题课 25 P y2 z Q z2 x R x2 y 设 1为z h x2 y2 h2 的上侧 解 为由 与 1所围成的空间区域 则由高斯公式 第十章习题课 26 从而 第十章习题课 27 解 利用两类曲面积分之间的联系 第十章习题课 28 第十章习题课 29 方法二 第十章习题课 30 例10 解 第十章习题课 31 解 补上方向如图 方法二 第十章习题课 32 第十章习题课 33 1 2 3 4 1 x 0 Dyz 0 y 1 0 z 1 y 2 y 0 Dzx 0 z 1 0 x 1 z 3 z 0 Dxy 0 x 1 0 y 1 x 4 z 1 x y Dxy 0 x 1 0 y 1 x 其中 解 第十章习题课 34 由积分变元的轮换对称性可知 第十章习题课 35 1 2 3 4 其中 1 2 3是位于坐标面上的三块 解二 4 z 1 x y Dxy 0 x 1 0 y 1 x 显然在 1 2 3上的曲面积分均为零 第十章习题课 36 第十章习题课 37 第十章习题课 38 例13 解 利用两类曲面积分之间的关系 第十章习题课 39 第十章习题课 40 三 斯托克斯公式 定理1 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线 斯托克斯公式 个空间域内具有连续一阶偏导数 的 侧与 的正向符合右手法则 在包含 在内的一 则有 简介 第十章习题课 41 例18 利用斯托克斯公式计算积分 其中 为平面x y z 1被三坐标面所截三角形的整 解 记三角形域为 取上侧 则 个边界 方向如图所示 利用对称性 第十章习题课 42 例19 为柱面 与平面y z的交线 从z 轴正向看为顺时针 解 设 为平面z y上被 所围椭圆域 且取下侧 利用斯托克斯公式得 则其法线方向余弦 计算 第十章习题课 43 四 空间曲线积分与路径无关的条件 定理2 设G是空间一维单连通域 具有连续一阶偏导数 则下列四个条件相互等价 1 对G内任一分段光滑闭曲线 有 2 对G内任一分段光滑曲线 与路径无关 3 在G内存在某一函数u 使 4 在G内处处有 第十章习题课 44 与路径无关 解 令 积分与路径无关 因此 例20 验证曲线积分 并求函数 第十章习题课 45 例16 计算曲面积分 其中 解 思考 本题 改为椭球面 时 应如何 计算 提示 在椭球面内作辅助小球面 内侧 然后用高斯公式 第十章习题课 46 解 第十章习题课 47 第十章习题课 48 解 空间曲面在面上的投影域为 曲