统计学-6抽样分布.ppt

第6章统计量及其抽样分布 第6章统计量及其抽样分布 6 1统计量 6 2关于分布的几个概念 6 3由正态分布导出的几个重要分布 6 4样本均值的分布与中心极限定理 6 5样本比例的抽样分布 6 6两个样本平均值之差的分布 6 7关于样本方差的分布 6 1统计量 一 概念二 常用统计量三 次序统计量 四 充分统计量 总体中各元素的观察值所形成的分布分布通常是未知的可以假定它服从某种分布 总体分布 populationdistribution 一个样本中各观察值的分布也称经验分布当样本容量n逐渐增大时 样本分布逐渐接近总体的分布 样本分布 sampledistribution 统计量从总体上抽取样本后 利用样本信息构造不同的样本函数 而此函数不依赖于任何未知参数 通过样本即可得出 样本函数称为统计量 例 X1 X2 Xn是从某总体X中抽取的一个样本 则样本均值样本方差则 都是统计量 常用统计量 矩 总体或样本的信息 如期望 方差 阶 次方常用统计量 次序统计量 X1 X2 Xn是从某总体X中抽取的一个样本 则X 1 X 2 X n 按从小到大顺序排列 则称为次序统计量R n X n X 1 称为极差 学习目标 充分统计量 不损失样本信息的统计量例6 2 6 2关于分布的几个概念 一 抽样分布二 渐近分布三 随机模拟获得的近似分布 样本统计量的概率分布是一种理论概率分布随机变量是样本统计量样本均值 样本比例 样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量的信息 是进行推断的理论基础 也是抽样推断科学性的重要依据 抽样分布 samplingdistribution 在正态总体下 可以得到精确的抽样分布 能导出统计量的数学表达式 三大分布 渐近分布n趋向于无穷大时 样本统计量的极限分布 如 随机模拟一次样本容量为n 这样的样本抽取N次 看其统计量 如均值 的分布形态 6 3由正态分布导出的几个重要分布 设随机变量相互独立 且服从标准正态分布 则它们的平方和服从自由度为n的 特征数学期望E n方差D 2n具有可加性随着n增大 趋向于正态分布当n很大时 45 服从N t分布X N 0 1 Y 2 n 则服从自由度为n的t分布 当n 30时 与正态分布非常相似 F分布Y Z相互独立 分别服从自由度为m和n的 2分布 则随机变量X的如下表达式称为X服从第一自由度为m 第二自由度为n的F分布 记作F m n 总结标准正态分布的平方为 2分布标准正态分布与 2分布 平方根除以n 的比为t分布两个 2分布 除以各自的自由度 的比为F分布 第四节样本均值的分布与中心定理 容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分布一种理论概率分布进行推断总体总体均值 的理论基础 样本均值的抽样分布 样本均值的抽样分布 例题分析 例 设一个总体 含有4个元素 个体 即总体单位数N 4 4个个体分别为x1 1 x2 2 x3 3 x4 4 总体的均值 方差及分布如下 均值和方差 样本均值的抽样分布 例题分析 现从总体中抽取n 2的简单随机样本 在重复抽样条件下 共有42 16个样本 所有样本的结果为 样本均值的抽样分布 例题分析 计算出各样本的均值 如下表 并给出样本均值的抽样分布 样本均值的分布与总体分布的比较 例题分析 2 5 2 1 25 总体分布 样本均值的抽样分布与中心极限定理 当总体服从正态分布N 2 时 来自该总体的所有容量为n的样本的均值 X也服从正态分布 X的数学期望为 方差为 2 n 即 X N 2 n 中心极限定理 centrallimittheorem 中心极限定理 设从均值为 方差为 2的一个任意总体 可能不是正态分布 中抽取容量为n的样本 当n充分大时 样本均值的抽样分布近似服从均值为 方差为 2 n的正态分布 中心极限定理 centrallimittheorem 的分布趋于正态分布的过程 抽样分布与总体分布的关系 样本均值的数学期望样本均值的方差 样本均值的抽样分布 数学期望与方差 接上例 比较及结论 1 样本均值的均值 数学期望 等于总体均值2 样本均值的方差等于总体方差的1 n 例6 4 从均值10 标准差0 6的总体中随机选取容量为36的样本 要求 计算样本均值小于9 9的近似概率计算样本均值超过9 9的近似概率在总体均值0 1范围内的近似概率例6 5汽车电瓶商声称其电瓶具有均值60个月 标准差6个月的寿命分布 抽查50个电瓶进行试验若正确 描述50个电瓶平均寿命的抽样分布若正确 则50个寿命不超过57个月的概率 答案 答案 第四节样本比例的抽样分布 总体 或样本 中具有某种属性的单位与全部单位总数之比不同性别的人与全部人数之比合格品 或不合格品 与全部产品总数之比总体比例可表示为样本比例可表示为 比例 proportion 容量相同的所有可能样本的样本比例的概率分布当样本容量很大时 样本比例的抽样分布可用正态分布近似一种理论概率分布推断总体比例 的理论基础 样本比例的抽样分布 样本比例的数学期望样本比例的方差 样本比例的抽样分布 数学期望与方差 X为随机变量 C为常数 CX分布与X相同 E X D X 2 E CX C D CX C2 2 样本比例的抽样分布 数学期望与方差 例6 6X N 9 22 试描述10X的抽样分布 例6 7某统计员在其填写的报表中有2 至少会有一处错误 检查一个由600份报表组成的随机样本 至少有一处错误的报表所占比例在0 025 0 070之间的概率有多大 样本比例的抽样分布 数学期望与方差 答案 第六节两个样本均值之差的抽样分布 两个总体都为正态分布 即 两个样本均值之差的抽样分布服从正态分布 其分布的数学期望为两个总体均值之差方差为各自的方差之和 两个样本均值之差的抽样分布 两个样本均值之差的抽样分布 当n1和n2都较大时 都大于30 则不管总体如何 都可以用正态分布来近似 例6 8 甲 乙两所高录取新生分数 甲平均分655分 标准差20分 乙平均分625分 标准差25分 都服从正态分布 从两校随机选取8名新生 甲校小于乙校的可能性多大 两个样本均值之差的抽样分布 两个样本均值之差的抽样分布 答案 两个样本比例之差 两个样本比例之差的抽样分布 例6 9 调查表明甲城市消费者中有15 喝过商标为 圣洁 牌矿泉水 而乙城市的消费者中只有8 的人喝过该种矿泉水 如真实 分别从甲城市抽取120人 乙城市抽取140人组成独立随机样本 比例差不低于0 08的概率为多少 两个样本均值之差的抽样分布 答案 第七节两个样本方差的抽样分布 总体分布为 样本方差下列分布服从自由度为n 1的卡方分布 两个样本方差比的抽样分布 两个总体都为正态分布 X1 X2 Xn1是来自X1 N 1 12 的一个样本 Y1 Y2 Yn2是来自X2 N 2 22 的