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1 1 2导数的概念 汨罗市第二中学许文胜 飞越黄河 知识回顾 在高台跳水运动中 运动员相对水面的高度h 单位 m 与起跳后的时间t 单位 s 存在函数关系h t 4 9t2 6 5t 10 1 运动员在这段时间里的平均速度 2 运动员在这段时间里的平均速度 3 运动员在这段时间里的平均速度 设 t是时间改变量 可以是正值 也可以是负值 但不为0 任取一个时刻2 t t 0 01时 t 0 001时 t 0 0001时 t 0 00001时 t 0 000001时 t 0 000001时 t 0 00001时 t 0 0001时 t 0 001时 t 0 01时 当 t趋近于0时 平均速度有什么样的变化趋势 观察 运动员在t 2时的瞬时速度是 13 1m s 为了表述方便 数学中用简洁的符号来表示 即 当t 2 t趋近于0时 平均速度趋近于确定的值 13 1 高台跳水 练习一 1 上例中 高台跳水运动员在t 1s的瞬时速度用符号表示为 在t t0时刻的瞬时速度用符号表示为 2 回顾气球膨胀率问题 气球在体积v0附近的平均膨胀率表示为 那么气球在体积为v0时的瞬时膨胀率可以表示为 如果将这两个变化率问题中的函数用f x 表示 那么函数f x 在x x0处的瞬时变化率怎样表示呢 探究 练习二 用导数的定义求函数y x2 1在x 1处的导数 思考 你能由导数的定义 归纳出求函数f x 在x x0处的导数的一般步骤吗 1 求函数的增量 2 求平均变化率 3 计算极限 一差二比三极限 例1将原油精炼为汽油 柴油 塑胶等各种不同产品 需要对原油进行冷却和加热 如果第xh时 原油的温度 单位 oC 为f x x2 7x 15 0 x 8 计算第2h和第6h 原油温度的瞬时变化率 并说明它们的意义 拓展提升 视频 飞越黄河 中 汽车路程对时间的函数是s t t2 要使汽车腾空时的瞬时速度达到40m s 那么汽车的助跑距离至少是多少米 解 设汽车腾空时的时间为t0 根据导数的定义 当2t0 40时 t0 20 所以s 20 202 400m 答 汽车的助跑距离至少是400m 所以 作业 1 一球沿一斜面自由落下 其运动方程为s t t2 位移单位 m 时间单位 s 求小球在t
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