相似三角形模型专题精品

相似三角形专题复习 经典 ABC A B C 如果BC 3 B C 1 5 那么 A B C 与 ABC的相似比为 1 相似三角形的定义 对应角相等 对应边成比例的三角形叫做相似三角形 2 相似比 相似三角形的对应边的比 叫做相似三角形的相似比 一 相似三角形 知识要点 两个相似三角形的对应角相等 对应边成比例 相似三角形对应高的比 对应中线的比 对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 相似三角形的传递性 3 相似三角形的性质 4 相似三角形的判定 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等 那么这两个三角形相似 如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边对应成比例 并且夹角相等 那么这两个三角形相似 如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例 那么这两个三角形相似 已知 在 ABC中 DE BC 点F是线段DE上一点 连接AF并延长与BC相交于点G 求证 DF GC FE BG 例1 相似三角形判定的基本模型一 A字型 反A字型 斜A字型 平行 不平行 例2 若G为BC中点 EG交AB于点F 且EF FG 2 3 试求AF FB的值 添平行线构造相似三角形的基本图形 D E H G F M N 1 2 若G为BC中点 EG交AB于点F 且EF FG 2 3 试求AF FB的值 添平行线构造相似三角形的基本图形 E G F M N 1 如图 点D E分别是 ABC边AB AC上的点 且DE BC BD 2AD 那么 ADE的周长 ABC的周长 1 3 2 右图中 若D E分别是AB AC边上的中点 且DE 4则BC 8 3 右图中 DE BC S ADE S四边形DBCE 1 8 则AE AC 1 3 课堂训练 E B D C 4 在 ABCAC 4 AB 5 D是AC上一动点 且 ADE B 设AD x AE y 写出y与x之间的函数关系式 试确定x的取值范围 A 解 A A ADE B ADE ABC AD AB AE AC x 5 y 4 y 0 8x 0 x 4 5 如图 DE BC EF AB AE EC 2 3 S ABC 25 求S四边形BDEF 解 DE BC ADE ABC S ADE S ABC AE AC 2 4 25 S ABC 25 S ADE 4 AE EC 2 3 AE AC 2 5 6 过 ABC的顶点C任作一直线 与边AB及中线AD分别交于点F和E 求证 AE ED 2AF FB G 7 已知 AB CD 连接AD CB相交于点E 过E点作EF平行于线段AB 与线段AC相交于点F 求 的值 相似三角形判定的基本模型二 平行 不平行 8字型反8字型 蝴蝶型 例1 已知 ABCD 连结对角线BD E F是边BC的三等分点 连结AE AF 与BD分别交于点G H 则BG GH HD的值为 5 3 12 5 1 3 1 9 9 1 练3 如图 在 ABCD中 AB 4 BC 6 ABC BCD的角平分线分别交AD于E和F BE与CF交于点G 则 EFG与 BCG面积之比是 A 2 3B 4 9C 1 4D 1 9 D 练4 如图 已知点D是AB边的中点 AF BC CG GA 3 1 BC 8 则AF 4 练5 如图 直角梯形ABCD中 BCD 90 AD BC BC CD E为梯形内一点 且 BEC 90 将 BEC绕C点旋转90 使B与D重合 得到 DCF 连EF交CD于M 已知BC 5 CF 3 则DM MC的值为 4 3 相似三角形判定的基本模型一 A字型 反A字型 斜A字型 平行 不平行 相似三角形判定的基本模型二 平行 不平行 8字型反8字型 蝴蝶型 给你一个锐角 ABC和一条直线MN 问题 你能用直线MN去截 ABC 使截得的三角形与原三角形相似吗 相似三角形 DE BC ADE ABC DAE CAB ADE ABC 基本图形 判定方法 AED B DAE BAC ADE ABC 三边对应成比例的两个三角形相似 相似三角形 DE BC ADE ABC DAE CAB ADE ABC 基本图形 判定方法 AED B DAE BAC ADE ABC 对应角相等 性质定理 对应边成比例 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方 三边对应成比例的两个三角形相似 练一练 基本图形 D E H 过D作DH EC交BC延长线于点H 1 试找出图中的相似三角形 2 若AE AC 1 2 则AC DH 3 若 ABC的周长为4 则 BDH的周长为 4 若 ABC的面积为4 则 BDH的面积为 ADE ABC DBH 2 3 6 9 三 基本图形的形成 变化及发展过程 平行型 斜交型 垂直型 1 添加一个条件 使 AOB DOC 角 B C或 A D边 AB CDAO OD BO CO X 型 解 2 若 ABC ADE 你可以得出什么结论 角 ADE B AED C边 DE BC 面积 A 型 3 D E分别是 ABC边AB AC上的点 请你添加一个条件 使 ADE与 ABC相似 斜交型 角 B 2或 1 C边 AD AC AE AB 解 4 已知CD是Rt ACB斜边AB上的高 且CD 6 BD 12 则AD AC 3 6 12 3 垂直型 1 如图 DE BC D是AB的中点 DC BE相交于点G 求 1 2 1 2 B A C O 如图 写出其中的几个等积式 AC2 BC2 OC2 AO AB BO AB AO BO 若AC 3 AO 1 写出A B C三点的坐标 1 0 8 0 0 2 已知 如图 梯形ABCD中 AD BC A 900 对角线BD CD求证 1 ABD DCB 2 BD2 AD BC 证明 1 AD BC ADB DBC A BDC 90 ABD DCB 如图 在直角梯形ABCD中 AB CD A 900 AB 2 AD 5 P是AD上一动点 不与A D重合 交 于点 ABP与 DPE是否相似 请说明理由 设 x y 求y与x之间的函数关系式 并指出自变量x的取值范围 3 请你探索在点P运动的过程中 四边形ABED能否构成矩形 如果能 求出AP的长 如果不能 请说明理由 4 请你探索在点P运动的过程中 BPE能否成为等腰三角形 如果能 求出AP的长 如果不能 请说明理由 2 5 试一试 x y 5 x 3 如图 在 ABC中 ABC 90 AB 6 BC 12 点P从A点出发向B以1m s的速度移动 点Q从B点出发向C点以2m s的速度移动 如果P Q分别从A B两地同时出发 几秒后 PBQ与原三角形相似 例 如图 在ABC中 C 90 AC 4 BC 3 PQ AB 点P在AC上 与点A C不重合 点Q在BC上 试问 在AB上是否存在点M 使得 PQM为等腰直角三角形 若不存在 请简要说明理由 若存在 请求出PQ的长 P Q 例 如图 在ABC中 C 90 AC 4 BC 3 PQ AB 点P在AC上 与点A C不重合 点Q在BC上 试问 在AB上是否存在点M 使得 PQM为等腰直角三角形 若不存在 请简要说明理由 若存在 请求出PQ的长 A B C E F 如图 在正方形ABCD中 E为BC上任意一点 与B C不重合 AEF 90 观察图形 D A B C E F D 2 若E为BC的中点 连结AF 图中有哪些相似三角形 1 ABE与 ECF是否相似 并证明你的结论 问题发现知识整理 ABE ECF AEF 问题1 1 点E为BC上任意一点 若 B C 60 AEF C 则 ABE与 ECF的关系还成立吗 说明理由 2 点E为BC上任意一点若 B C AEF C 则 ABE与 ECF的关系还成立吗 A B F C E 60 60 60 M 型相似 问题发现知识整理 ABE ECF A B C E F D A F G 1 延长BA CF相交于点D 且E为BC的中点 若 B C AEF C 连结AF 找出图中的相似三角形 说出图中相等的角及边之间的关系 2 延长BA CF相交于点D 且E为BC的中点 若 B C AEF C 当 AEF旋转到如图位置时 上述关系还成立吗 问题发现知识整理 问题2 善于运用类比 迁移的数学方法解决问题 E为中点 归纳 变式 在直角梯形ABCF中 CB 14 CF 4 AB 6 CF AB 在边CB上找一点E 使以E A B为顶点的三角形和以E C F为顶点的三角形相似 则CE 1 矩形ABCD中 把DA沿AF对折 使D与CB边上的点E重合 若AD 10 AB 8 则EF 善于在复杂图形中寻找基本型 5 A D B C E F E E E 5 6或2或12 注意分类讨论的数学思想 实战演练知识运用 E B C D F 2 已知 D为BC上一点 B C EDF 60 BE 6 CD 3 CF 4 则AF 7 A 实战演练知识运用 E B C D F A 变式 已知 ABC中 AB AC BAC 120 D为BC的中点 且 EDF C 1 若BE CF 48 则AB 2 在 1 的条件下 若EF m 则S DEF 利用转化的数学思想 H P 8 实战演练知识运用 1 连接AP AQ PQ 试判断 APQ的形状 并说明理由 2 当t 1秒时 连接AC 与PQ相交于点K 求AK的长 Q P A B C D K 善于在复杂图形中寻找基本型 已知 菱形ABCD AB 4m B 60 点P Q分别从点B C出发 沿线段BC CD以1m s的速度向终点C D运动 运动时间为t秒 迁移拓展知识提升 E Q A B C D P N F 3 当t 2秒时 连接AP PQ 将 APQ逆时针旋转 使角的两边与AB AD AC分别交于点E N F 连接EF 若AN 1 求S EPF 注意运用转化的数学思想 迁移拓展知识提升 4 以OS为一边在 SOC内作 SOT 使 SOT BDC OT边交BC的延长线于点T 若BT 4 8 求AK的长 A S K D C B o T 30 30 30 迁移拓展知识提升 P Q P Q 我的收获 善于观察善于发现善于总结 1 已知 等边 ABC中 P为直线AC上一动点 连结BP 作 BPQ 60 交直线BC于点N 1 当P在线段AC上时 证明PA PC AB CN 2 若P在AC的延长线上 上述关系是否成立 3 若P在CA的延长线上 CN 1 5 BC 2 求AP BP的长 补充练习 内化理解 N Q N Q N Q 60 60 60 2 在平面直角坐标系中 四边形OABC为等腰梯形 OA BC OA 7 BC 3 COA 60 点P为线段OA上的一个动点 点P不与O A重合 连结CP 1 求点B的坐标 2 点D为AB上一点 且AD BD 3 5 连结PD 在OA上是否存在这样的点P 使 CPD BAO 若存在 求出直线PB的解析式 若不存在 请说明理由 D 补充练习 内化理解 F B C A 3 0 1 0 tan ABC 1 请在x轴上找一点D 使得 BDA与 BAC相似 不包含全等 并求出点D的坐标 2 在 1 的条件下 如果P Q分别是BA BD上的动点 连结PQ 设BP DQ m 问 是否存在这样的m 使得 BPQ与 BDA相似 如存在 请求出m的值 若不存在 请说明理由 用一用 O D 1 BDA BAC CAD ABC tan CAD ABC BC 4 AC BC tan ABC 3 CD AC tan CAD 3 OD OC CD 1 D 0 用一用 用一用 P Q P Q 例2如图 有一块锐角三角形余料ABC 它的边BC 120mm 高AD 80mm 要把它加工成正方形零件 使正方形的一边在BC上 其余两个顶点分别在AB AC上 加工成正方形零件的边长为多少毫米 如果把正方形的零件改变为加工矩形零件 设DP x DE y 写出y与x之间的函数关系式 试确定x的取值范围 P B A C D E F M N 如图 ABC是一块余料 边AB 90厘米 高CN 60厘米 要把它加工成正方形零件 使正方形的一边在AB上 其余两个顶点分别在BC AC上 这个正方形零件的边长是多少 当DE是DP的1 5倍时恰好符合要求 求此时零件的面积是多少 在问题3中 具体操作时 发现在AB线段上离B点34cm处有一蛀虫洞 请你确定一下 它是否影响余料的使用 说明理由 量得BN 70cm P B A C D E F M N B A C D E F 图一 图二 课外拓展 右图中 在一直角三角形余料中截出一个面积最大的正方形零件 应如何截取 设正方形的三边分别是3 4 5 那么最大的面积是多少 B A C 解 设正方形DEFP的边长为x厘米 因为DE AB 所以 CDE CBA所以 问题解答 P B A C D E F M N 演变1 如图 有一块锐角三角形余料ABC 它的边BC a 高AD h 要把它加工成矩形零件 使矩形的一边在BC上 其余两个顶点分别在AB AC上 求 1 设PN x 矩形PQMN的面积为y 求y关于x的函数关系式 并指出x的取值范围 2 当h 6 a 8时 请你求出面积等于9的矩形PQMN的边长