第60讲 直(正)棱柱与正棱锥、平面.ppt

新课标高中一轮总复习 第九单元直线 平面 简单几何体和空间向量 第60讲 直 正 棱柱与正棱锥 平面的基本性质 空间直线 1 了解直 正 棱柱 正棱锥的基本结构特征及基本性质 并能简单应用 2 能直观认识空间点 线 面的位置关系 理解空间线 面位置关系的定义 并了解可作为推理依据的公理 1 3 3 了解空间两条直线的位置关系 掌握异面直线所成的角的概念 会用平移法作出异面直线所成的角 并求角的大小 1 以下命题中 经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面 经过两条相交直线有且只有一个平面 两条平行的直线可以确定一个平面 三点可确定一个平面 其中正确的命题有 C A 1个B 2个C 3个D 4个 由平面的基本性质知 正确 不在同一直线上的三点确定一个平面 故 不正确 故选C 2 下列命题中 正确的是 D A 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D 底面为正多面边形 且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析 故A C都不够准确 B中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明 故也不正确 3 以下命题中 点A B C 直线a A B 平面 则C 点A 直线a a 平面 则A 是不同的平面 a b 则a b异面 三条直线两两相交 则这三条直线共面 空间有四点不共面 则这四点中无三点共线 其中真命题的个数为 C A 0B 1C 2D 3 由公理1知 正确 若a A 则A 不正确 若 A A a A b 则a b相交 不正确 若三条直线是长方体相交的三条棱时 它们不共面 不正确 若空间四点中有三点共线 则这四点共面 正确 故选C 4 给出下列命题 若平面 上的直线a与平面 上的直线b为异面直线 直线c是 与 的交线 那么c至多与a b中的一条相交 若直线a与b异面 直线b与c异面 则直线a与c异面 一定存在平面 同时和异面直线a b都平行 其中正确的命题为 C A B C D 错 c至多可与a b中的两条相交 错 因为a c可能相交也可能平行 对 例如过异面直线a b的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即可满足条件 故选C 5 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 A1B1与BC所成的角为 A1C1与AB所成的角为 A1C1与AB1所成的角为 90 45 60 一 直棱柱和正棱柱的结构及基本性质1 直棱柱的定义 侧棱 底面的棱柱叫直棱柱 2 正棱柱的定义 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱 3 棱柱的性质 1 棱柱的各个侧面都是 所有的侧棱都 直棱柱的各个侧面都是 正棱柱的各个侧面都是 垂直于 平行四边形 相等 矩形 全等的矩形 2 棱柱的两个底面与平行于底面的截面是 多边形 3 过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是 4 特殊的四棱柱 平行六面体 的四棱柱 直四棱柱 的四棱柱 直平行六面体 的平行六面体 长方体 的直平行六面体 正方体 的方体 对应边互相平行的全等 平行四边形 底面是平行四边形 侧棱垂直于底面 侧棱与底面垂直 底面是矩形 棱长都相等 二 正棱锥的结构及基本性质1 棱锥的概念 如果一个多面体的一个面是多边形 其余各面是 那么这个多面体叫做棱锥 当底面是 且 是正棱锥 2 棱锥的性质 正棱锥各侧棱 各侧面都是 各等腰三角形底边上的高 它叫做正棱锥的斜高 有一个公共顶点的三角形 正多边形 顶点在底面的射影是底面正多边形的 相等 全等 的等腰三角形 中心时 相等 三 平面的基本性质1 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线在此平面内 判断的依据 2 公理2 过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 即可以确定一个平面 判断的主要依据 3 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线 判断的主要依据 直线是否在平面内 点 线共面 线共点与作截面 四 空间直线1 空间四边形 四个顶点不在的四边形叫做空间四边形 2 等角定理 空间中 如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角 3 空间直线与直线的位置关系 4 异面直线所成的角 是指过空间任意一点O分别作两条异面直线的平行线 所得的两条相交直线所成的 它的取值范围是 同一平面 相等或互补 平行 相交 异面 锐角或直角 0 题型一空间两直线的位置关系 例1 下列命题中 若直线a与b没有公共点 则a b 若直线b 平面 直线a 则b a 若平面 b a 则b a 若直线a不在平面 内 则a 长方体ABCD A1B1C1D1中 平面ABCD与平面A1BC1只有一个公共点B 直线a b c 若a c b c 则a b 其中真命题的个数是 A 0B 1C 3D 4 平面几何的知识向立体几何推广的时候 要慎重 在直线与直线的位置关系中 空间中多了一种全新的异面关系 复习时应借助熟悉的空间几何图形 理解这种关系 A 此题考查的是空间点 线 面的位置关系 解决此类问题要概念清晰 逐个分析 可借助熟悉的图形 直线a与b没有公共点 a b可能平行或异面 直线b 平面 直线a a b可能平行或异面 若平面 b a 可知直线b与a无公共点 则a与b可平行也可异面 若直线a不在平面 内 则a与 相交或平行 平面与平面如果有公共点 就不止一个 应该有一条过B的公共直线 在空间内 考虑问题要脱离平面的束缚 长方体的共点的三条棱两两垂直 便是反例 据以上分析 故选A 本题易错在 1 分析命题 时把平面几何中的结论直接照搬 不加分析 2 分析命题 时 只看到表面上只有一个交点 误以为这两个面只有一个交点 已知E F G H是空间中的四个点 设命题M 点E F G H不共面 命题N 直线EF和GH不相交 那么 A M是N的充分不必要条件B M是N的必要不充分条件C M是N的充要条件D M既不是N的充分条件 也不是N的必要条件 A 首先 M EF与GH不相交 可用反证法证明 其次 因为若EF GH 点E F G H共面 故EF与GH不相交 M 故选A 题型二异面直线的判定与所成角 例2 在三棱锥S ABC中 SC 1 其余各棱长均为2 如果E F分别是SC与AB的中点 1 证明 EF与SA为异面直线 2 求异面直线EF与SA所成角的余弦值 要求异面直线EF与SA所成的角 把SA平移至与EF相交 易知取AC的中点即可 1 证明 假设EF与AS共面 则A S E F 由题设A S E三点不共线 且确定平面ASC 则平面 与平面ASC为同一个平面 又A 平面ASC F 即F ASC 同时A F 直线AB 则AB 平面ASC 所以B 平面ASC 与三棱锥S ABC矛盾 故EF与AS异面 2 如图 取AC的中点K 连接EK 因为E是SC的中点 故EK SA 所以 KEF 或其补角 是异面直线EF与SA所成的角 连接KF 也有KF BC 在 EKF中 EK KF 1 又因为SF CF EF SC 所以EF2 SF2 SE2 3 则EF 所以cos KEF 所以异面直线EF与SA所成角的余弦值为 1 判定或证明两条直线为异面直线 常用反证法 2 求异面直线所成的角 一般先通过平移作出相关角 如与中点有关 大多可通过作中位线平移 再放入三角形中 运用解三角形的相关知识求解 题型三直 正 棱柱与正棱锥结构特征的应用 例3 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AC 3 BC 4 AB 5 AA1 4 1 求异面直线AC1与B1C所成的余弦值 2 求截面C1AB分该直三棱柱所成的两部分的体积比 1 取AB的中点D 连接CD B1D 设BC1 B1C E 连接DE 则DE AC1 所以 CED为AC1与B1C所成的角 在 CED中 ED AC1 CD AB CE CB1 2 所以cos CED 所以异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为 综合问题中涉及到正棱锥或直 正 棱柱 其结构特征和基本性质往往是解决问题的依据 已知正三棱锥S ABC的底面边长为6 侧棱长为 求该三棱锥的体积 设H是正三角形ABC的中心 连接SH 则SH 底面ABC 即SH的长为该正三棱锥的高 连接AH交BC于E 则E为BC的中点 且AH BC 因为 ABC是边长为6的正三角形 所以AE 6 3 所以AH AE 2 所以SH 又S ABC BC AE 6 3 9 所以V正三棱锥 S ABC SH 9 9 如图 四面体A BCD中 E G分别为BC AB的中点 F在CD上 H在AD上 且有DF FC 2 3 DH HA 2 3 求证 EF GH BD交于一点 连接GE HF 因为E G分别为BC AB的中点 所以GE AC 又因为DF FC 2 3 DH HA 2 3 所以HF AC GE HF 所以G E F H四点共面 又因为EG AC HF AC 所以EF与GH不能平行 设EF与GH交于O点 因为O 平面ABD O 平面BCD 而平面ABD 平面BCD BD 所以O BD 所以EF GH BD交于一点 证线共点 常采用证两直线的交点在第三条直线的方法 而第三条直线又往往是两个平面的交线 1 平面的三个基本性质是立体几何的推理依据 要注意通过作图 特别是截面图 的训练 加深对公理的掌握和理解 确定平面的公理 及三个推论是将立体几何问题转化为平面几何问题的依据 2 证明若干个点共线的重要方法之一是证明这些点分别是两个平面的公共点 再由公理 可知它们共线 3 证明点共面 线共面的基本途径是由满足确定平面条件的几个点或几条直线作出平面 再证明其他元素也在该平面内 4 学习空间平行直线时 要掌握等角定理 并能熟练地应用公理4论证有关直线平行问题 5 理解异面直线的定义 对 不同在任何一个平面内的两条直线 要有深刻的认识 6 求两条异面直线所成角的大小的具体步骤是 选点平移 证明所作角为异面直线的夹角 解三角形求角 7 处理异面直线问题 通常的思路是将空间问题平面化处理 全国卷 已知正四棱锥S ABCD的侧棱长与底面边长都相等 E是SB的中点 则AE SD所成的角的余弦值为 C A B C D 如图 连接BD 取BD的中点O 连接EO AO 则EO SD 所以 AEO为异面直线AE与SD所成的角 设正四棱锥的棱长与底面边长均为a 则AE a AO a EO 所以cos AEO 如图 在正三棱柱ABC A1B1C1中 AB AA1 点D是A1B1的中点 点E在A1C1上 且DE AE 1 证明 平面ADE 平面ACC1A1 2 求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值 1 证明 如图所示 由正三棱柱ABC A1B1C1的性质知 AA1 平面A1B1C1 又DE 平面A1B1C1 所以DE AA1 而DE AE AA1 AE A 所以DE 平面ACC1A1 又DE 平面ADE 故平面ADE 平面ACC1A1 2 如图所示 设F是AB的中点 连接DF DC1 C1F 由正三棱柱ABC A1B1C1的性质及D是A