第2章 第8节 函数与方程

第八节函数与方程考纲传真结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数1函数的零点(1)定义：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0(a，b)，使得f(x0)0.2二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2101(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)，xD在区间(a，b)D内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点()(4)二次函数yax2bxc在b24ac0时没有零点()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)函数f(x)ex3x的零点个数是()A0B1C2D3Bf(1)30，f(0)10，f(x)在(1,0)内有零点，又f(x)为增函数，函数f(x)有且只有一个零点3(2015安徽高考)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()Aycos xBysin xCyln xDyx21A由于ysin x是奇函数；yln x是非奇非偶函数，yx21是偶函数但没有零点，只有ycos x是偶函数又有零点4(2016江西赣中南五校联考)函数f(x)3xx2的零点所在区间是()A(0,1)B(1,2)C(2，1)D(1,0)Df(2)，f(1)，f(0)1，f(1)2，f(2)5，f(0)f(1)0，f(1)f(2)0，f(2)f(1)0，f(1)f(0)0，故选D.5函数f(x)ax12a在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是_ 【导学号：31222059】函数f(x)的图象为直线，由题意可得f(1)f(1)0，(3a1)(1a)0，解得a1，实数a的取值范围是.函数零点所在区间的判断(1)设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)(2)函数f(x)x23x18在区间1,8上_(填“存在”或“不存在”)零点. 【导学号：31222060】(1)B(2)存在(1)函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)ln x，h(x)x2图象交点的横坐标所在的取值范围作图如下：可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)(2)法一：f(1)123118200，f(8)823818220，f(1)f(8)0，又f(x)x23x18，x1,8的图象是连续的，故f(x)x23x18在x1,8上存在零点法二：令f(x)0，得x23x180，(x6)(x3)0.x61,8，x31,8，f(x)x23x18在x1,8上存在零点规律方法判断函数零点所在区间的方法：判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图象判断变式训练1已知函数f(x)ln xx2的零点为x0，则x0所在的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)Cf(x)ln xx2在(0，)上是增函数，又f(1)ln 11ln 120，f(2)ln 200，f(3)ln 310，x0(2,3)，故选C.判断函数零点的个数(1)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1B2 C3D4(2)(2017秦皇岛模拟)函数f(x)的零点个数是_(1)B(2)3(1)令f(x)2x|log0.5x|10，可得|log0.5x|x.设g(x)|log0.5x|，h(x)x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点(2)当x0时，作函数yln x和yx22x的图象，由图知，当x0时，f(x)有2个零点；当x0时，由f(x)0得x，综上，f(x)有3个零点规律方法判断函数零点个数的方法：(1)解方程法：所对应方程f(x)0有几个不同的实数解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数变式训练2(2015湖北高考)函数f(x)2sin xsinx2的零点个数为_2f(x)2sin xsinx22sin xcos xx2sin 2xx2，由f(x)0，得sin 2xx2.设y1sin 2x，y2x2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f(x)有两个零点函数零点的应用(2017昆明模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上f(x)x，若关于x的方程f(x)logax有三个不同的实根，求a的取值范围思路点拨先作出函数f(x)的图象，根据方程有三个不同的根，确定应满足的条件解由f(x4)f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x4)f(x)f(4x)，3分所以函数图象关于x2对称，且f(2)f(6)f(10)2，要使方程f(x)logax有三个不同的根，则满足8分如图，即解得a.故a的取值范围是(，).12分规律方法已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解变式训练3(1)函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3)B(1,2)C(0,3)D(0,2)(2)(2016山东高考)已知函数f(x)其中m0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_(1)C(2)(3，)(1)函数f(x)2xa在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)f(2)0，(a)(41a)0，即a(a3)0，0a3.(2)作出f(x)的图象如图所示当xm时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三个不同的根，则有4mm20.又m0，解得m3.思想与方法1转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题2判断函数零点个数的常用方法(1)通过解方程来判断(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断(3)将函数yf(x)g(x)的零点个数转化为函数yf(x)与yg(x)图象公共点的个数来判断3利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法易错与防范1函数的零点不是点，是方程f(x)0的实根2函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件课时分层训练(十一)函数与方程A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1若函数f(x)axb有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点是() 【导学号：31222061】A0,2B0，C0，D2，C由题意知2ab0，即b2a.令g(x)bx2ax0，得x0或x.2函数f(x)exx2的零点所在的区间为()A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)C因为f(0)e00210，f(1)e112e10，故f(0)f(1)0，故选C.3函数f(x)2xx32在区间(0,2)内的零点个数是()A0B1 C2D3B由指数函数、幂函数的性质可知，f(x)2xx32在区间(0,2)内单调递增，且f(0)10，f(2)100，所以f(0)f(2)0，即函数f(x)2xx32在区间(0,2)内有唯一一个零点，故选B.4已知函数f(x)则使函数g(x)f(x)xm有零点的实数m的取值范围是()A0,1)B(，1)C(，1(2，)D(，0(1，)D函数g(x)f(x)xm的零点就是方程f(x)xm的根，画出h(x)f(x)x的大致图象(图略)观察它与直线ym的交点，得知当m0或m1时，有交点，即函数g(x)f(x)xm有零点5(2016湖北七校2月联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数yf(2x21)f(x)只有一个零点，则实数的值是()A.B. CDC令yf(2x21)f(x)0，则f(2x21)f(x)f(x)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x21x只有一个实根，即2x2x10只有一个实根，则18(1)0，解得.故选C.二、填空题6已知关于x的方程x2mx60的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是_ 【导学号：31222062】(，1)设函数f(x)x2mx6，则根据条件有f(2)0，即42m60，解得m1.7(2016浙江高考)设函数f(x)x33x21，已知a0，且f(x)f(a)(xb)(xa)2，xR，则实数a_，b_.21f(x)x33x21，则f(a)a33a21，f(x)f(a)(xb)(xa)2(xb)(x22axa2)x3(2ab)x2(a22ab)xa2bx33x2a33a2.由此可得a0，由得a2b，代入式得b1，a2.8(2015湖南高考)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_(0,2)由f(x)|2x2|b0得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示，则当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)|2x2|b有两个零点三、解答题9已知函数f(x)x3x2.证明：存在x0，使f(x0)x0.证明令g(x)f(x)x.2分g(0)，gf，g(0)g0.7分又函数g(x)在上连续，存在x0，使g(x0)0，即f(x0)x0.12分10已知二次函数f(x)x2(2a1)x12a，(1)判断命题：“对于任意的aR，方程f(x)1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若yf(x)在区间(1,0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围解(1)“对于任意的aR，方程f(x)1必有实数根”是真命题依题意，f(x)1有实根，即x2(2a1)x2a0有实根.3分因为(2a1)28a(2a1)20对于任意的aR恒成立，即x2(2a1)x2a0必有实根，从而f(x)1必有实根.5分(2)依题意，要使yf(x)在区间(1,0)及内各有一个零点，只需7分即解得a.10分故实数a的取值范围为.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017郑州模拟)已知函数f(x)(aR)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A(，1)B(，1C1,0)D(0,1D因为当x0时，f(x)2x1，由f(x)0得x.所以要使f(x)在R上有两个零点，则必须2xa0在(，0上有唯一实数解又当x(，0时，2x(0,1，且y2x在(，0上单调递增，故所求a的取值范围是(0,12函数f(x)则函数yff(x)1的所有零点所构成的集合为_ 【导学号：31222063】由题意知ff(x)1，由f(x)1得x2或x，则函数yff(x)1的零点就是使f(x)2或f(x)的x的值解f(x)2得x3或x，解f(x)得x或x，从而函数yff(x)1的零点构成的集合为.3若关于x的方程22x2xaa10有实根，求实数a的取值范围解法一(换