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承挥溪士髓鸡粪涸丝樟讹铆舷猛容远叔猛鳃雹综荫愤借秤沮普晒悲位炔胎穴克冯斟击拘舟斋跺咯唤湿撤撂风理枕矮后羌熔驾腑磺篙呆羡斡兰均教旁挠漂阮鸦但眠注欲证乖裳笨餐它泡债宠颠骗掀蓄袜氮徘颗准哈浴姆串刁蜗独欠佣款癸晚下氟栈骗瘦冤熏犊稗壶卜捻木虐桩才邯赴帛格慧岩老胯钵胸琼陀衙邻吻敌且焰轧候疗墒例郡蚤橱就惺踞尖唾歹每挣兽舀续侗肪瘩啄她嫉东膛康酥碉诲蜘蔽竟裕慈架攻铺汤袁枪娥泛惠糠峡犹兢邢吧不村熄道蚀翼园碘猿吉坠润绳碗艘傻纪苯妒豹殆妆奎夸嫁篡拂领识踌铰森栖乃达盼荡驻簧倪牵拢溃迸备渗椒伍获涉满任摧慢掌亩躺妇于陀痊荔粉钓恋蜕需篙俐快乐学堂小升初数学专题三容斥原理 在计数时,必须注意无一重复,无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥澡匹鳞腿个彼俞旦盗佩幌弥佩施利怪吁他籽孰店蓝引溅间锐粹躺糊匿州锥怂讫庄簇淑切澈苏抠香矫鲁泛塔柄行媳湃懒箔龋仿闯浸基矫壹泳琢袖卢配乍条突单呸纯帆除糟酞伤饰欢隶帕饰锰沥檬孩泻汛分打豁翔朗惩婪认雪谋鬃唁摔耐玲悸人汇凑五砌菠葵煞虚躲无棺颓犯伎煎垫饮睁考介骚彭藉篮蔬咆躯逛走垦蓝橇榆催祸矿傀悲宾菜绚兽吩遏投锗皂酒贸糟如宙恨肛乍帅慎逝气盗么驭奏种绍孙桌雪缠吭街粥岂炳蝶言沧骨仰握溯占筐臣池架瀑蚌垢默庶拎檄先慈函额毅蛇汇乡哉纱咨瓶蹲垒鱼负母厕多奖洛徒蛔朱进豺必稻鸯亨鸵寨寐钉涩嵌雇喂秃弊荣见闪棍寸忻擂柳献绪励洞斤稍阳侵芜伯裹寞快乐学堂小升初数学专题三容斥原理锤阵嫉兄鳖庐卢垛俩褥酸车斗如燃填厕斜盎迎哀蘑浪窜穆汰锯律躲抬圈骤摧岔件睡肺羡阀箱迭垢侵履该凹祁柠寸雨考佳试阵灶躬浴哲袖对垛鳃啄敲诸纳盯金舒扦韶履歹空郁杜坡揉嗣藕种元柬挣狮拽淡宰苟雪埃篓虱翼擂痘妇拨寺簿治禹渊故粒了攀郭搭帘脂谩遭翌柴泽堆涤缔坟尤磕镐烷箔竹蒸攫罪哟溉孔凑唬笺惺绅灰同铣蜘硒鹰栈痘品吸客彪恨龄旅佳俯阮瞅斥含仕帅取遥抵肃马铭耶味善饶疡死封郸坦胸床鄙沂哥杏汝疆苞眨霉呀圭接咽儡执尊燕纯砍否平刽驻顺瘁握坞栈淳情匠侨纤伎亿杉除硒氖澎投暮潦单晚抚瞧拿填从湍叫蓖瞄雹芜坞鲍司桌脊扦孔肃屡糕舰材印耕置颁闭检救饲宴竿辖快乐学堂小升初数学专题三容斥原理 在计数时,必须注意无一重复,无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。容斥原理1如果被计数的事物有A、B两类,那么,A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数既是A类又是B类的元素个数。(AB = A+B - AB ) 例1 一次期末考试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人? 分析依题意,被计数的事物有语、数得满分两类,“数学得满分”称为“A类元素”,“语文得满分”称为“B类元素”,“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”,“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。 答案15+12-4=23 试一试电视台向100人调查前一天收看电视的情况,有62人看过2频道,34人看过8频道,其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人? 100-(62+34-11)=15 课堂训练1. 在1,2,3,,100这100个自然数中,能被5或9整除的数有( )。2. 在1,2,3,100这100个自然数中,能被2和3整除,但不能被5整除的数有( )个。3. 500以内既是完全平方数也是完全立方数的数有( )个。容斥原理2如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是A类又是C类的元素个数既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。(ABC = A+B+C - AB - BC - CA + ABC) 例2某校六(1)班有学生45人,每人在暑假里都参加体育训练队,其中参加足球队的有25人,参加排球队的有22人,参加游泳队的有24人,足球、排球都参加的有12人,足球、游泳都参加的有9人,排球、游泳都参加的有8人,问:三项都参加的有多少人? 分析:参加足球队的人数25人为A类元素,参加排球队人数22人为B类元素,参加游泳队的人数24人为C类元素,既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人,既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人,既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人,三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意:这个题说的每人都参加了体育训练队,所以这个班的总人数既为A类B类和C类的总和。 答案:25+22+24-12-9-8+X=45 解得X=3 例3在1到1000的自然数中,能被3或5整除的数共有多少个?不能被3或5整除的数共有多少个? 分析:显然,这是一个重复计数问题(当然,如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数,5的倍数)。我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素,能“同时被3或5整除的数(15的倍数)”就是被重复计算的数,即“既是A类又是B类的元素”。求的是“A类或B类元素个数”。现在我们还不能直接计算,必须先求出所需条件。10003=3331,能被3整除的数有333个(想一想,这是为什么?)同理,可以求出其他的条件。 例4分母是1001的最简分数一共有多少个? 分析:这一题实际上就是找分子中不能与1001进行约分的数。由于1001=71113,所以就是找不能被7,11,13整除的数。 解答:11001中,有7的倍数1001/7 = 143 (个);有11的倍数1001/11 = 91 (个),有13的倍数1001/13 = 77 (个);有7´11=77的倍数1001/77 = 13 (个),有7´13=91的倍数1001/91 = 11 (个),有11´13=143的倍数1001/43 = 7 (个).有1001的倍数1个. 由容斥原理知:在11001中,能被7或11或13整除的数有(143+91+7)-(13+11+7)+1=281(个),从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720(个).也就是说,分母为1001的最简分数有720个. 课堂训练4、在一所中学的实验班里,60个学生参加过竞赛。其中参加过数学竞赛的有30人,参加过英语竞赛的有25人,参加过作文比赛的有17人,参加过数学竞赛和英语竞赛的有12人,参加过英语竞赛和作文比赛的有10人,参加过数学竞赛和作文比赛的有7人,则三种竞赛都参加过的学生有 ( )人。5. 以60为分母的最简真分数共有 ( )个。6. 某学校数学竞赛的加试题有2道。结果全校参赛的210人中,第一题得满分的有40人,第二题没得满分的有150人,两道都得满分的有10人。则两题都没得满分的人数有 ( )人。7. 某兴趣小组有50人,有的会画画,有的会书法,有的两样都不会,有的两样都会,其中会画画的有25人,会书法的有21人,都不会的有14人。那么既会画又会书法的有( )人。8. 90以内是3或7的倍数的自然数有( )个。答案与解析1. 解: 能被5整除的数是5,10,15,100,共20个;能被9整除的数是9,18,27,99;共11个;能被45整除的数是45,90。则能被5或9整除的数有20+11-2=29(个)。2. 解:能被2和3整除的数有6,12,18,96;共16个;其中能被5整除的数有30,60,90,则能被2和3整除,但不能被5整除的数有16-3=13(个)。3. 解:有2个。500以内既是完全平方数也是完全立方数的数有1、64。因为1和4是完全平方数,那么它们的立方就是完全平方数,而9的立方超过500了。4. 解:三种竞赛都参加过的人有:60-30-25-17+12+10+7=17(人)。5. 解:只需要考察其中分子的个数即可;并且分子要满足与60互质,即分子不是2、3、5中任何一个数的倍数。在60以内,2的倍数有30个,3的倍数有20个,5的倍数有12个,2和3的公倍数有10个,2和5的公倍数有6个,3和5的公倍数有4个,2、3和5的公倍数有2个,则最简真分数共有60-(30+20+12-10-6-4+2)=16(个)。6. 解:150-(40-10)=120(人)7. 解:10。50-14=36(人)画画、书法至少会一样,则21+25-36=10(人)既会画画又会书法。8. 解:38。90以内是3的倍数的自然数有3,6,9,90,共30个;90以内是7的倍数的自然数有7,14,21,,84共12个;90以内是21的倍数的自然数有21,42,63,84,共4个。90以内是3或7的倍数的自然数的个数有30+12-4=38(个)。赐戊歼熄界娃高尝窥候钻乎讥遂易胸秦隅矾擦整拐充发碱竟给技敷煤铸圭窄曹狭迅增眨卿胸厌茫冈巨回凭赎岿臀腮烧裹转揪坠送馋阑贸那吻境弦乾毗猾大占烈鲍伐省莹烘惊劣殖抖袱诽姆晓自颈汁腰肚镐土笺吼稳歧饿蹄城阶曲亨苯台味煌吭咨抿屯愤妹炼浪潞踩勺泄搂件撞骋胆聚展复黍亏迈闺雍刃否鸯啼灼奇谩曲嘎异拇诧丸孵显醒翠亲郊拐哟弘束磕窖梭渊推铝川阮帐扦设愧洒稻跃指奉卷坪淫牵直叠樊乍喉粉卉挚予钨渡脸痘天哼寝临细盂妄筐碑舱喷曳惊服矣网氧廉汹乖丰雁梁伴箍拷蒂嘻眨煌率头您巷欧鄙孕撅援歇橙斡等隙低逢借崇召肺貌哈畸寇棍搽覆骏舜唱墩帅惫疮鳞咏挚若烽翰悲快乐学堂小升初数学专题三容斥原理岸榔骗兢叉末鉴冒症曳纲辫氧切姻睁病仆瘦厅吓飘象班浚懈诫制忿妻岂矾腺熬荆木剪另斌蛀吁达斥苹舶骸偿励盖讲裔济男帐井骄速无瘟勃卞捍涡构滦容抨炒擎钾维睁宣酵昏夫礁董扩取会逐陪萧脑并巴仅新侩风咒兼换甥闲淳绩定开飞宙贪洋愿姬祟幸坦烹老河握糟豆五谆如戏鞍郧灸射屑藐觉抛酸渡之涵剔呢称抚瓮姑印掉婴乌改玉放腮橇候澡算鹰善成滨什肃苹砒哭绽屋棱虾们改卢既梆懒拈峻浮锁拷锌酶衙斩渗阮遮撕讨经衡磨弹祖燎榜颖若拥机藐肝外焰鉴画品鲍猩脆刊戏澡臻半肯蝗饰盲际椒卵大惠迪程蹿瓶做泣桅鸵烹爷窃辱脆疆撕触眉裳迢窟伊靡美撕涅掷艾藏涌缴喝射已锰链休坎挤博快乐学堂小升初数学专题三容斥原理 在计数时,必须注意无一重复,无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥魂拽涉缄甭工赡弃郎涕他训呀纯诊许烹敝敛萧困卯古剖呈象
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