初一第08讲从算式到方程.doc

第08讲 从算式到方程适用学科初中数学适用年级初中一年级适用区域全国-人教版课时时长（分钟）120分钟知识点1. 等式的概念2. 方程的概念3. 一元一次方程的概念4. 方程的解5. 等式性质教学目标1. 理解并掌握等式、方程的概念2. 理解并掌握一元一次方程的概念3. 运用等式的性质解简单的一元一次方程4. 知道怎样列方程解决实际问题，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义教学重点一元一次方程的概念及等式的运用教学难点列方程解决实际问题及利用等式的性质解简单的一元一次方程教学过程一、复习预习农民和土豆的故事三个农民住进一家旅店，关照店主给他们煮些土豆，然后，都去睡了。店主煮熟了土豆，没有叫醒他们，而是把一盆土豆放在桌上就走开了。一个农民醒了，看见桌上的土豆，他数了数，拿出三分之一，吃完后又睡了。过了一会儿，另一个农民醒了，他不知道已经有一个同伴吃掉了一份。所以，他数了数盆里的土豆，吃了三分之一，又睡了。接着，第三个农民也醒来了，他以为他是第一个醒来的，数了数剩在盆里的土豆，吃了其中的三分之一。就在这时候，他的两个同伴也都睡醒了，看见盆里还剩八个土豆，于是，各人都把事情作了说明。请你计算一下，店主一共拿来多少个土豆？已经吃掉了多少土豆？每人还应该吃多少土豆，才能使三人吃的一样多？二、知识讲解1. 等式的概念（1）表示相等关系的式子叫等式，如，等.（2）判断一个式子是不是等式的方法是：看一看式子中含不含有“=”号.如，都不是等式.2. 方程的概念含有未知数的等式叫方程.如，等.3. 一元一次方程的概念只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫一元一次方程.如，等都是一元一次方程. （）通常叫做关于的一元一次方程的标准形式.其中，只有一个未知项，一个常数项，方程右边是0.4. 方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解.5. 方程的解与解方程 使方程左、右两边相等的未知数的值叫方程的解；求方程的解的过程叫解方程.通过观察、估计以及适当的计算可以得出方程的解；检验某一数值是不是方程的解，可以把这一数值代入方程分别计算出方程的左边和右边.如果左边=右边，则是方程的解.如果左边右边，则不是方程的解.6. 等式的性质（1）等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等.如果，那么.（2）等式性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等.如果，那么；如果，那么.7. 运用等式的性质解简单的一元一次方程的步骤（1）方程两边同时加（或减）同一个数；（2）方程两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不为0）.注意：可以通过代入方程的形式检验所求结果的正误.8. 设未知数，列方程的思考过程（1）分析题目中的数量关系；（2）找出数量间的相等关系.考点/易错点1（1）判断一个式子是不是方程，一是看是否是等式，二是看是否含有未知数，二者缺一不可.（2）方程中的未知数可以是26个英文字母中的任意一个或多个，但通常使用等几个.（3）方程与等式的联系和区别是：一个等式如果含有未知数就变成了方程，如果不含未知数就不是方程，还可以这样说：方程一定是等式，但等式不一定是方程.考点/易错点2一元一次方程的条件是：（1）首先是一个方程；（2）其次是必须只含有一个未知数；（3）未知数的指数是1；（4）分母中不含有未知数.以上四个条件缺一不可.考点/易错点3（1）验证一个数是不是方程的解的方法是把这个数代入方程的左、右两边，分别求值.若左右两边的值相等，则说明这个数是方程的解；若左右两边不相等，则说明这个数不是方程的解.（2）若已知一个数是方程的解，则把解代入方程后，左右两边必定相等.（3）并非所有的方程都只有一个解，还可能有一下几种情况：无解.如无解；无数多个解.如有无数多个解；两个解.如，解为；多个解. 解为，2，5，.考点/易错点4“方程的解”和“解方程”中的“解”不是一回事，它们是两个不同的概念.一个是结果，一个是过程，“方程的解”中的“解”是名词，而“解方程”中的“解”是动词.（1）“两同”即字母同，同字母的指数同；（2）同类项与其系数的大小无关；（3）同类项与其字母的排列顺序无关.考点/易错点5（1）等式性质1中的“同一个”是指等式两边所加（或减）的数（或式子）必须相同；（2）等式性质2包含了两种情况.一是等式两边乘同一个数，结果仍相等；二是等式两边除以同一个不为0的数，结果仍相等.（3）等式性质中，等式两边都可以加上、减去、乘以同一个数“0”，但是不能同除以“0”；（4）等式性质1和等式性质2是等式变形的依据.三、例题精析【例题1】【题干】下列是一元一次方程的是（）A B C D【答案】B【解析】根据一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，判断各选项即可【变形1】已知是关于的一元一次方程，则方程的解为_【答案】【解析】此题的关键是根据一元一次方程的定义确定的值，所以并且，确定的值后代入原方程即可求得方程的解，看似一个方程其实是方程里面另有一个方程【例题2】【题干】下列方程中，方程的解为的是（）A B C D【答案】D【解析】把代入下列方程，进行一一验证即可【变形1】如果方程的解是，那么b的值为（ ）A3 B5 C-5 D-13【答案】A【解析】本试题考查的是方程的解，将代入到方程中，即可求出b的值.【例题3】【题干】x、y是两个有理数，“x与y的和的等于4”用式子表示为（）A. B. C. D. 以上都不对【答案】 C【解析】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系本题中的“和”及“”是关键词，注意和是加法运算的结果，一个数的几分之几用乘法【变形1】某数与5的和的3倍等于25，若设某数为x，则方程表示为（ ） A B C D【答案】A【解析】 根据题意即可列出方程，关键是读懂题意找到关键词，进而列出方程.【例题4】【题干】已知，则下面变形不一定成立的是（）A B C D 【答案】C 【解析】A、B、D的变形均符合等式的基本性质，C项不能为0，不一定成立故选C 【变形1】已知等式，下列变形正确的是（ ）A B C D【答案】D 【解析】本题考查的是等式的基本性质，特别要注意的是等式两边同时除以一个数是，这个数不能等于0，有等式的基本性质可以进行判断.【变形2】在等式的两边都_得到等式，其依据是_.【答案】加上8；等式性质1.【解析】根据等式性质1，等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立. 【例题5】【题干】当时，方程（其中是未知数，b是已知数）（） A有且只有一个解 B无解 C有无限多个解 D无解或有无限多个解【答案】D 当时，方程有无限多个解；当，而b0时，方程无解故选D【解析】本题考查了一元一次方程的解的情况，要分情况讨论在判断 【变形1】已知是任意有理数，在下面各题中结论正确的个数是（）方程的解是；方程的解是；方程的解是x=；方程的解是 【答案】A 【解析】本题考查了一元一次方程的解法，注意：当是含字母的系数时，一定要保证系数不为0，才能同时除以这个系数 【例题6】【题干】若把100cm长的铁丝折成一个面积为525的长方形，若设长为，根据题意，可列方程为_ 【答案】 解：设长为，长方形的周长为100cm，宽为=（cm），得故填空答案：【解析】本题关键是通过周长表示出长方形的宽，然后根据长方形面积这一等量关系列出方程.【变形1】（2011宁夏）某商场在促销活动中，将原价36元的商品，连续两次降价m%后现价为25元根据题意可列方程为_【答案】 解：第一次降价后的价格为36（1-m%），第二次降价后的价格为36（1-m%）（1-m%）=36，列的方程为故答案为：【解析】本题考查求平均变化率的方法若设变化前的量为，变化后的量为b，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为 【例题7】【题干】根据下列条件列出的方程正确的是（）Ax的与-3的和的是-8：B比x的2倍少9的数比它的25%大7：Cx的倒数与它的相反数的和是6：Dx与3的差的平方是9：【答案】C A、先表示出和，再根据和的为-8列方程即可；B、等量关系为：x的2倍少9=x的25%大7，据此列方程即可；C、等量关系为：x的倒数+x的相反数=6，据此列方程即可；D、先求出差，再根据差的平方是9列出方程即可 【解析】考查用一元一次方程解决相关问题；根据关键词得到相应的等量关系是解决本题的关键；用到的知识点为：x的倒数为，x的相反数为-x.【例题8】【题干】解方程（用等式性质解） （1） （2） （3）【答案】（1）解：两边同时加上15 ，得化简，得两边同时除以5（或乘以），得化简，得（2）解：两边同时减去，得化简，得（3）解：两边同时加上6，得化简，得两边同时减去，得化简，得【解析】本题考查的是等式的基本性质，在应用时要注意解题步骤. 【变形1】已知方程的解为，求式子的值.【答案】解：把代入方程，得：，两边同时加上8，得.=【解析】本题先把代入方程求出方程的解，然后利用等式的性质求出的值，最后代入代数式求出结果.【例题9】【题干】某商店对超过15000元的物品提供分期付款服务，顾客可以先付3 000元，以后每月付1500元，阮叔叔想用分期付款的形式购买价值19 000元的电脑，他需用多长时间才能付清全部贷款？【答案】解：设阮叔叔需用x月的时间，则：，解得：，答：需用11个月的时间 【解析】等量关系为：首付3000+1500需要的月数=19000解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解 【变形1】有一个两位数，十位上的数与个位上的数的和为6，若交换十位上的数与个位上的数的位置，那么所得的两位数比原两位数大18，求原两位数，请列方程.【答案】解：设原两位数的个位数为，则十位数字为.则原两位数可表示为.交换十位数字与个位数字所得的两位数为.从而.【解析】本题关键在于表示两位数，如果一个两位数各位数字为，十位数字为，则这个两位数为，从而根据题中提供的条件可列方程.【例题10】【题干】与互为相反数，求的倒数【答案】解：由题意可得：的倒数为【解析】弄清互为相反数的两个数和为0是解决本题的关键，由题意列出方程然后再利用等式性质求出未知数的值，进而求出倒数. 四、课堂运用【基础】1. 下列是一元一次方程的是（）ABCD【答案】D【解析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点 2. 在下列方程中，以3为解的方程是（）A B C D【答案】C 【解析】本题主要考查了方程解的定义，因此检验一个数是否为相应的方程的解，就是把这个数代替方程中的未知数，看左右两边的值是否相等，如果左边=右边，那么这个数就是该方程的解；反之，这个数就不是该方程的解 3. x、y是两个有理数，“x与y的和的2倍等于4”用式子表示为（）A B C D以上都不对【答案】C 【解析】本题考查了列代数式，主要是对语言文字转化为数学语言的能力的训练，比较简单4. 下列说法中，正确的个数是（）若，则；若，则；若，则；若，则A1B2C3D4 【答案】C【解析】主要考查了等式的基本性质等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式 5. 若关于x的方程是一元一次方程，则这个方程的解是（）A B C D【答案】A由一元一次方程的特点得，即，则这个方程是，解得：故选A【解析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点6. 用等式性质解下列方程： （1） （2）【答案】（1）两边同时减去3，得化简，得两边同时除以2（或乘以），得化简，得（2）两边同时加上23，得化简，得两边同时除以7（或乘以），得即【解析】本题考查的是利用等式的基本性质解方程. 7. 日历上，妈妈生日的那天的上、下、左、右四个日期的和为64，你能说出妈妈的生日是几号么？请列出方程. 【答案】解：设妈妈的生日是号.则由题意得：，.【解析】数学源于生活，生活离不开数学，仔细观察日历，很容易发现日历上相邻的两个数横差1，竖差7. 【巩固】1. 下列属于一元一次方程的是（）A B C D【答案】A 【解析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点 2. 下列方程中，解为的方程是（）A B C D【答案】C【解析】根据一元一次方程的解就是使方程的左右两边相等的未知数的值，把x=4代入各选项进行验证即可得解3. 等式的下列变形属于等式性质2的变形为（）A B C D. 【答案】C A、根据等式性质1，等式两边都加2，即可得到该结果，所以A属于等式性质1的变形；B、根据分数的基本性质对第一项进行变形，所以B不属于等式变形；C、根据等式性质2，等式两边都乘以3，即可得到该结果，所以C正确；D、不属于等式变形；综上所述，故选C【解析】本题主要考查等式的性质的运用，运用等式性质2必须注意等式两边所乘的（或除以的）数或式子不为0，且不要漏乘，才能保证所得的结果仍是等式 4. 用含有字母的式子填空：（1）气温从3升高了，这时的气温是_.（2）练习本每本0.68元，买本需_元.（3）买橘子用了8元钱，买1橘子需_元.【答案】 ； 【解析】本题需注意代数式的书写规则. 5. 判断下列各式是不是方程，若是方程指出未知数，并判断是否是一元一次方程；若不是方程，说明理由. （1）；（2）（3）；（4）；（5）【答案】解：（1）是一元一次方程，是未知数；（2）是方程，但不是一元一次方程，是未知数；（3）是方程，但不是一元一次方程，是未知数；（4）不是方程，因为它不是等式；（5）是一元一次方程，是未知数.【解析】根据一元一次方程的定义即可判断. 6. 用适当的数或式子填空，使所得的 结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质及怎样变形的.（1）如果，那么（2），那么【答案】，根据等式性质1；30，根据等式性质2【解析】 本题考查的是对等式性质的理解和掌握.7. 检验下列各数是不是方程的解（1） （2）【答案】是方程的解，而不是方程的解【解析】本题考查的是对方程的解的理解，能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，只需要把和代入方程中，看左右两边是否成立即可判断.【拔高】1. 下面我们来欣赏一首诗：太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼.一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中.剩下十五围着我，共有多少请算清.你能列出方程来解决这个问题么？ 【答案】解：设共有只鸭子，根据题意得： 解得：【解析】本题的关键是根据题意列出方程，然后根据等式的性质进行运算即可. 2. 阅读理解：若p、q、m为整数，且三次方程有整数解c，则将c代入方程得：，移项得，即有：，由于与c及m都是整数，所以c是m的因数上述过程说明：整数系数方程的整数解只可能是m的因数例如：方程中-2的因数为1和2，将它们分别代入方程进行验证得：是该方程的整数解，-1，1，2不是方程的整数解解决问题：（1）根据上面的学习，请你确定方程的整数解只可能是哪几个整数？（2）方程是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由【答案】解：（1）由阅读理解可知：该方程如果有整数解，它只可能是7的因数，而7的因数只有：1，-1，7，-7这四个数（2）该方程有整数解方程的整数解只可能是3的因数，即1，-1，3，-3，将它们分别代入方程进行验证得：是该方程的整数解 【解析】本题考查同学们的阅读能力以及自主学习、自我探究的能力，该类型的题是近几年的热点考题认真学习题目给出的材料，掌握“整数系数方程的整数解只可能是m的因数”是解答问题的基础 课程小结1. 等式的概念2. 方程的概念3. 等式的性质4. 运用等式的性质的性质解一元一次方程的步骤课后作业【基础】1. 某班学生为四川抗震救灾捐款1310元，以平均每人20元，还多350元，设这个班的学生有人，根据题意列方程为_【答案】 【解析】每个人20元，则个人的钱数为元，再加上多余的350元即为总共的捐款数.2. 已知方程是一元一次方程，则满足 【答案】【解析】根据一元一次方程的定义，未知数前面的系数不能为0，既而得出 3. 下列式子可以用“=”连接的是( ) A. B. C. D. 【答案】B【解析】计算出等式两边的数看是否相等即可判断.4. 下列等式变形错误的是( ) A.由得; B.由得; C.由得; D.由得【答案】D【解析】本题考查的是等式的基本性质，D选项由等式性质可知等式两边同时除以3可得.故D错误. 5. 已知下列方程： ； ；.其中一元一次方程的个数是（ ） A2 B3 C4 D5【答案】B 【解析】本题考查的是一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程叫一元一次方程.6. 等式m=3不是方程（ ）的解A2m=6 Bm3 =0 Cm(m3)=4 Dm+3=0 【答案】D 【解析】本题考查的是方程的解，把m=3代入到方程中看能否使方程左右两边成立，若成立则是，若不成立则不是.7. 在下列各式中，哪些是等式？哪些是方程？哪些是代数式？；【答案】 解：是等式，是方程，是代数式；【解析】本题考查的是等式、方程及代数式的概念，表示相等关系的式子叫等式；含有未知数的等式叫方程；代数式中不含有运算符号. 8. 根据下列条件列出方程:（1）的5倍比的相反数大10；（2）某数的比它的倒数小4.【答案】解：（1） （2）设某数为，则有【解析】根据题意找出等量关系，从而列出方程. 9. 小明在探索一个方程解的过程中，想把变化的主要根据写出来.请你告诉他，在括号中应填上等式的什么性质 （1）由，得 ，（ ） （2）由 ，得（ ）【答案】等式的两边都加（或减）同一个数，结果仍相等；等式的两边乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所以结果仍是等式【解析】本题考查的是等式的性质.10. 完成下列方程变形: 解:两边_,根据_得_. 于是=_. 两边_,根据_得_.【答案】都减去3；等式性质1；-3；1；都乘以-3(或除以)；等式性质2；-3【解析】本题考查的是等式的基本性质，由性质内容即可得出答案. 【巩固】1. 下列语句： 含有未知数的代数式叫方程; 方程中的未知数只有用方程的解去代替它时，该方程所表示的等式才成立; 等式两边都除以同一个数，所得结果仍是等式; 是方程的解. 其中错误的语句的个数为（ ） A4个 B3个 C2个 D1个【答案】B【解析】本题是对方程、方程的解以及等式的性质的考查.2. p=3是方程（ ）的解 A3p=6 Bp3=0 Cp(p2)=4 Dp+3=0 【答案】B 【解析】根据方程的解的定义即可得出答案. 3. 某校师生共328人，准备乘车参加奥运会，已有一辆校车可乘64人，如果租用客车，每辆可乘44人，那么还要租用多少辆客车？如果设还要租x辆客车，可列方程为（ ） A44x328=64 B44x+64=328 C328+44x=64 D328+64=44x 【答案】B 【解析】根据题意可先表示出客车乘坐的人数，然后再加上校车的人数即是全校师生的人数. 4. 图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，巧克力果冻50g砝码每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是 g 【答案】20 【解析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即三块巧克力的质量=两个果冻的质量，一块巧克力的质量+一个果冻的质量=50克根据这两个等量关系式即可得出一个巧克力的重量5. 下列说法：等式是方程；是方程5x+20=0的解；和都是方程的解其中说法不正确的是_（填序号） 【答案】【解析】方程是等式，但等式不一定是方程；把代入方程中不能使方程成立，所以不是方程的解.6. 若是关于x的方程的根，则n=_ 【答案】【解析】把代入到方程中可得：，所以n=7. 用等式的性质解下列方程: （2） （3） 【答案】解：（1）两边同加6，得 （2）两边同减去4，得 化简，得 化简，得 两边同除以7，得 两边同乘以3，得（3）两边同减去，得化简，得两边同除以-0.78，得【解析】根据等式的基本性质：等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立即可解决8. 设某数为.用等式表示下列语句：（1）某数与它的20的和等于480；（2）某数的3倍减去7的差等于某数的5倍与3的和；【答案】解: （1） （2）【解析】根据题意找出等量关系即可列出方程. 9. 在为北京成功筹办2008年奥运会期间，某地区为水上工程进行改造.若甲工程队单独做此工程需4个月完成，若乙工程队单独做此工程需6个月完成，最终方案是甲、乙两队先合作2个月，你猜乙工程队再单