（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题8 立体几何与空间向量 第54练 向量法求解立体几何问题练习 理.doc

（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题8 立体几何与空间向量 第54练 向量法求解立体几何问题练习 理训练目标会用空间向量解决立体几何的证明、求空间角、求距离问题训练题型(1)用空间向量证明平行与垂直；(2)用空间向量求空间角；(3)求长度与距离解题策略(1)选择适当的空间坐标系；(2)求出相关点的坐标，用坐标表示直线的方向向量及平面的法向量；(3)理解并记住用向量表示的空间角和距离的求解公式；(4)探索性问题，可利用共线关系设变量，引入参数，列方程求解.1.如图，在直三棱柱abca1b1c1中，ac3，bc4，ab5，aa14.(1)设，异面直线ac1与cd所成角的余弦值为，求实数的值；(2)若点d是ab的中点，求二面角dcb1b的余弦值2(2016甘肃天水一模)如图，在四棱锥sabcd中，底面abcd为梯形，adbc，ad平面scd，addc2，bc1，sd2，sdc120.(1)求sc与平面sab所成角的正弦值；(2)求平面sad与平面sab所成的锐二面角的余弦值3(2017南昌月考)如图，在三棱柱abca1b1c1中，b1bb1aabbc，b1bc90，d为ac的中点，abb1d.(1)求证：平面abb1a1平面abc；(2)在线段cc1(不含端点)上，是否存在点e，使得二面角eb1db的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由4(2017太原质检)如图所示，该几何体是由一个直三棱柱adebcf和一个正四棱锥pabcd组合而成的，adaf，aead2.(1)证明：平面pad平面abfe；(2)求正四棱锥pabcd的高h，使得二面角cafp的余弦值是.答案精析立体几何问题1解(1)由ac3，bc4，ab5得acb90，以c为原点，ca，cb，cc1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.则a(3,0,0)，c1(0,0,4)，b(0,4,0)，设d(x，y，z)，则由，得(33，4，0)，又(3,0,4)，由题意知|cos，|，解得或.(2)由题意得d(，2,0)，(，2,0)，(0,4,4)，设平面cdb1的法向量为n1，因为n10，n10，所以可取n1(4，3,3)；同理，平面cbb1的一个法向量为n2(1,0,0)，并且n1，n2与二面角dcb1b相等或互补，所以二面角dcb1b的余弦值为|cosn1，n2|.2解如图，在平面scd中，过点d作dc的垂线交sc于e，以d为原点，da，dc，de所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系dxyz.则有d(0,0,0)，s(0，1，)，a(2,0,0)，c(0,2,0)，b(1,2,0)(1)设平面sab的法向量为n(x，y，z)，(1,2,0)，(2，1，)，n0，n0，取y，得n(2，5)又(0,3，)，设sc与平面sab所成角为，则sin |cos，n|，故sc与平面sab所成角的正弦值为.(2)设平面sad的法向量为m(a，b，c)，(2,0,0)，(0，1，)，则有即取b，得m(0，1)cosn，m，故平面sad与平面sab所成的锐二面角的余弦值是.3(1)证明取ab的中点o，连结od，ob1.因为b1bb1a，所以ob1ab.又abb1d，ob1b1db1，ob1平面b1od，b1d平面b1od，所以ab平面b1od，因为od平面b1od，所以abod.由已知条件知，bcbb1，又odbc，所以odbb1.因为abbb1b，ab平面abb1a1，bb1平面abb1a1，所以od平面abb1a1.因为od平面abc，所以平面abb1a1平面abc.(2)解由(1)知ob，od，ob1两两垂直，所以以o为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz，连结b1c.由题设知，b1(0,0，)，b(1,0,0)，d(0,1,0)，a(1,0,0)，c(1,2,0)，c1(0,2，)，(0,1，)，(1,0，)，(1,0，)，(1,2，)，设(01)，由(1，2，(1)，设平面bb1d的法向量为m(x1，y1，z1)，则得令z11，则x1y1，所以平面bb1d的法向量为m(，1)设平面b1de的法向量为n(x2，y2，z2)，则得令z21，则x2，y2，所以平面b1de的一个法向量n(，1)设二面角eb1db的大小为，则cos ，解得.所以在线段cc1上存在点e，使得二面角eb1db的余弦值为，此时(负值舍去)4(1)证明在直三棱柱adebcf中，ab平面ade，ad平面ade，所以abad.又adaf，abafa，ab平面abfe，af平面abfe，所以ad平面abfe.因为ad平面pad，所以平面pad平面abfe.(2)解由(1)知ad平面abfe，以a为原点，ab，ae，ad所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，f(2,2,0)，c(2,0,2)，p(1，h,1)，其中h为点p到平面abcd的距离(2,2,0)，(2,0,2)，(1，h,1)设平面afc的一个法向量为m(x1，y1，z1)，