2012-2013第二学期概率论与数理统计(B)期中考试.pdf

1 北北 京京 交交 通通 大大 学学 2012 2013 学年第二学期学年第二学期 概率论与数理统计 概率论与数理统计 B 期中考试试卷期中考试试卷 B 答案及评分标准答案及评分标准 一 满分 6 分 设 A B C 是三事件 且 1 P AP BP C 4 P ABP BC0 1 P AC 8 求 A B C 至少有一个发生的概率 解 由ABCAB 0P ABC P AB 0 故P ABC 0 2 分分 P ABC P AP BP CP ABP ACP BCP ABC 3 15 4 88 4 分分 二 满分 8 分 一打靶场备有 5 支某种型号的枪 其中 3 支已经校正 2 支未经校正 某人 使用已校正的枪击中目标的概率为 1 p 使用未经校正的枪击中目标的概率为 2 p 他随机地 取一支枪进行射击 已知他射击了5次 都未击中 求他使用的是已校正的枪的概率 设各次 射击的结果相互独立 解 解 以M表示事件 射击了 5 次均未击中 以C表示事件 取得的枪是已经校正的 则 5 3 CP 5 2 CP 2 分 2 分 又 按题设 1 5 1 pCMP 5 2 1 pCMP 2 分 2 分 由贝叶斯公式 MP MCP MCP CPCMPCPCMP CPCMP 3 分 3 分 2 5 2 1 5 3 1 5 3 1 5 2 5 1 5 1 pp p 1 2 1 3 1 3 5 2 5 1 5 1 pp p 1 分 1 分 三 满分 8 分 甲乙二人轮流掷一骰子 每轮掷一次 谁先掷得 6 点谁得胜 从甲开始掷 问甲 乙得胜的概率各为多少 解解 以 i A表示事件 第i次投掷时投掷者才得 6 点 事件 i A发生 表示在前1 i次甲 或乙均未得 6 点 而在第i次投掷甲或乙得 6 点 因各次投掷相互独立 故有 6 1 6 5 1 i i AP 2 分 2 分 因甲为首掷 故甲掷奇数轮次 从而甲胜的概率为 531 AAAPP 甲胜 531 APAPAP 13 A A 因两两不相容 42 6 5 6 5 1 6 1 11 6 6 5 1 1 6 1 2 3 分 3 分 同样 乙胜的概率为 642 AAAPP 乙胜 642 APAPAP 11 5 6 5 6 5 6 5 6 1 53 3 分 3 分 3 四 满分 8 分 设X的概率密度 1 2 1 10 2 1 0 0 2 x x x x xfX 求 X Y 1 的概率密度 解解 因函数 x xgy 1 严格单调减少 它的反函数 1 y yh 当 x0时 y0 2 分分 由第二章 2 公式 2 1 得Y的概率密度为 0 0 0 y yyhyhf f X Y 0 0 0 11 2 y y yy fX 2 分分 因而 2 22 0 0 1 11 01 2 1111 1 2 1 Y y fy yy yyy 即 1 2 1 10 2 1 0 0 2 y y y y yfY 本题X和 X 1 的概率密度相同 4 分分 4 五 满分 8 分 设二维随机变量 YX 的概率密度为 2 10y01 0 x y x f xy 其它 求随机变量 X Y 的边缘密度函数 yfxf YX 随机变量 X Y 是否相互独立 求 yxf YX y Y X fx 解 1 X的边缘概率密度为 24 0 10d 50 1 d 0 x X x y yx x fxf x yy 其它 2 分 Y的边缘概率密度为 1 23 Y 10 10d 101 3d 0 y x y xyy y fyf x yx 其他 2 分分 易见 XY f x yfx fy 所以 X Y 不独立 当01y 时 X Y Y f x y fx y fy 22 3 3 103 1 10 1 1 3 0 x yx yx y yy 其它 2 分分 当01x 时 Y X X f x y fy x fx 2 42 10 0 5 0 x y2y y x xx 其它 2 分分 5 六 满分 10 分 设随机变量 X随机变量 2 max XY 试求X和Y的联合 分布律及边缘分布律 解解 X的分布律为 2 1 0 k k e kXP k 2 分分 X的可能值是 2 1 0 Y的可能值为 4 3 2 0 0 2 2 0 XPXYPYXP 0 1 eXP 2 分分 1 1 2 2 1 XPXYPYXP 1 1 eXP 2分分 2 i时 iXPiXjYPjYiXP 4 3 2 0 0 1 j ij ij i e ijiXP ijiXP i 4 分分 即得YX 的联合分布律及边缘分布律为 X Y 0 1 2 3 4 5 jYP 2 e e 2 2 e 0 0 0 2 0 i i i e 3 0 0 0 3 3 e 0 0 3 3 e 4 0 0 0 0 4 4 e 0 4 4 e iXP e e 2 2 e 3 3 e 4 4 e 1 6 七 满分 8 分 考虑一元二次方程0 2 xx 其中 与 分别是将一枚均匀的骰子接连掷两次先后 出现的点数 试分别计算方程有实根的概率和有重根的概率 解 解 一枚骰子掷两次 其样本点总数为 36 2 分分 方程有实根的充要条件为 4 2 或 4 2 方程有重根的充要条件为 4 2 或 4 2 显然 1 2 3 4 5 6 使 4 2 的样本点数 0 1 2 4 6 6 使 4 2 的样本点数 0 1 0 1 0 0 2 分分 由此可见 使方程有实根的样本点数为 1 2 4 6 6 19 因此 36 19 方程有实根P 2 分分 使方程有实根的样本点数为 1 1 2 因此 18 1 36 2 方程有重根P 2 分分 7 八 满分 8 分 设二维随机变量 YX 服从平面区域 1 22 yxyxD 上的均匀分布 试求随机变量 22 YXZ 的概率密度函数 解 解 二维随机变量 YX 的联合密度函数为 其它 0 1 1 22 yx yxf 2 分 所以 zYXPzZPzFZ 22 当0 z时 0 zFZ 1 分 当10 z时 zyx Z dxdyyxfzYXPzF 22 22 22 11 22 zzdxdy zyx 3 分 当1 z时 1 zFZ 所以 随机变量Z的分布函数为 2 00 01 11 Z z Fzzx z 因此 随机变量Z的概率密度函数为 其它0 102zz xfZ 2 分 8 九 满分 10 分 设二维随机变量 YX 的联合密度函数为 C y 01 0 xyx f xy 其它 求 C 求随机变量 X Y 的边缘密度函数 yfxf YX 随机变量 X Y 是否相互独立 3 求 P XY1 解 因为 d d1f x yx y 即 1 00 dCd1 C 2 x xx yy 得 2 分分 2 X的边缘概率密度为 x 2 X 0 2 x ydy 3x 0 x 1 fxf x y dy 0 其它 2 分分 Y的边缘概率密度为 1 2 Yy 2 x y dx 1 2y 3y 0y1 fyfx y dx 0 其他 2 分分 易见 XY f x yfx fy 所以 X Y 不独立 1 分分 3 1 1 y 2 0y 1 P XY1dy2 xy dx 3 3 分分 9 十 满分 8 分 设随机变量 1 0 NX 1 2 XY 试求随机变量Y的密度函数 解 解 随机变量X的密度函数为 2 2 2 1 x exf y 则有 111 2 yXyPyXPyFY 1 0 2 1 1 2 22 2 2 2 1 y x y y x dxedxe 2 分 即 2 1 2 0 2 1 2 01 y x Y edxy Fy y 所以 1 2 21 1 221 01 y YY ey fyFyy y 2 分 即 1 2 1 1 21 01 y Y ey fyy y 10 十一 满分 8 分 根据以往的考试结果分析 努力学习的学生中有 90 的可能考试及格 不努力学习的学生中有 90 的可能考试不及格 据调查 学生中有 90 的人是努力学习的 试问 考试及格的学生中有多大可能是不努力学习的人 考试不及格的学生中有多大可能是努力学习的人 解 解 设 习的被调查的学生是努力学 A 被调查的学生考试及格 B 由题设 有 9 0 AP 1 0 AP 9 0 ABP 9 0 ABP 要求的概率为 BAP和 BAP 4 分 能理清上面的问 题 并以符号表示的给 分 能理清上面的问 题 并以符号表示的给 4 分 分 由 Bayes 公式 有 012195 0 9 011 09 09 0 9 011 0 ABPAPABPAP ABPAP BAP 2 分分 5 0 9 01 09 019 0 9 019 0 ABPAPABPAP ABPAP BAP 2 分分 十二 满分 10 分 设有随机变量U和V 它们都仅取1 1 两个值 已知 2 1 1 UP 1 1 3 1 1 1 UVPUVP 11 1 求U和V的联合分布律 2 求x的方程0 2 VUxx至少有一个实根的概率 3 求x的方程 2 0 xUV xUV 至少有一个实根的概率 解解 1 6 1 2 1 3 1 1 1 1 1 1 UPUVPVUP 1 1 1 1 1 UPUVPVUP 6 1 2 1 3 1 1 1 3 1 UP 1 1 1 1 1 UPUVPVUP 3 1 2 1 3 2 1 1 1 1 UPUVP 1 1 1 1 1 UPUVPVUP 3 1 2 1 3 2