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2009 年高考数学试卷中的 问题解决型应用题问题 李光辉 天津师范大学数学科学学院 300387 近几年 在新课改理念的指导下 我国数学教 育改革以 数学素质教育 为目标 不断深入 反映 到高考中 就是更加注重数学知识的应用 问题解 决型的数学应用题逐步增多 纵观今年全国各地 的数学试卷 发现其中有许多问题解决型应用题 然而 考生在这一块的得分率却不高 这说明问题 解决型的问题还是值得我们探讨的 下面我想结 合今年各地高考试卷中的问题解决型应用题用数 学建模的方法来探讨 1 问题解决型 应用题的解答思路 解这类应用题 首先要在阅读材料 理解题意 的基础上 应用化归原则 把实际问题抽象成数学 问题 就是从实际出发 经过去粗取精 抽象概括 利用学过的数学知识建立相应的数学模型 一般 地说 数学模型可以描述为 对于现实世界的一个 特定对象 为了一个特定的目的 根据特有的内在 规律 做出一些必要的假设 运用适当的数学工 具 得到的一个数学结果 再利用数学知识对数 学模型进行分析 研究 得到数学结论后返回到实 际问题中去验证 思路如下图 2 解 问题解决型 应用题的一般步骤 2 1 解 问题解决型 应用题的一般步骤 解答这类问题 我们可以类比波利亚的问题 解决策略 3 分为四个步骤 我们把这四个阶段简 单概括为 弄清问题 建立模型 求解模型和还原 结论 1 弄清问题 阅读理解文字表达的题意 分 清条件和结论 理顺数量关系 这一关是基础 2 建立模型 根据建立数学模型的目的和问 题的背景作出必要的简化假设 用字母表示待求 的未知量 将文字语言转化为数学语言 利用数学 知识 建立相应的数学模型 熟悉基本数学模型 正确进行建 模 是关键的一关 3 求解模型 求解数学模型 得到数学结论 一要充分注意数学模型中元素的实际意义 更要 注意巧思妙作 优化过程 4 还原结论 将数学结论还原成实际问题的 结果 并用实际现象来验证结果 2 2 高考中常见应用问题与数学模型 高考中的应用型问题通常有以下几种 1 优化问题 实际问题中的 优选 控制 等问题 常需通过建立 不等式模型 和 线性规 划 问题解决 如 2009 年四川卷 理 第 10 题 某企业生产 甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用 A 原 料 3吨 B 原料2 吨 生产每吨乙产品要用A 原料 1 吨 B 原料 3 吨 销售每吨甲产品可获得利润 5 万元 每吨乙产品可获得利润 3万元 该企业在一 个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨 B 原料 不超过 18 吨 那么该企业可获得最大利润是 A 12万元 B 20 万元 C 25 万元D 27万元 第一步 弄清问题 阅读题目 理解文字表达 的题意 分清条件和结论 理顺数量关系 532010 年 第 49 卷 第 4 期 数学通报 这道题是让我们求企业的最大利润 由已知 条件我们可以列成下表 表 1 产品 原料 原料 A原料 B 利润 万 元 每吨 甲 3 吨 每吨 2吨 每吨 5 乙 1 吨 每吨 3吨 每吨 3 第二步 建立数学模型 将上面的已知条件转 化成数学语言 利用学过的知识 建立数学模型 这道题我们可以用学过的线性规划来解 解析 设甲 乙种两种产品各需生产 x y 吨 可使利润 z 最大 利用 一个周期内消耗 A 原 料不超过 13 吨 可以得到约束条件 3x y 13 利用已知条件 一个周期内消耗 B 原料不超过 18 吨 可以得到约束条件 2x 3y 18 又因为甲乙 两种都是产品 要么生产 要么不生产 所以它们 都应该是非负数 由此得到约束条件 x 0 和 y 0 而我们的目标是要利润最大 所以我们的目标 函数应该是 z 5x 3y 所建立的规划模型如下 3x y 13 2x 3y 18 x 0 y 0 目标函数 Maxz 5x 3y 第三步 求解模型 根据我们学过的线性规划 的知识 画出图像 图 1 求得最大值 可求出最优解为 x 3 y 4 故 z max 15 12 27 第四步 还原结论 将数学结论还原成实际问 题的结果 由前面的解题过程 可得该企业可获得 最大利润是 27 万元 故选择 D 2 最 极 值问题 工农业生产 建设及实际 生活中的极限问题常设计成 函数模型 转化为 求函数的最值 如 2009 湖南卷 理 第 19 题 某地建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相 距 m 米 余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面 和桥墩 经预测 一个桥墩的工程费用为 256 万 元 距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用 为 2 x x 万元 假设桥墩等距离分布 所有桥 墩都视为点 且不考虑其他因素 记余下工程的费 用为 y 万元 试写出 y 关于x 的函数关系式 当 m 640 米时 需新建多少个桥墩才 能使 y 最小 第一步 我们首先要读懂题目 分清已知条件 和要求的结论 已知 两墩相距 m 米 当 m 640 米时 需 新建多少个桥墩才能使工程费用 y 最小 第二步 建立模型 根据已知条件 设需要新建 n 个桥墩 n 1 x m 即 n m x 1 所以 y f x 256n n 1 2 x x 256 m x 1 m x 2 x x 256m x mx 2m 256 第三步 模型求解 要求工程费用的最小值 可以考虑通过 导数来解 由 知 f x 256m x 2 1 2 mx 3 2 m 2x 2 x 3 2 512 令 54数学通报 2010 年 第 49 卷 第 4 期 f x 0 得 x 3 2 512 所以 x 64 当 0 x 64 时 f x 0 f x 在区间 0 64 内为减函数 当 64 x 0 f x 在区间 64 640 内为增函数 所以 f x 在 x 64 处取得最小值 此时 n m x 1 640 64 1 9 第四步 还原结论 根据以上求解过程 得到 需新建 9 个桥墩才能使 y 最小 3 测量问题 可设计成 图形模型 利用几 何知识解决 如 2009 辽宁卷 文 第 18 题 如图 A B C D 都在同一个与水平面垂直 的平面内 B D 为两岛上的两座灯塔的塔顶 测 量船于水面 A 处测得B 点和 D 点的仰角分别为 75 30 于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均 为 60 A C 0 1km 试探究图中 B D 间距离与 另外哪两点距离相等 然后求 B D 的距离 计算 结果精确到 0 01km 2 1 414 6 2 449 图 2 应用我们以上所说的四个步骤 弄清问题 建立模型 求解模型和还原结论 我们也可以很快 的解决这道应用题 第一步 弄清问题 已知 如图 B D 为两 岛上的两座灯塔的塔顶 测量船于水面 A 处测 得B 点和D 点的仰角分别为 75 30 于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 A C 0 1km 求图中 B D 间距离与另外哪两点距离相 等 然后求 B D 的距离 第二步 建立模型 本题实际上已经转化成了 一个几何图形 要求与 B D 间距离相等的线段 可以考虑找全等三角形或者用中垂线定理 要求 B D 距离 可以用解三角形来求 第三步 求解模型 过程如下 在 A CD 中 DA C 30 ADC 60 DAC 30 所以 CD A C 0 1 又 BCD 180 60 60 60 故 CB 是 CAD 底边 A D 的中垂线 所以 BD BA 在 A BC 中 AB sin BCA A C sin A BC 即 A B A Csin60 sin15 3 2 6 20 因此 BD 3 2 6 20 0 33km 第四步 还原 结论 故 B D 的距离 约为 0 33km 3 小结 数学建模问题存在于我们生活中的许多方 面 应用数学方法解决实际中的应用问题是数学 新课标的重要目标之一 数学教师应该在教学中 渗透数学建模思想 不断的引导学生用数学的眼 光去观察 分析和表示各种事物关系和数学信息 从而激发学生学习数学的兴趣和养成学生应用数 学建模的方法去解决问题的习惯 参考文献 1 姜启源 数学模型 北京 高等教育出版社 1993 2 波利亚 怎样解题 阎育苏译 北京 科学出版社 1982 3 中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准 北京 人民