圆的切线证明综合例题与练习.doc

圆的切线证明我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：一、若直线l过O上某一点A，证明l是O的切线，只需连OA，证明OAl就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与O相切.证明：连结OE，AD. AB是O的直径， ADBC. 又AB=BC， 3=4. BD=DE，1=2. 又OB=OE，OF=OF， BOFEOF（SAS）. OBF=OEF. BF与O相切， OBBF. OEF=900. EF与O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例2 如图，AD是BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与O相切.证明一：作直径AE，连结EC. AD是BAC的平分线， DAB=DAC. PA=PD， 2=1+DAC. 2=B+DAB， 1=B. 又B=E， 1=E AE是O的直径， ACEC，E+EAC=900. 1+EAC=900. 即OAPA.PA与O相切.证明二：延长AD交O于E，连结OA，OE. AD是BAC的平分线， BE=CE， OEBC. E+BDE=900. OA=OE， E=1. PA=PD， PAD=PDA. 又PDA=BDE, 1+PAD=900 即OAPA. PA与O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3 如图，AB=AC，AB是O的直径，O交BC于D，DMAC于M求证：DM与O相切.证明一：连结OD. AB=AC， B=C.OB=OD，D1=B. 1=C. ODAC. DMAC，DMOD.DM与O相切证明二：连结OD，AD.AB是O的直径，ADBC.又AB=AC, 1=2. DMAC，2+4=900COA=OD，1=3.3+4=900.即ODDM.DM是O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.例4 如图，已知：AB是O的直径，点C在O上，且CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是O的切线证明：连结OC、BC. OA=OC， A=1=300. BOC=A+1=600.D 又OC=OB， OBC是等边三角形. OB=BC. OB=BD， OB=BC=BD. OCCD. DC是O的切线.说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.例5 如图，AB是O的直径，CDAB，且OA2=ODOP.求证：PC是O的切线.证明：连结OC OA2=ODOP，OA=OC， OC2=ODOP， . 又1=1， OCPODC. OCP=ODC. CDAB， OCP=900. PC是O的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与CFG的外接圆相切.分析：此题图上没有画出CFG的外接圆，但CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CEOC即可得解.证明：取FG中点O，连结OC. ABCD是正方形， BCCD，CFG是Rt O是FG的中点， O是RtCFG的外心. OC=OG， 3=G， ADBC， G=4. AD=CD，DE=DE， ADE=CDE=450， ADECDE（SAS） 4=1，1=3. 2+3=900, 1+2=900. 即CEOC. CE与CFG的外接圆相切二、若直线l与O没有已知的公共点，又要证明l是O的切线，只需作OAl，A为垂足，证明OA是O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，D与AB切于E点.求证：AC与D相切.证明一：连结DE，作DFAC，F是垂足. AB是D的切线， DEAB. DFAC， DEB=DFC=900. AB=AC， B=C. 又BD=CD， BDECDF（AAS） DF=DE. F在D上. AC是D的切线证明二：连结DE，AD，作DFAC，F是垂足.AB与D相切，DEAB.AB=AC，BD=CD，1=2.DEAB，DFAC，DE=DF.F在D上.AC与D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.例8 已知：如图，AC，BD与O切于A、B，且ACBD，若COD=900.求证：CD是O的切线.证明一：连结OA，OB，作OECD，E为垂足. AC，BD与O相切， ACOA，BDOB. ACBD， 1+2+3+4=1800.O COD=900， 2+3=900，1+4=900. 4+5=900. 1=5. RtAOCRtBDO. . OA=OB， . 又CAO=COD=900， AOCODC， 1=2. 又OAAC，OECD, OE=OA. E点在O上. CD是O的切线.证明二：连结OA，OB，作OECD于E，延长DO交CA延长线于F.AC，BD与O相切，ACOA，BDOB.ACBD，F=BDO.又OA=OB，AOFBOD（AAS）OF=OD.COD=900，CF=CD，1=2.又OAAC，OECD，OE=OA.E点在O上.CD是O的切线.证明三：连结AO并延长，作OECD于E，取CD中点F，连结OF.AC与O相切，ACAO.ACBD，AOBD.BD与O相切于B，AO的延长线必经过点B.AB是O的直径.ACBD，OA=OB，CF=DF，OFAC，1=COF.COD=900，CF=DF，.2=COF.1=2.OAAC，OECD，OE=OA.E点在O上.CD是O的切线说明：证明一是利用相似三角形证明1=2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明1=2.证明三是利用梯形的性质证明1=2，这种方法必需先证明A、O、B三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.以下是武汉市2007-2010中考题汇编：（2007中考）22(本题8分)如图，等腰三角形ABC中，ACBC10，AB12。以BC为直径作O交AB于点D，交AC于点G，DFAC，垂足为F，交CB的延长线于点E。(1)求证：直线EF是O的切线；(2)求CF:CE的值。ABDCEFGO(第22题图)（2008中考）22（本题8分）如图，AB是O的直径，AC是弦，BAC的平分线AD交O于点D，DEAC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F求证：DE是O的切线；若，求的值。FEDCBAO（2009中考）22（本题满分8