2019-2020学年哈尔滨市第六中学高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则该抽样可能是系统抽样；该抽样可能是随机抽样：该抽样一定不是分层抽样；本次抽样中每个人被抽到的概率都是其中说法正确的为（ ）ABCD【答案】A【解析】该抽样可以是系统抽样；因为总体个数不多，容易对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样；若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，该抽样不可能是分层抽样；分别求出男生和女生的概率，故可判断出真假.【详解】总体容量为30，样本容量为5，第一步对30个个体进行编号，如男生120，女生2130；第二步确定分段间隔；第三步在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号；第四步将编号为依次抽取，即可获得整个样本故该抽样可以是系统抽样因此正确因为总体个数不多，可以对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样，故正确；若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，但兴趣小组有男生20人，女生10人，抽取2男3女，抽的比例不同，故正确；该抽样男生被抽到的概率；女生被抽到的概率，故前者小于后者因此不正确故选：A【点睛】本题考查了随机抽样及概率，正确理解它们是解决问题的关键2现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2、3表示没有击中目标， 4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，根据以下数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281A0.4B0.45C0.5D0.55【答案】A【解析】根据组随机数，计算出至少击中次的次数，由此估计出该射击运动员射击4次至少击中3次的概率.【详解】在组数据中，至少击中次的为7527、9857、8636、6947、4698、8045、9597、7424，共次，故该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为.故选：A【点睛】本小题主要考查随机数法求事件的概率，属于基础题.3从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女同学至少各有1人参加，则选法总数应为（ ）ABCD【答案】C【解析】先计算出任选人的方法数，然后减去其中全部为男生或全部为女生的方法数，由此选出正确选项.【详解】任选人的方法数为，减去其中全部为男生或全部为女生的方法数，故选法总数应为.故选：C【点睛】本小题主要考查组合数的计算，属于基础题.4下列说法错误的是（ ）A若直线平面，直线平面，则直线不一定平行于直线B若平面不垂直于平面，则内一定不存在直线垂直于平面C若平面平面，则内一定不存在直线平行于平面D若平面平面，平面平面，则一定垂直于平面【答案】C【解析】结合空间线线、线面和面面位置关系，对四个选项逐一分析，由此得出说法错误的选项.【详解】若直线平面，直线平面，则与平行、相交或异面，则直线不一定平行于直线，故A中说法正确；若内存在直线垂直于平面，则根据面面垂直的判定定理得，这与平面不垂直于平面矛盾，故若平面不垂直于平面，则内一定不存在直线垂直于平面，故B中说法正确；若平面平面，则当内的直线与两平面的交线平行时，该直线与平面平行，故C中说法错误；若平面平面，平面平面，则根据面面垂直的性质得一定垂直于平面，故D中说法正确.综上所述，本小题选C.【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面位置关系的判断，属于基础题.5已知展开式中第5项与第9项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）ABCD【答案】D【解析】以展开式中第5项与第9项的二项式系数，列方程，解方程求得的值，进而求得奇数项的二项式系数和.【详解】依题意，展开式中第5项与第9项的二项式系数相等，所以，解得，故奇数项的二项式系数和为.故选：D【点睛】本小题主要考查二项式展开式的二项式系数，考查奇数项的二项式系数和，属于基础题.6已知圆锥的表面积为9，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）A1BC2D【答案】B【解析】设出圆锥的底面半径，根据圆锥的表面积列方程，解方程求得圆锥的底面半径.【详解】设圆锥的底面半径为，由于圆锥侧面展开图是一个半圆，故其母线长为，所以圆锥的表面积为，解得.故选：B【点睛】本小题主要考查圆锥表面积有关计算，属于基础题.7已知抛物线的焦点为，是上一点，若，则等于（ ）A1B2C4D8【答案】B【解析】根据抛物线的定义列方程，由此求得的值.【详解】抛物线，焦点为，准线为，由于，根据抛物线的定义有，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于基础题.8已知双曲线一条渐近线方程为，则双曲线方程可以是（ ）ABCD【答案】D【解析】分别求得四个选项中双曲线的渐近线，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，双曲线的渐近线方程为，不符合题意；对于B选项，双曲线的渐近线方程为，不符合题意；对于C选项，双曲线的渐近线方程为，不符合题意；对于D选项，双曲线的渐近线方程为，符合题意；故选：D【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线，属于基础题.9设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，且，那么向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）（附：若随机变量，则)ABCD【答案】A【解析】根据求得的值，由此求得，进而求得落入阴影部分的点的个数的估计值【详解】由，所以，所以，即，所以.所以落入阴影部分的点的个数的估计值为.故选：A【点睛】本小题主要考查正态分布计算，考查几何概型，属于基础题.10的展开式中，含项的系数为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据乘法分配律以及二项式展开式，计算出含项的系数.【详解】，所以含项的系数为.故选：A【点睛】本小题主要考查二项式展开式指定项的系数，属于基础题.11已知四面体外接球的球心恰好在上，等腰直角三角形的斜边为2，则这个球的表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据已知条件求得球的直径的长，进而求得球的半径，从而求得球的表面积.【详解】由于四面体外接球的球心恰好在上，所以是球的直径，所以三角形为直角三角形，所以，所以球的半径为，表面积为.故选：D【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.12小赵、小钱、小孙、小李到个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点彼此互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则（ ）ABCD【答案】D【解析】分析：这是求小赵独自去一个景点的前提下，4个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论详解：小赵独自去一个景点，则有3个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为 种 所以小赵独自去一个景点的可能性为种因为4个人去的景点不相同的可能性为 种，所以 故选：D点睛：本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键二、填空题13设随机变量服从二项分布，且期望，其中，则方差=_【答案】18【解析】根据和的值求得，由此求得，进而求得.【详解】由于，所以，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查二项分布期望和方差的有关计算，考查方差的运算公式，属于基础题.14某几何体的三视图如下图所示，此几何体的体积为_【答案】8【解析】根据三视图还原为原图，根据原图的空间结构，计算出几何体的体积.【详解】根据三视图可知，该几何体的原图如下图组合体为四棱锥，故其体积为.故答案为：【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查锥体体积计算，属于基础题.15已知点是椭圆上的一点， F1，F2分别为椭圆的左.右焦点，已知F1PF2=60，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为_【答案】【解析】利用余弦定理和椭圆的定义列方程，化简后求得椭圆的离心率.【详解】由，结合椭圆的定义和余弦定理有：，化简得.故答案为：【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查余弦定理，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16如图，三棱柱中，侧棱底面，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点有下列判断：直线与直线是异面直线；一定不垂直于； 三棱锥的体积为定值；的最小值为其中正确的序号是_【答案】【解析】对四个判断逐一分析，由此确定正确判断的序号.【详解】对于，由于平面外一条直线与平面相交于一点，则此直线与平面内不过交点的直线互为异面直线，所以正确.对于，过作，交于.由于，所以平面，而，所以平面.所以，所以平面，所以，所以错误.对于，由于两两垂直，所以三棱柱的外接球直径为（或），也即球心在与的交点处.由于,所以平面，所以动点到平面的距离为定值，而三角形面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以正确.对于，将两个半平面与展开成矩形（平面图形）,则的最小值为.故正确.故答案为：【点睛】本小题主要考查空间点线面位置关系，考查锥体体积计算，考查空间距离和的最小值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.三、解答题1740名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中的值；（2）根据频率分布直方图求出样本数据的中位数 （保留小数点后两位数字）和众数；（3）从成绩在的学生中任选3人，求这3人的成绩都在中的概率【答案】（1）；（2）77.14，75；（3）【解析】（1）根据频率之和为列方程，解方程求得的值.（2）根据率分布直方图求中位数和众数的方法，求得中位数和众数.（3）利用古典概型概率计算方法，计算出所求的概率.【详解】（1）依题意，解得.（2）最高的小长方形的中点为，故众数的估计值为.由于，设中位数为，则，解得，故中位数为.（3）的人数为人，与人数的比例为，即中有人，中有人，从中任选人，这3人的成绩都在中的概率为.【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算参数的值，考查根据频率分布直方图计算中位数和众数，考查古典概型的概率计算，属于基础题.18某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是，甲、丙二人都没有击中目标的概率是，乙、丙二人都击中目标的概率是甲乙丙是否击中目标相互独立（1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设甲、乙、丙三人中击中目标的人数为X，求X的分布列和数学期望【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得乙、丙二人各自击中目标的概率.（2）根据相互独立事件概率计算方法，计算出的分布列和数学期望.【详解】（1）依题意设甲、乙、丙各自击中目标的概率为，所以，解得.（2）的可能取值为.；;.故的分布列为0123数学期望为.【点睛】本小题主要考查相互独立事件的概率计算，考查随机变量分布列和数学期望的求法，属于基础题.19在三棱锥中，平面，分别上的动点，且/平面，二面角为（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）通过证明平面，且，由此证得平面.（2）证得是直线与平面所成角，解直角三角形求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）由于平面，所以，由于，所以平面，由于平面，平面，平面平面，所以，所以平面.（2）由（1）可知，而，所以平面，所以是直线与平面所成角.由（1）知：，由面面角的概念可知，所以在中，, 由面积法得，所以.所以，所以.，在中，.所以.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查线面角正弦值的求法，考查线面平行的性质定理，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20某网站用“100分制”调查一社区人们的幸福度现从调查人群中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）；若幸福度不低于95分，则称该人的幸福度为“极幸福”（1）从这10人中随机选取3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望；（2）以这10人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的数学期望和方差【答案】（1）分布列见解析，（2）【解析】（1）利用超几何分布计算出的分布列和数学期望.（2）利用二项分布的知识计算出的数学期望和方差.【详解】（1）由茎叶图可知，个人中，极幸福的人有个.的可能取值为，由超几何分布概率计算公式得，的分布列为：0123所以.（2）由于，所以，.【点睛】本小题主要考查超几何分布、二项分布有关的概念和运算，属于中档题.21在平面四边形中（图1），为的中点，且，现将此平面四边形沿折起，使得二面角为直二面角，得到一个多面体，为平面内一点，且为正方形（图2），分别为的中点（1）求证：平面/平面；（2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成二面角的余弦值为？若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且【解析】（1）利用面面平行的判定定理，证明平面/平面.（2）建立空间直角坐标系，设出点坐标，利用平面与平面所成二面角的余弦值为列方程，解方程求得的坐标，由此判断符合题意的点存在，以及求得的长.【详解】（1）由于分别为