三角形全等之截长补短 (整理).doc

三角形全等之截长补短（讲义）一、知识点睛截长补短：题目中出现_时，考虑截长补短；截长补短的作用是_二、精讲精练1. 已知：如图，在ABC中，1=2，B=2C求证：AC=AB+BD2. 如图，在四边形ABCD中，A=B=90，点E为AB边上一点，且DE平分ADC，CE平分BCD求证：CD=AD+BC3. 已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，B=D=BAD=90，E，F分别为CD，BC边上的点，且EAF=45，连接EF求证：EF=BF+DE4. 已知：如图，在ABC中，ABC=60，ABC的角平分线AD，CE交于点O求证：AC=AE+CD5. 已知：如图，在ABC中，A=90，AB=AC，BD平分ABC，CEBD交BD的延长线于点E求证：CE=BD【参考答案】【知识点睛】线段间的和差倍分；把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系【精讲精练】1. 补短法：证明：如图，延长AB到E，使BE=BD，连接DEABD是BDE的一个外角ABD=EBDEBE=BDE=BDEABD=2EABD=2CE=C在ADE和ADC中ADEADC（AAS）AE=ACAC=ABBE=ABBD截长法：证明：如图，在AC上截取AF=AB，连接DF在ABD和AFD中ABDAFD（SAS）B=AFD，BD=FDB=2CAFD=2CAFD是DFC的一个外角AFD=C +FDCFDC=CDF=FCBD=FCAC=AF+FC=AB+BD2. 证明：如图，在CD上截取CF=CBCE平分CBD1=2在CFE和CBE中CFECBE（SAS）CFE=BB=90CFE=DFE =90A=90DFE=ADE平分ADC3=4在DEF和DEA中DEFDEA（AAS）DF=ADCD=DF+CF =AD+BC3. 证明：如图，延长FB到G，使BG=DE，连接AGD=ABC=90ABG=D=90在ABG和ADE中ABGADE（SAS）AG=AE，1=2BAD=90，EAF=452+3=451+3=45即GAF=45GAF=EAF在AGF和AEF中AGFAEF（SAS）GF=EFGF=BF+BGEF=BF+DE4. 证明：如图，在AC上截取AF=AE，连接OFAD，CE为ABC的角平分线1=2，3=4在AEO和AFO中AEOAFO（SAS）5=6ABC=601+2+3+4=180-B =180-60 =1202+3=60AOC=180-60 =1205=6=7=8=60在OFC和ODC中OFCODC（ASA）CF=CDAC=AF+FC =AE+CD5. 证明：如图，延长CE，交BA的延长线于点FCEBDBEF=BEC=90BAC=90CAF=BAD=903=41=5在BAD和CAF中BADCAF（ASA）BD=CFBE平分ABC1=2在BEF和BEC中BEFBEC（ASA）EF=ECCE=CFCE=BD三角形全等之截长补短每日一题1. （4月28日）在ABC中，ADBC于D，B=2C求证：CD=AB+BD2. （4月29日）如图，在ABC中，ABAC，1=2，P为AD上任意一点，连接BP，CP求证：AB-ACPB-PC3. （4月30日）已知：如图，1=2，P为BN上一点，且PDBC于点D，A+C=180求证：BD=AB+CD4. （5月2日）如图，在正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分DAE，连接EF求证：AE=BE+DF【参考答案】1. 证明：如图，在线段DC上截取DE=BD，连接AEADBCADB=ADE=90在ABD和AED中ABDAED（SAS）B=1，AB=AEB=2C1=2C1是AEC的一个外角1=C+2C=2AE=CECD=CE+ED=AE+BD=AB+BD（如果延长DB到点F，使BF=AB，连接AF也可进行证明）2. 证明：如图，在线段AB上截取AE=AC，连接PE则AB-AC=AB-AE=EB在AEP和ACP中AEPACP（SAS）PE=PC在PEB中，PB-PEEBPB-PCPB-PC（延长AC到点F，使AF=AB，连接PF，也可证明结论）3. 证明：如图，在BC上截取BE=BA，连接PE在ABP和EBP中ABPEBP（SAS）A=3A+C=180，3+4=1804=CPDBCPDE=PDC=90在PDE和PDC中PDEPDC（AAS）DE=DCBD=BE+ED=AB+CD（过点P作PFBA于F，也可进行证明）4. 证明：如图，延长EB到点G，使BG=DF，连接AG四边形ABCD为正方形AB=AD，D=ABC=BAD=90ABG=D=90在ABG和ADF中ABGADF（SAS）1=2，5=GAF平分DAE1=31+5=903+G=901+3+4=902+3+4=902+4=GAE=EGEG=BE+BGAE=BE+DF三角形全等之截长补短（随堂测试）6. 已知：如图，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，C=60，BD平分ABC求证：BC=AB+AD【参考答案】1. 证明略提示：在BC上截取BE=AB，证明ABDEBD，再证明CE=AD三角形全等之截长补短（作业）1. 如图，在ABC中，BAC=60，ABC=80，AD是BAC的平分线求证：AC=AB+BD2. 如图，AC平分BAD，CEAB于E，B+D=180求证：AE=AD+BE3. 如图，在ABC中，A=100，ABC=40，BD是ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD，连接EC求证：BC=AB+CE4. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，CEAB于E，BDC为等腰直角三角形，BDC=90，BD=CD，CE与BD交于F，连接AF求证：CF=AB+AF【参考答案】1. 证明略提示：方法一：在AC上截取AE=AB，连接DE，证明ABDAED，再证明CE=DE；方法二：延长AB到E，使BE=BD，证明ADEADC2. 证明略提示：在AE上截取AF=AD，证明CDACFA，再证明BE=FE3. 证明略提示：在BC上截取BF=BA，连接DF，证明ABDFBD，再证明DFCDEC4. 截长法：证明：如图，在CF上截取CM=BA，连接DMBDC为等腰直角三角形，BD=CD1=DCB=45CEAB，BDC=90CEB=BDC=902=34=5在ABD和MCD中ABDMCD（SAS）DA=DM，6=7ADBC7=1=456=458=457=8在ADF和MDF中ADFMDF（SAS）AF=MFCF=CM+MF=AB+AF补短法：证明：如图，延长BA交CD的延长