刚体力学基础 (2).ppt

刚体力学基础 第三章 3 1刚体刚体定轴转动的描述 第三章刚体力学基础 3 3刚体定轴转动的动能定理 3 2刚体定轴转动的转动定律 3 4刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 教学基本要求 一理解刚体绕定轴转动的角速度和角加速度的概念 理解角量与线量的关系 二理解力矩和转动惯量的概念 能应用平行轴定理和转动惯量的可加性 计算刚体对定轴的转动惯量 三理解刚体的定轴转动定律 能计算简单的定轴转动问题 六了解经典力学的适用范围 五理解刚体对定轴的角动量概念 理解刚体定轴转动的角动量定理 理解角动量守恒定律 四了解力矩的功和刚体转动动能的概念 教学基本要求 平动 刚体在运动的过程中 如果刚体上任意两点的连线在空间的指向始终保持不变 3 1刚体刚体定轴转动的描述 一 刚体的平动和定轴转动 刚体最基本的运动形式是平动和定轴转动 刚体 在力的作用下 大小和形状都保持不变的物体 刚体在运动时 如果刚体上的各点都绕同一条直线在垂直于这条直线的平面内作半径大小不同的圆周运动 这种运动称为刚体的转动 这条直线称为转轴 刚体的一般运动可以看成平动和转动的合成 如果转轴是固定不动的 这种转动称为绕固定轴的转动 简称定轴转动 刚体的转动 3 1刚体刚体定轴转动的描述 二 刚体转动的角速度和角加速度 刚体的角位移 刚体绕定轴转动的转动方程 角坐标 角位置 3 1刚体刚体定轴转动的描述 刚体定轴转动 一维转动 的转动方向可以用角速度的正负来表示 面对轴方向观察 如果 刚体逆时针转动 反之 刚体顺时针转动 瞬时角速度 角速度 3 1刚体刚体定轴转动的描述 角加速度 1 每一质点均作圆周运动 圆面为转动平面 2 任一质点运动均相同 但不同 3 运动描述仅需一个坐标 定轴转动的特点 转速 每分钟转过的圈数 3 1刚体刚体定轴转动的描述 三 匀变速转动公式 匀变速转动 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时的转动 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 3 1刚体刚体定轴转动的描述 四 绕定轴转动刚体上各点的速度和加速度 线速度大小与角速度大小的关系 3 1刚体刚体定轴转动的描述 五 角速度矢量 把右手的拇指伸直 其余四指弯曲 使弯曲方向与刚体转动方向一致 这时拇指所指的方向 就是角速度矢量的方向 角速度分量 方向 沿转轴 与刚体转动方向之间的关系按右手螺旋法则确定 3 1刚体刚体定轴转动的描述 例3 1一半径的飞轮 转速 制动后转过圈而静止 设转动过程中飞轮作匀变速转动 求 1 转动过程中飞轮的角加速度和经过的时间 2 在末时 飞轮边缘某点的线速度 切向加速度和法向加速度 解 1 角位移 角加速度 制动过程的时间 3 1刚体刚体定轴转动的描述 轮边缘某点的线速度 法向加速度 切向加速度 3 1刚体刚体定轴转动的描述 一 力对轴的力矩 3 2刚体定轴转动的转动定律 力对轴的力矩 力的作用点的矢径大小 力的大小和矢径与力之间夹角的正弦三者的乘积 力对轴的力矩大小等于力的大小和力臂的乘积 3 2刚体定轴转动的转动定律 其中对转轴的力矩为零 对转轴的力矩 3 2刚体定轴转动的转动定律 二 转动定律 质点绕轴作圆周运动 根据牛顿第二定律沿切线方向的分量式 以乘上式两边 对刚体上所有的个质点 3 2刚体定轴转动的转动定律 转动定律 刚体绕定轴转动时 外力对转轴的合力矩 等于刚体对该转轴的转动惯量与角加速度的乘积 转动惯量 每一对内力对轴的力矩的代数和都为零 合外力矩 3 2刚体定轴转动的转动定律 三 转动惯量 转动惯量是刚体在转动过程中惯性大小的量度 质量连续分布刚体的转动惯量 刚体对转轴的转动惯量 等于组成刚体的各质点的质量与各质点到转轴距离平方的乘积的总和 3 2刚体定轴转动的转动定律 3 2刚体定轴转动的转动定律 解设棒的线密度为 取一距离转轴OO 为处的质量元 例3 2一质量为 长为的均匀细长棒 求 1 细棒对通过棒的中心 并与棒垂直的转轴的转动惯量 2 细棒对通过棒的端点 并与棒垂直的转轴的转动惯量 其中 3 2刚体定轴转动的转动定律 2 细棒对通过棒的端点 并与棒垂直的转轴的转动惯量 其中 3 2刚体定轴转动的转动定律 例3 3两质量均为 半径均为的薄圆环和均匀圆盘 求通过各自中心并与圆面垂直的轴的转动惯量 其中 解 1 薄圆环 2 设圆盘面密度为 在盘上取半径为 宽为的圆环 3 2刚体定轴转动的转动定律 四 平行轴定理 质量为的刚体 如果对其质心轴的转动惯量为 则对任一与该轴平行 相距为的转轴的转动惯量 转动惯量的大小取决于刚体的质量 形状及转轴的位置 3 2刚体定轴转动的转动定律 例关于力矩有以下几种说法 1 内力矩不会改变刚体对某个轴的角动量 2 作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零 3 质量相等 形状和大小不同的两个刚体 在相同力矩的作用下 它们的角加速度一定相等 在上述说法中 3 2刚体定轴转动的转动定律 2020 3 10 27 可编辑 例3 4如图所示 某装置由均质细杆和均质圆盘构成 杆的质量为 长度为 圆盘的质量为 半径为 求此装置对通过点且垂直于纸面的轴的转动惯量 解细杆对轴 圆盘对通过质心的轴 整个装置对轴 3 2刚体定轴转动的转动定律 五 转动定律的应用举例 解题基本步骤 1 首先要分析物体的受力情况 并将轴取在固定的转轴上 2 根据轴的正方向 确定各力对轴力矩的正负 从而计算出作用在物体上的外力矩的代数和 3 应用转动定律 求出角加速度 3 2刚体定轴转动的转动定律 1 在转动定律表达式中 力矩应理解为刚体所受的对转轴的合外力矩 转动惯量也应理解为对同一轴的转动惯量 2 转动定律中表示的外力矩和角加速度的关系是瞬时关系 3 2刚体定轴转动的转动定律 B 3 2刚体定轴转动的转动定律 例3 5如图所示 一固定在机轴上的皮带轮 半径 由电动机带动转动 皮带轮对轴的转动惯量 空载 即不带动其他转动部件 启动时 皮带轮紧边拉力 松边拉力 轮轴中的摩擦阻力矩 求空载启动后需要多少时间 皮带轮才能达到转速 解皮带轮所受的外力有重力 轴的支撑力 拉力 及摩擦阻力 重力和支撑力的作用线均通过轴线 不产生力矩 3 2刚体定轴转动的转动定律 皮带轮作匀变速转动 且 末角速度 取轴垂直于纸面 向外为轴的正方向 所需时间 3 2刚体定轴转动的转动定律 例3 6如图所示 一质量为 半径为的圆盘 可绕无摩擦的水平轴转动 绳索一端系在圆盘的边缘上 另一端悬挂质量为的物体 绳的质量忽略不计 求物体的加速度和圆盘的角加速度 受力分析 3 2刚体定轴转动的转动定律 解对物体 取轴竖直向下 对圆盘 轴取在圆盘的转轴上 其正方向垂直于纸面向外 3 2刚体定轴转动的转动定律 一 力矩作功 3 3刚体定轴转动的动能定理 力矩所作的功等于力矩和角位移的乘积 元功 力矩的功率 力矩的功率等于力矩和角速度的乘积 三 刚体的转动动能 转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半 3 3刚体定轴转动的动能定理 四 刚体绕定轴转动的动能定理 刚体定轴转动的动能定理 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量 3 3刚体定轴转动的动能定理 刚体的重力势能等于刚体所受重力和刚体质心高度的乘积 刚体的机械能为转动动能和重力势能之和 质点 定轴转动的刚体组成的物体系统 功能原理 3 3刚体定轴转动的动能定理 例3 7如图所示 一质量为 长为的均匀细棒 可绕通过其一端点并与棒垂直的水平轴在竖直平面内转动 今使棒从水平位置开始自由下摆 求细棒摆到竖直位置时 其中心点和另一端点的速度 解以细棒和地球组成系统机械能守恒 选择细棒在竖直位置时点的位置为重力势能零点 3 3刚体定轴转动的动能定理 一 质点对轴的角动量 3 4刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 质点对轴的角动量 质点矢径的大小 质点动量的大小和矢径与动量之间夹角的正弦的乘积 二 刚体定轴转动的角动量 刚体定轴转动的角动量 等于刚体对该轴的转动惯量和刚体角速度的乘积 质点以角速度作半径为的圆周运动 相对轴的角动量 刚体对轴的角动量 3 4刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 三 刚体定轴转动的角动量定理 冲量矩 力矩对时间的积分 刚体定轴转动的角动量定理 作用在刚体上的合外力矩的冲量矩 等于刚体对该轴的角动量的增量 刚体绕定轴转动时 刚体对该轴的角动量随时间的变化率 等于作用在刚体上的合外力矩 3 4刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 四 角动量守恒定律 刚体对定轴的角动量守恒定律 当刚体绕定轴转动时 如果作用于刚体上的合外力矩为零 或者刚体不受外力矩作用时 则刚体对该轴的角动量保持不变 3 4刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 4 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律 2 内力矩不改变系统的角动量 1 若不变 不变 若变 也变 但不变 3 4刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 例人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动 地球在椭圆的一个焦点上 则卫星的 3 4刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 解系统的角动量守恒 3 4刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 例3 9如图所示 一长为 质量为的均匀细棒可绕支点自由转动 原先静止悬垂在平衡位置 一质量为 速率为的子弹水平地射入细棒的下端 求细棒偏转的最大角度 解角动量守恒 机械能守恒 3 4刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 经典力学的适用范围 经典力学 以牛顿三定律为基础建立起来的力学 又称牛顿力学 2 经典力学适用于宏观物体 而一般不适用于微观粒子 1 经典力学只适用于解决物体低速运动问题 而不能用于高速 接近于光速 运动问题